Primjeri pitanja o varijanci i standardnoj devijaciji grupnih podataka
Uvod
U statistici, varijanca i standardna devijacija dvije su statističke mjere ključne za razumijevanje raspršenja ili rasprostranjenosti podataka od prosjeka. Varijanca mjeri koliko su podaci raspršeni od prosjeka, dok je standardna devijacija kvadratni korijen varijance, pružajući mjeru koja je u istim jedinicama kao i izvorni podaci.
Definicija
– Varijanca (σ² ili S²): To je prosjek kvadrata razlika između svake vrijednosti podataka i srednje vrijednosti podataka.
– Standardna devijacija (σ ili S): To je kvadratni korijen varijance.
Formula za varijancu i standardnu devijaciju grupnih podataka
Za grupne podatke koristimo učestalost podataka u svakoj klasi. Evo formule:
Varian
\[S^2 = \frac{ \sum f_i \left(x_i – \bar{x} \right)^2 }{N-1 } \]
Standardna devijacija
\[ S = \sqrt{S^2} \]
Gdje:
– \( f_i \) = učestalost svake klase.
– \( x_i \) = sredina svake klase.
– \( \bar{x} \) = prosjek podataka grupe.
– \( N \) = ukupan broj podataka.
Primjeri pitanja i rasprava
Pretpostavimo da imamo podatke o težini za skupinu ljudi grupiranih u klase.
| Interval težine (kg) | Učestalost (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Prvi korak je odrediti sredinu svake klase ( \( x_i \) ), a zatim izračunati srednju vrijednost ( \( \bar{x} \) ).
1. Izračun srednje točke ( \( x_i \) )
\[ \text{Sredina} = \frac{\text{Donja granica} + \text{Gornja granica}}{2} \]
| Interval težine (kg) | Frekvencija (f) | Srednja točka ( \( x_i \) ) |
|——————|—————–|————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Izračun prosjeka ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Ukupan broj podataka \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \suma f_i x_i = (2 \puta 52) + (5 \puta 57) + (8 \puta 62) + (7 \puta 67) + (3 \puta 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Dakle, prosjek (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{ 1570 }{ 25 } = 62.8 \]
3. Izračun varijance ( \( S^2 \) )
Moramo izračunati ( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \):
\[
\begin{poravnaj}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{poravnaj}
\]
Množenje s frekvencijom:
\[
\begin{poravnaj}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \puta 118.84 = 237.68 \\
& 5 puta 33.64 = 168.2
& 8 puta 0.64 = 5.12
& 7 puta 17.64 = 123.48
& 3 puta 84.64 = 253.92
\end{poravnaj}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Sada možemo izračunati varijancu (\( S^2 \)):
\[S^2 = \frac{ 788.4 }{ 25 – 1 } = \frac{ 788.4 }{ 24 } \približno 32.85 \]
4. Izračun standardne devijacije ( \( S \) )
Standardna devijacija ( \( S \)):
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \približno 5.73 \]
Zaključak
Iz gornjeg primjera podataka imamo:
– Izračun prosječne tjelesne težine: 62.8 kg
– Izračun varijance: 32.85 kg²
– Izračun standardne devijacije: 5.73 kg
Tumačenje standardne devijacije je da je prosječno odstupanje podataka o težini od prosjeka približno 5.73 kg. To ukazuje na raspršenost podataka u odnosu na prosjek, što može pomoći u zaključivanju koliko su naši podaci varijabilni.
Temeljito razumijevanje varijance i standardne devijacije ključno je, posebno za one koji rade u statistici, istraživanju i testiranju, jer pokušavaju razumjeti podatke u obliku grupa ili distribucija. Poznavanje načina izračuna i interpretacije ove dvije mjere može pomoći u boljem donošenju odluka na temelju dostupnih podataka.
