Naziva se Poiseuilleova jednadžba jer ju je otkrio pokojni Jean Louis Marie Poiseuille (1799.-1869.). Kao što je objašnjeno, svaki fluid može se smatrati idealnim fluidom. Idealni fluidi nemaju viskoznost. Ako zamislimo idealni fluid koji teče u cijevi, svaki dio fluida kreće se istom brzinom (v). Za razliku od idealnih fluida, stvarni fluidi ili fluidi s kojima se susrećemo u svakodnevnom životu imaju viskoznost. Budući da imaju viskoznost, prilikom tečenja u cijevi, na primjer, brzina svakog dijela fluida varira. Sloj fluida u sredini kreće se brže (v je veliko), dok se sloj fluida pričvršćen za cijev ne kreće, tj. miruje (v = 0). Dakle, od središta do ruba cijevi, svaki dio fluida kreće se različitim brzinama. Kako biste lakše razumjeli, promatrajte sliku ispod…
Informacije:
R = polumjer cijevi/tubula
v 1 = brzina protoka fluida u središtu/osi cijevi
v2 = brzina protoka fluida na udaljenosti r2 od ruba cijevi
v3 = brzina protoka fluida na udaljenosti r3 od ruba cijevi
v4 = brzina protoka fluida na udaljenosti r4 od ruba cijevi
r = udaljenost
Kako bi se osigurala ista brzina protoka svake tekućine, mora postojati razlika tlaka na oba kraja bilo koje cijevi kroz koju tekućina teče. Pod tekućinom ovdje mislimo na stvarne tekućine, poput vode ili ulja koje teče kroz cijev, krvi koja teče kroz krvne žile itd. Osim što pomažu glatkom protoku stvarne tekućine, razlike tlaka također mogu omogućiti protok tekućina u cijevima na različitim visinama.
Jean Louis Marie Poiseuille, bivši francuski znanstvenik zainteresiran za fizičke aspekte ljudske cirkulacije krvi, proveo je istraživanje kako bi istražio kako čimbenici poput razlika u tlaku, površine presjeka cijevi i veličine cijevi utječu na brzinu stvarnog fluida. Rezultati koje je dobio Jean Louis Marie Poiseuille poznati su kao Poiseuilleova jednadžba.
Poiseuilleova jednadžba može se izvesti pomoću prethodno izvedene jednadžbe koeficijenta viskoznosti. Koristimo jednadžbu viskoznosti jer je slučaj sličan, iako ne i identičan. Prilikom izvođenja jednadžbe koeficijenta viskoznosti razmatramo tok stvarnog sloja fluida između dvije paralelne ploče, a fluid se može kretati zbog vlačne sile (F). Razlika je u tome što Poiseuilleova jednadžba koju ćemo izvesti zapravo navodi čimbenike koji utječu na tok stvarnog fluida u cijevi, a fluid teče zbog razlika u tlaku. Stoga je potrebno ponovno prilagoditi jednadžbu koeficijenta viskoznosti.
Tekućine mogu teći zbog razlika u tlaku (tekućine teku s mjesta s visokim tlakom na mjesta s niskim tlakom), pa F zamjenjujemo s p1 – p2 ( p1 > p2 ).
Prilikom izvođenja jednadžbe za koeficijent viskoznosti, razmatramo tok stvarnog sloja fluida između dvije paralelne ploče. Svaki dio fluida doživljava pravilnu promjenu brzine za udaljenost l. U tom slučaju, brzina protoka fluida se pravilno mijenja od osi cijevi do ruba cijevi. Fluid na osi cijevi teče većom brzinom (v). Što je dalje prema rubu, brzina fluida se smanjuje. Polumjer cijevi = udaljenost između osi cijevi i ruba cijevi = R. Udaljenost između svakog dijela fluida i ruba cijevi = r. Budući da je broj svakog dijela fluida vrlo velik, a njihova udaljenost od ruba cijevi također varira, jednostavno to pišemo ovako:
v 1 = brzina fluida na udaljenosti r1 od ruba cijevi (r1 = R)
v 2 = brzina fluida na udaljenosti r2 od ruba cijevi (r2 < r1)
v 3 = brzina fluida na udaljenosti r3 od ruba cijevi (r3 < r2 < r1)
v 4 = brzina fluida na udaljenosti r4 od ruba cijevi (r4 < r3 < r2 < r1)
............................................. ..
vn = brzina fluida na udaljenosti rn od ruba cijevi (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1)
Broj svakog dijela fluida je vrlo velik i ne znamo točno koliki je zapravo, pa je dovoljno zapisati ga simbolom n. Svaki dio fluida redovito mijenja brzinu (v), od osi cijevi (r1 = R) do ruba cijevi (rn). Od osi cijevi (r1 = R) do ruba cijevi (rn), brzina svakog dijela fluida se smanjuje (v1 > v2 > v3 > v4 > …. > vn).
Iz gornjeg objašnjenja možemo dobiti ideju da se od R do rn brzina protoka fluida smanjuje. Duljina cijevi = L. Dobivena jednadžba je:
Budući da razmatramo brzinu (v) protoka fluida, jednadžba 2 postaje:
Ovo je jednadžba za brzinu protoka fluida na udaljenosti r od cijevi s polumjerom R. Ako ste zbunjeni dok gledate gornju sliku... Imajte na umu da fluid teče u cijevi, stoga moramo pregledati volumnu brzinu protoka fluida.
Unutar cijevi nalazi se tekućina. Na primjer, tekućinu dijelimo na vrlo male dijelove, gdje svaki dio ima jediničnu površinu dA, udaljen je od osi cijevi i ima brzinu protoka v. Matematički se to može zapisati na sljedeći način:
dA1 = presjek fluida 1, koji je udaljen 1 od osi cijevi
dA2 = presjek fluida 2, koji je udaljen 2 od osi cijevi
dA3 = presjek fluida 3, koji je udaljen 3 od osi cijevi
..................................
dA n = presjek fluida n, koji je udaljenost dA n od osi cijevi
Postoji toliko mnogo dijelova fluida da ih je praktično jednostavno označiti simbolom n. Volumni protok svakog dijela fluida može se matematički zapisati na sljedeći način:
Svaki komadić fluida nalazi se na udaljenosti od r = 0 do r = R (R = polumjer cijevi). Drugim riječima, udaljenost svakog komadića fluida varira kada se mjeri od osi cijevi. Ako se poigramo s računom (integracijom), dobit ćemo jednadžbu za volumni protok fluida u cijevi:
Informacije:
Q = Zaduženje
R = Unutarnji polumjer cijevi ili tubusa
η = Koeficijent viskoznosti
P1 – p2 = Razlika tlaka između dva kraja cijevi
L = Duljina cijevi
p1 -p2 / L = Gradijent tlaka (tok fluida uvijek ide u smjeru smanjenja tlaka )
Na temelju gornje Poiseuilleove jednadžbe, čini se da je volumni protok fluida, tj. ispuštanje (Q), proporcionalan četvrtoj potenciji polumjera cijevi (R4 ) , gradijentu tlaka (p2 – p1 / L) i obrnuto proporcionalan viskoznosti. Ako se polumjer cijevi poveća (koeficijent viskoznosti i gradijent tlaka ostaju konstantni), tada se protok fluida povećava za faktor 16.
Osnovni koncept projektiranja cijevi, šprica i drugih stvari koristi ovu jednadžbu. Brzina protoka tekućine proporcionalna je R4 ( R = polumjer cijevi). Polumjer šprice ili polumjer cijevi treba pažljivo izračunati. Na primjer, ako udvostručimo polumjer igle (r x 2), tada brzina protoka tekućine koja prska = povećava silu pritiska palca za 16 puta.
Poiseuilleova jednadžba također pokazuje da je četvrta potencija radijusa (r4 ) obrnuto proporcionalna razlici tlaka između dva kraja cijevi. Na primjer, krv u početku teče u krvnoj žili s unutarnjim radijusom r. Ako postoji suženje krvne žile (na primjer, r/2 = unutarnji radijus krvne žile smanjen je za 2 puta), tada je potrebna razlika tlaka od 16 puta da bi krv tekla kao i prije (tako da protok ili volumen krvi ostane konstantan).
