Primjeri pitanja o vektorima stupcima i vektorima redaka
U matematici, posebno linearnoj algebri, vektori su temeljni koncept koji se često koristi u raznim primjenama, od modeliranja fizike do računanja. Vektori stupci i vektori redci dva su oblika vektorskog prikaza, svaki sa svojim karakteristikama i primjenom. Ovaj članak će raspravljati o primjerima problema i njihovim rješenjima koja uključuju vektore stupce i vektore redove.
Definicija vektora stupca i vektora retka
Prije nego što prijeđemo na primjerna pitanja i njihovu raspravu, prvo ćemo pregledati osnovne definicije vektora stupaca i vektora redaka.
– Vektori stupci su vektori poredani u stupac, odnosno jednu vertikalnu dimenziju. Primjer:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Vektori redova su vektori poredani u redove, odnosno u jednoj horizontalnoj dimenziji. Primjer:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Primjer 1: Dodavanje vektora stupaca
Pitanje:
S obzirom na sljedeća dva vektora stupaca:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Izračunajte zbroj dvaju vektora stupaca.
Otopina:
Zbrajanje dvaju vektora stupaca vrši se zbrajanjem njihovih odgovarajućih elemenata.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Dakle, zbroj \(\mathbf{u}\) i \(\mathbf{v}\) je \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\).
Primjer pitanja 2: Zbrajanje vektora redaka
Pitanje:
S obzirom na sljedeća dva vektora reda:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Izračunajte zbroj dvaju vektora redaka.
Otopina:
Zbrajanje dvaju vektora redova vrši se zbrajanjem odgovarajućih elemenata.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Dakle, zbroj \(\mathbf{a}\) i \(\mathbf{b}\) je \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\).
Primjer 3: Množenje skalara vektorima stupcima
Pitanje:
Zadan je vektor stupac \(\mathbf{c}\) i skalar \(k\):
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Izračunajte rezultat skalarnog množenja.
Otopina:
Množenje skalara vektorom stupcem vrši se množenjem svakog elementa vektora skalarom.
\[
k\mathbf{c} = 2 \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 puta -3
2 puta 4
2 puta 5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Dakle, rezultat množenja skalara \(2\) s vektorom stupcem \(\mathbf{c}\) je \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\).
Primjer pitanja 4: Množenje skalara vektorima redova
Pitanje:
Zadan je vektor retka \(\mathbf{d}\) i skalar \(m\):
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Izračunajte rezultat skalarnog množenja.
Otopina:
Množenje skalara vektorom retka vrši se množenjem svakog elementa vektora skalarom.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \puts 7 & -3 \puts -2 & -3 \puts 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Dakle, rezultat množenja skalara \(-3\) s vektorom retka \(\mathbf{d}\) je \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\).
Primjer 5: Množenje matrice \(1 \puta 3\) s \(3 \puta 1\) (vektor retka vektorom stupca)
Pitanje:
Zadani su vektor retka \(\mathbf{e}\) i vektor stupca \(\mathbf{f}\):
\[
\mathbf{e} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Izračunajte produkt dvaju vektora.
Otopina:
Za izvođenje množenja matrica, vektor retka \(\mathbf{e}\) tretira se kao \(1 \puta 3\) matrica, a vektor stupac \(\mathbf{f}\) tretira se kao \(3 \puta 1\) matrica. Rezultat ovog množenja je skalar, tj. zbroj produkata odgovarajućih elemenata:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 puta 5) + (-1 puta 3) + (4 puta -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Dakle, rezultat množenja vektora retka \(\mathbf{e}\) vektorom stupca \(\mathbf{f}\) je \(-1\).
Primjer 6: Množenje matrice \(3 \puta 1\) s \(1 \puta 3\) (Vektor stupac vektorom retka)
Pitanje:
Zadan je vektor stupac \(\mathbf{g}\) i vektor redak \(\mathbf{h}\):
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Izračunajte produkt dvaju vektora.
Otopina:
Množenje matrice vektora stupca vektorom retka daje matricu (\(3 \puta 1\)) pomnoženu s (\(1 \puta 3\)) koja daje matricu \(3 \puta 3\). Svaki novi element je umnožak svojih odgovarajućih elemenata:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 puta 4 i 1 puta 5 i 1 puta 6
2 puta 4 i 2 puta 5 i 2 puta 6
3 puta 4 i 3 puta 5 i 3 puta 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Dakle, rezultat množenja vektora stupca \(\mathbf{g}\) s vektorom retka \(\mathbf{h}\) je matrica:
\[
\begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12 & 15 & 18
\end{pmatrix}
\]
Zaključak
U ovom članku vidjeli smo nekoliko primjera koji uključuju vektore stupce i retke. Zbrajanje vektora stupaca i redaka postiže se zbrajanjem njihovih odgovarajućih elemenata. Množenje skalara vektorom također se postiže množenjem svakog elementa vektora skalarom. Konačno, naučili smo kako množiti vektore retke i stupce, dajući skalar ili matricu, ovisno o njihovom redoslijedu. Savladavanje ovih osnovnih operacija ključno je za složenije primjene u linearnoj algebri i analizi podataka.
