Primjeri pitanja o kružnicama i tangentama
Krugovi su važna tema u matričnoj geometriji, gdje se demonstriraju duboki koncepti o udaljenosti, kutovima i obliku. Jedan koncept koji se često raspravlja u ovoj temi je tangenta kružnice. U ovom članku raspravljat ćemo o nekoliko primjera problema koji uključuju kružnice i tangente.
Osnovno razumijevanje kružnica i tangenti
Lingkaran
Krug je geometrijski lik koji tvori skup svih točaka u ravnini koje su na fiksnoj udaljenosti od dane točke koja se naziva središte kružnice. Ta fiksna udaljenost naziva se polumjer kružnice.
Tangens
Tangenta kružnice je pravac koji dodiruje kružnicu u točno jednoj točki. Ta se točka naziva točka dodira. Tangente imaju nekoliko važnih svojstava, uključujući:
– Tangenta je uvijek okomita na polumjer kružnice u točki dodira.
– Duljina tangente od točke izvan kružnice do kružnice je ista ako su iz te točke povučene dvije tangente.
Primjeri pitanja i rasprava
U nastavku ćemo predstaviti nekoliko primjera pitanja koja detaljno raspravljaju o konceptu kružnica i tangenti.
Primjer pitanja 1: Određivanje duljine tangente
Pitanje:
Zadana je kružnica sa središtem \(O\) i polumjerom \(r = 6 \, \text{cm}\). Iz točke \(P\) izvan kružnice, koja je udaljena 10 cm od središta kružnice, povučene su dvije tangente \(PA\) i \(PB\) na kružnicu. Izračunajte duljinu tangente \(PA\).
Rasprava:
U ovom zadatku možemo upotrijebiti Pitagorin teorem. Nacrtajte trokut \(\trokut OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (udaljenost od vanjske točke do središta kruga)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (polumjer kružnice)
– \(PA\) je tangenta koju treba pronaći
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = \sqrt{64} = 8 \, \text{cm}
\]
Dakle, duljina tangente \(PA\) je 8 cm.
Primjer pitanja 2: Pronalaženje točke dodira
Pitanje:
Zadana je kružnica s jednadžbom \((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25\) i pravac \(y = 2x + 1\). Odredite točku dodira između kružnice i pravca.
Rasprava:
Prvo određujemo središte i polumjer kružnice:
– Središte \(O(3, 4)\)
– Polumjer \(r = \sqrt{25} = 5\)
Da bismo pronašli točku dodira, pretpostavimo da je točka dodira \(T(x_1, y_1)\) koja također leži na pravcu \(y = 2x + 1\). Tada:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
\(T(x_1, y_1)\) također mora zadovoljiti jednadžbu kružnice:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
U jednadžbu kruga uvrstimo \(y_1 = 2x_1 + 1\):
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Moramo izračunati dva kvadrata.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Spojite oba rezultata:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Oduzmite 25 od obje strane:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Riješite kvadratnu jednadžbu:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \puta 5 \puta 7}}{2 \puta 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm 2\sqrt{4 \puta 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 \pm 0.4\sqrt{29}
\]
Izračunajte vrijednost \(y_1\):
Što zadovoljava y = 2x + 1:
– Ako je \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), tada je \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Ako je \(x_1 = 1.8 – 0.4\sqrt{29}\), tada je \(y_1 = 2(1.8 – 0.4\sqrt{29}) + 1\)
Evaluacija:
Dakle, dobivamo dvije točke presjeka jednadžbe kružnice s tim pravcem.
Primjer pitanja 3: Određivanje jednadžbe tangente
Pitanje:
Zadana je kružnica s jednadžbom \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Odredite jednadžbu tangente na kružnicu koja prolazi kroz točku \((6, 7)\).
Rasprava:
Tangenta na kružnicu sa središtem (h, k) i polumjerom (r) iz poznate vanjske točke može se pronaći jednadžbom:
Tangenta prolazi kroz vanjsku točku \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Zamijenite vanjsku točku \((6, 7)\):
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Jednadžba tangente je:
\[
x + y = 9
\]
Dakle, varijacija jednadžbe pravca kroz točku kružnice je vrlo velika i može se mijenjati ovisno o rezultatu ili vizualnom prikazu.
Zaključak
Rasprava o kružnicama i tangentama obuhvaća nekoliko temeljnih aspekata matematike, od primjene osnovnih formula poput Pitagorinog teorema do rješavanja kvadratnih jednadžbi. Kroz ove primjere možemo razviti bolje razumijevanje kako primijeniti ove koncepte u donekle složenim situacijama. Nadamo se da je ovaj članak pomogao u pružanju jasne slike o tome kako pristupiti i riješiti probleme koji uključuju kružnice i tangente.
