Primjer problema koji raspravljaju o vektorima položaja
Vektori su temeljni koncept u matematici i fizici, a predstavljaju veličine sa smjerom i veličinom. U raznim primjenama, vektori se često koriste za opisivanje položaja, brzine, sile i mnogih drugih parametara. Među raznim vrstama vektora, vektori položaja igraju ključnu ulogu u mapiranju položaja točke u prostoru.
Definicija vektora položaja
Vektor položaja je vektor koji opisuje položaj točke u odnosu na ishodište u koordinatnom sustavu. Općenito, vektor položaja zapisuje se u Kartezijevom koordinatnom obliku kao:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} + z\mathbf{k} \]
Ovdje je \(\mathbf{r}\) vektor položaja, \(x\), \(y\) i \(z\) su njegove komponente duž osi \(x\), \(y\) i \(z\), redom, dok su \(\mathbf{i}\), \(\mathbf{j}\) i \(\mathbf{k}\) jedinični vektori paralelni s koordinatnim osima. U dvodimenzionalnom prostoru, komponenta \(z\) općenito ne postoji, pa vektor položaja postaje:
\[ \mathbf{r} = x\mathbf{i} + y\mathbf{j} \]
Primjene vektora položaja
Na primjer, u fizici, vektori položaja igraju ključnu ulogu u opisivanju gibanja objekata. Položaj objekta u odnosu na ishodište (referentnu točku) može se predstaviti vektorom položaja. Nadalje, u strojarstvu, izračuni sila i momenata često uključuju upotrebu vektora položaja.
Primjeri pitanja i rasprava o vektorima položaja
Pitanje 1
Pretpostavimo da postoje dvije točke u 3D prostoru, točka A s koordinatama \( (1, 2, 3) \) i točka B s koordinatama \( (4, 0, -2) \). Odredite vektore položaja točaka A i B. Osim toga, izračunajte vektor koji spaja točku A s točkom B.
Rasprava:
Vektor položaja za točku A:
\[ \mathbf{r_A} = 1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \]
Vektor položaja za točku B:
\[ \mathbf{r_B} = 4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k} \]
Zatim, kako bismo pronašli vektor koji spaja točku A s točkom B (nazvan \(\mathbf{AB}\)), moramo oduzeti vektor položaja točke A od vektora položaja točke B:
\[ \mathbf{AB} = \mathbf{r_B} – \mathbf{r_A} \]
Dakle, zamjenom dvaju vektora položaja iznad:
\[ \mathbf{AB} = (4\mathbf{i} + 0\mathbf{j} – 2\mathbf{k}) – (1\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}) \]
\[ \mathbf{AB} = (4 – 1)\mathbf{i} + (0 – 2)\mathbf{j} + (-2 – 3)\mathbf{k} \]
\[ \mathbf{AB} = 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \]
Dakle, vektor koji spaja točke A i B je \( 3\mathbf{i} – 2\mathbf{j} – 5\mathbf{k} \).
Pitanje 2
Ako se točka P nalazi na \((2, 3)\) u 2D ravnini, odredite duljinu (normu) vektora položaja \(\mathbf{r_P}\).
Rasprava:
Vektor položaja točke P:
\[ \mathbf{r_P} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \]
Duljina vektora položaja \(\mathbf{r_P}\) može se izračunati pomoću formule za vektorsku normu (ili duljinu):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{x^2 + y^2} \]
Zamijenite vrijednosti \(x\) i \(y\):
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{2^2 + 3^2} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{4 + 9} \]
\[ \| \mathbf{r_P} \| = \sqrt{13} \]
Dakle, duljina vektora položaja \(\mathbf{r_P}\) je \(\sqrt{13}\).
Pitanje 3
Pretpostavimo da točka Q leži u \( (5, -4, 2) \). Nađite kut između vektora položaja \(\mathbf{r_Q}\) i osi \(x\).
Rasprava:
Vektor položaja točke Q:
\[ \mathbf{r_Q} = 5\mathbf{i} – 4\mathbf{j} + 2\mathbf{k} \]
Za pronalaženje kuta između vektora \(\mathbf{r_Q}\) i osi \(x\), možemo upotrijebiti koncept skalarnog produkta. Prvo određujemo skalarni produkt između \(\mathbf{r_Q}\) i \(\mathbf{i}\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} + (-4\mathbf{j} \cdot \mathbf{i}) + 2\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} \]
Budući da je \(\mathbf{i} \cdot \mathbf{i} = 1\), \(\mathbf{j} \cdot \mathbf{i} = 0\) i \(\mathbf{k} \cdot \mathbf{i} = 0\), tada:
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = 5 \]
Norma od \(\mathbf{r_Q}\):
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{5^2 + (-4)^2 + 2^2} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{25 + 16 + 4} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = \sqrt{45} \]
\[ \| \mathbf{r_Q} \| = 3\sqrt{5} \]
Norma od \(\mathbf{i}\) je 1, jer je \(\mathbf{i}\) jedinični vektor.
Korištenje formule skalarnog produkta za pronalaženje kuta \(\theta\):
\[ \mathbf{r_Q} \cdot \mathbf{i} = \| \mathbf{r_Q} \| \| \mathbf{i} \| \cos\theta\]
\[ 5 = 3\sqrt{5} \cos\theta \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} \]
\[ \cos\theta = \frac{5\sqrt{5}}{15} \]
\[ \cos\theta = \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Dakle, kut \(\theta\) između vektora položaja \(\mathbf{r_Q}\) i osi \(x\) je:
\[ \theta = \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{5}}{3}\desno) \]
Zaključak
Vektori položaja igraju ključnu ulogu u znanosti i inženjerstvu, posebno u mapiranju položaja objekata u koordinatnom prostoru. Gornji primjeri pokazuju kako izračunati vektore položaja, njihove duljine i kutove između njih i koordinatnih osi. Razumijevanje ovih temeljnih koncepata neprocjenjivo je u rješavanju raznih problema koji uključuju prostor i koordinate u matematici i fizici.
