4 példa a kerék-kerék kapcsolat kérdéseire
1. Két kereket, az A-t és a B-t egy szalag köti össze (lásd az ábrát). Ha az A sugara kétszerese a B sugarának, akkor a következő történik...
A. vA = 2 vB
B. vA = 1/2 vB
C. vA = vB
D. ωA = ωB
E. ωA = 2 ωB
Vita
Köztudott, hogy:
Az A kerék sugara (rA) = a B kerék sugarának kétszerese (2 rB)
Kérdezte:
– Az A kerék lineáris sebessége (vA) és a B kerék lineáris sebessége (vB) közötti kapcsolat
– Az A kerék szögsebessége (ωA) és a B kerék szögsebessége (ωA) közötti összefüggés.
Válasz:
Az A és B kerekeket egy szalag köti össze úgy, hogy amikor az A kerék forog, a B kerék is forog. Ha 1 másodperc alatt az A kerék felülete 1 métert mozdul el, akkor a B kerék felülete is 1 métert mozdul el 1 másodperc alatt. Tehát az A kerék lineáris sebessége megegyezik a B kerék lineáris sebességével (vA = vB).
Másrészt, ha a B kerék egy fordulatot tett meg, akkor az A kerék nem tett meg egy fordulatot sem, mivel a B kerék kerülete kisebb, míg az A kerék kerülete nagyobb. Más szóval, az A kerék szögsebessége nem egyezik meg a B kerék szögsebességével. Mi az összefüggés az A kerék szögsebessége és a B kerék szögsebessége között?
Az A kerék sebessége: vA = rA ωA = 2rB ωA
A B kerék sebessége: vB = rB ωB
Az A kerék sebessége megegyezik a B kerék sebességével:
vA = vB
2rB ωA = rB ωB
2ωA = ωB
ωA = 1/2 ωB
A helyes válasz a C.
2. Három kerék, A, B és C, az ábrán látható módon van összekapcsolva egymással. Ha az A, B és C kerekek sugara rendre 20 cm, 8 cm és 4 cm, és a B kerék 10 rad.s szögsebességgel forog,-1, akkor a C kerék forog szögsebesség akkora, mint…
A. 80 rad.s-1
B. 50 rad.s-1
C. 40 rad.s-1
D. 20 rad.s-1
E. 10 rad.s-1
Vita
Köztudott, hogy:
Keréksugár A (rA) = 20 cm = 0,2 méter
A B kerék sugara (rB) = 8 cm = 0,08 méter
Keréksugár C (rC) = 4 cm = 0,04 méter
A B kerék szögsebessége (ωB) = 10 rad/s
Kérdés: A C kerék szögsebessége (ωC)
Válasz:
Az A kerékabroncs szögsebessége és lineáris sebessége
Az A és a B kerék egymáshoz vannak rögzítve, így együtt forognak. Ha a B kerék egy fordulatnyit (360o) fordul meg egy körben, akkor ugyanezen időintervallum alatt az A kerék is egy fordulatnyit (360o) tesz meg egy körben. Mivel együtt forognak, az A kerék szögsebessége (ωA) megegyezik a B kerék szögsebességével (ωB).
Az A kerék szögsebessége:
ωA = ωB = 10 radián/másodperc
Az A kerékkoszorú lineáris sebessége:
Az A kerék élének lineáris sebességének nagyságát a lineáris sebesség és a szögsebesség közötti összefüggést leíró képlettel számítjuk ki, v = r ω.
vA = rA ωA = (0,2 m)(10 rad/s) = 2 m/s
A kerékabroncs C szögsebessége és lineáris sebessége
Az A kerék kerülete sokkal nagyobb, mint a C kerék kerülete. Amikor a C kerék egy kört tesz meg (360°), ugyanezen idő alatt az A kerék még nem tett meg egy fordulatot sem (360°).o). Így az A kerék szögsebessége nem azonos a C kerék szögsebességével.
Azonban az A és C kerekek kötéllel vagy lánccal vannak összekötve egymással. Mivel össze vannak kötve, ugyanazon időintervallum alatt az A kerék éle által megtett távolság megegyezik a C kerék éle által megtett távolsággal. Tehát a C kerék élének lineáris sebessége (vC) megegyezik az A kerék élének lineáris sebességével (vA).
A keréktárcsa C lineáris sebessége:
vC = vA = 2 m/s
A C kerék szögsebessége:
vC = rC ωC
ωC = vC / rC = 2 / 0,04 = 50 radián/másodperc = 50 rad.s-1.
A helyes válasz a B.
3. Egy RA = 2 cm, RB = 4 cm és RC = 10 cm sugarú kerékrendszert az ábrán látható módon kapcsolunk össze. A B kerék percenként 60 fordulattal forog, így a C kerék lineáris sebessége…
A. 8π cm⁻s-1
B. 12 cm.s-1
C. 12π cm⁻s-1
Átm. 24 cm.s-1
E. 24π cm⁻s-1
Vita
Köztudott, hogy:
Keréksugár A (rA) = 2 cm
A B kerék sugara (rB) = 4 cm
Keréksugár C (rC) = 10 cm
A B kerék szögsebessége (ωB) = 60 fordulat/perc = 60 fordulat/60 másodperc = 1 fordulat/másodperc = 1(2π radián)/másodperc = 2π rad/s
Kérdés: A C kerék lineáris sebessége (vC)
Válasz:
A B keréktárcsa lineáris sebessége
A kerék élének B lineáris sebessége:
vB = rB ωB = (4 cm)(2π rad/s) = 8π cm/s
A keréktárcsa lineáris sebessége A
Az A és a B kereket egy kötél köti össze, így az A kerék élének lineáris sebessége (vA) megegyezik a B kerék élének lineáris sebességével (vB).
vA = vB = 8π cm/s
A keréktárcsa C lineáris sebessége
A C és az A kereket egy kötél köti össze, így a C kerék élének lineáris sebessége (vC) megegyezik az A kerék élének lineáris sebességével (vA).
vC = vA = vB = 8π cm/s
A helyes válasz az A.
4. Tekintsük a következő kerekek közötti kapcsolatokat! A kerék sugarai RA = 25 cm, RB = 15 cm, RC = 40 cm, és a C kerék percenként 60 fordulatot tesz meg. Az A kerék szögsebessége…
A. 2,5π rad.s-1
B. 3π rad.s-1
C. 3,2π rad.s-1
D. 3,5π rad.s-1
E. 3,8π rad.s-1
Vita
Köztudott, hogy:
Keréksugár A (rA) = 25 cm = 0,25 méter
A B kerék sugara (rB) = 15 cm = 0,15 méter
Keréksugár C (rC) = 40 cm = 0,4 méter
A C kerék szögsebessége (ωC) = 60 fordulat/perc = 60 fordulat/60 másodperc = 1 fordulat/másodperc = 1(2π radián)/másodperc = 2π rad/s
Kérdés: Az A kerék szögsebessége (ωA)
Válasz:
A keréktárcsa C lineáris sebessége:
vC = rC ωC = (0,4 m) (2π rad/s) = 0,8π m/s
A B keréktárcsa lineáris sebessége
A C és a B kereket egy kötél köti össze, így a C kerék élének lineáris sebessége (vC) megegyezik a B kerék élének lineáris sebességével (vB).
vB = vC = 0,8π m/s
Az A kerékabroncs szögsebessége és lineáris sebessége
Az A és a B kerék a fenti képen látható módon össze van kötve egymással, ezért az A kerék szögsebessége nem egyezik meg a B kerék szögsebességével. Ez azért van, mert az A kerék kerülete nagyobb, mint a B kerék kerülete. Ugyanezen idő alatt, amikor az A kerék egy körben mozog egy fordulatot (360o), a B kerék még nem fordult el egyet (360o). Azonban ugyanezen időintervallum alatt az A kerék éle által megtett távolság megegyezik a B kerék éle által megtett távolsággal. Tehát az A kerék élének lineáris sebessége (vA) megegyezik a B kerék élének lineáris sebességével (vB).
A keréktárcsa lineáris sebessége A
vA = vB = vC = 0,8π m/s
Az A kerék szögsebessége
vA = rA ωA
ωA = vA / rA = 0,8π / 0,25 = 3,2π rad/s
A helyes válasz a C.
