Moment inercije

Moment inercije materijala

Postoje dva objekta, od kojih jedan ima malu masu, a drugi veću masu. Koji se objekt lakše pomiče ako se gura istom silom? Činjenica pokazuje da se objekti s manjom masom lakše pomiču od objekata s većom masom. Dakle, veličina mase objekta određuje veličinu ubrzanja objekta ako se na njega primijeni sila. Ako u pravocrtnom gibanju masa objekta određuje je li objekt lako ili teško pomicati (ubrzati), onda u rotacijskom gibanju moment tromosti objekta određuje je li objekt lako ili teško pomicati.

Partikula
Razmotrimo rotirajuću česticu. Čestici mase m dana je sila F tako da se čestica okreće oko osi rotacije O. Čestica je udaljena r od osi rotacije. U početku čestica miruje (v = 0). Nakon što je pomaknuta silom F, čestica se okreće određenom brzinom tako da čestica ima tangencijalno ubrzanje (tangencijalno ubrzanje).
Odnos između sile (F), mase (m) i tangencijalnog ubrzanja (a tan) čestice izražava se jednadžbom:
Čestica se okreće tako da ima kutno ubrzanje. Odnos između tangencijalnog ubrzanja i kutnog ubrzanja izražava se jednadžbom:
Zamijenite tangencijalno ubrzanje (a tan) u jednadžbi 3 tangencijalnim ubrzanjem (a tan) u jednadžbi 4.
Pomnožite lijevu i desnu stranu s r:
r F je moment sile, a mr² je moment tromosti čestice I). Jednadžba 5 navodi odnos između momenta sile, momenta tromosti i kutnog ubrzanja rotirajuće čestice. Jednadžba 5 je jednadžba drugog Newtonovog zakona za rotirajuću česticu.
I je umnožak mase čestice (m) i kvadrata udaljenosti čestice od osi rotacije (r).²).
Informacije:
I = moment tromosti čestice, m = masa čestice, r = udaljenost između čestice i osi rotacije
Jednadžba 6 koristi se za određivanje momenta tromosti rotirajuće čestice.
Kako biste bolje razumjeli pregled momenta inercije čestica, molimo vas proučite primjere problema momenta inercije čestica.

Homogeno kruto tijelo
Kruto tijelo sastoji se od mnogih čestica raspoređenih po tijelu. Moment krutog tijela je zbroj svih momenata svake čestice koja čini kruto tijelo.
Za određivanje I krutog objekta, objekt se promatra dok se rotira jer položaj osi rotacije utječe na vrijednost momenta. Osim što ovisi o položaju osi rotacije, I čestice ovisi i o masi čestice (m) i kvadratu udaljenosti čestice od osi rotacije (r).²). Masa svih čestica koje čine objekt jednaka je masi samog objekta. Problem je u tome što se udaljenost svake čestice od osi rotacije mijenja.
Razmotrimo izvođenje formule za tanki prsten polumjera R i mase M. Ako je os rotacije u središtu prstena, tada su sve čestice koje čine prsten na udaljenosti r od osi rotacije. I tankog prstena jednak je zbroju momenata svih čestica koje čine prsten.
Svaka čestica koja tvori tanki prsten nalazi se na udaljenosti r od osi rotacije tako da je r₁ = r₂ = r₃ = r = R.
Formula za tanki prsten:
I = MR²
Informacije:
I = moment inercije tankog prstena, M = masa tankog prstena, R = polumjer tankog prstena
Što ako os rotacije nije smještena u središtu prstena? Ako os rotacije nije smještena u središtu prstena, formula za tanki prsten ne može se izvesti pomoću gornje metode jer se udaljenost svake čestice od osi rotacije mijenja.

Formula za homogeno kruto tijelo
Slijedeće su formule za nekoliko homogenih krutih tijela.

Primjer problema

1. Pitanja za nacionalni ispit SMA/MA 2017.

Obratite pažnju na sljedeću tablicu!

Objekti P, Q i R povezani su bezmasenim štapom. Veličina momenta tromosti sustava oko osi okomite na ravninu kroz os objekta P je…

Rasprava

Poznato je:

Pitanje: Moment inercije sustava

Džavab:

Moment inercije objekta Q:

I _Q = mr² ⁼ (0,5)(10² ⁾ = (0,5)(100) = 50 kg ^m²

Moment inercije tijela R:

I _R = mr² ⁼ (3)( ^6² ) = (3)(36) = 108 kg ^m²

Moment inercije objekta P:

Os rotacije prolazi kroz os objekta P tako da je r = 0.

Moment inercije sustava:

I = 50 kg ^m² + 108 kg ^m²

I = 158 kg ^m²