Primjeri pitanja o binomnoj funkciji distribucije
Binomna distribucija je diskretna distribucija vjerojatnosti koja opisuje broj uspjeha u eksperimentu koji se sastoji od niza neovisnih pokušaja s dva moguća ishoda: uspjehom i neuspjehom. Svaki pokušaj naziva se pokus, a binomna distribucija se često koristi u situacijama kada je broj uspjeha u nizu neovisnih pokušaja od interesa. U ovom članku ćemo raspraviti osnovne koncepte binomne distribucije te pružiti primjere i rješenja.
Osnovni koncepti binomne funkcije distribucije
Prije nego što prijeđemo na primjerna pitanja i raspravu, raspravimo neke osnovne koncepte vezane uz binomnu distribuciju.
1. Definicija: Binomna distribucija definirana je kao zbroj uspjeha u 'n' neovisnih pokušaja, gdje svaki pokušaj ima dva moguća ishoda: uspjeh (s vjerojatnošću p) ili neuspjeh (s vjerojatnošću q = 1 – p).
2. Funkcija vjerojatnosti: Funkcija vjerojatnosti binomne distribucije je:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
Gdje:
– \( P(X = k) \) je vjerojatnost k uspjeha u n pokušaja.
– \( \binom{n}{k} \) je kombinacija n i k, koja je definirana kao \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) je vjerojatnost uspjeha u svakom pokušaju.
– \( (1-p) \) je vjerojatnost neuspjeha u svakom pokušaju.
3. Očekivana vrijednost i varijanca:
– Očekivana vrijednost (srednja vrijednost) binomne distribucije je \( \mu = np \).
– Varijanca binomne distribucije je \( \sigma^2 = np(1-p) \).
Sada, primijenimo ove koncepte na primjeru problema kako bismo pružili dublje razumijevanje.
Primjer pitanja 1: Osnovni izračuni binomne distribucije
Pitanje:
Tvrtka proizvodi elektroničke komponente s vjerojatnošću od 0.95 da svaka komponenta prođe test kvalitete. Ako se proizvede 10 komponenti, izračunajte vjerojatnost da točno 8 komponenti prođe test kvalitete.
Rasprava:
Za rješavanje ovog problema možemo upotrijebiti formulu binomne distribucije. Prvo identificiramo sljedeće parametre:
– \(n \) (ukupan broj pokušaja) = 10
– \(k \) (broj uspjeha) = 8
– \(p \) (vjerojatnost uspjeha) = 0.95
– \( q \) (vjerojatnost neuspjeha) = 1 – 0.95 = 0.05
Zatim zamijenite ove vrijednosti u formulu binomne distribucije:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Prvo izračunajte kombinaciju \( \binom{10}{8} \):
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \puta 9 \puta 8!}{8! \puta 2!} = \frac{10 \puta 9}{2 \puta 1} = 45
\]
Zatim izračunajte vjerojatnosti \( (0.95)^8 \) i \( (0.05)^2 \):
\[
(0.95)^8 \približno 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Konačno, pomnožite sve te vrijednosti da biste dobili:
\[
P(X = 8) = 45 puta 0.6634 puta 0.0025 \približno 0.0744
\]
Dakle, vjerojatnost da točno 8 od 10 komponenti prođe test kvalitete iznosi oko 0.0744 ili 7.44%.
Primjer pitanja 2: Kumulativna vjerojatnost
Pitanje:
Još uvijek s istom tvrtkom, izračunajte vjerojatnost da barem 9 od 10 komponenti prođe test kvalitete.
Rasprava:
Da bismo riješili ovaj problem, moramo izračunati kumulativnu vjerojatnost. Vjerojatnost da barem 9 od 10 komponenti prođe test znači da izračunavamo \( P(X \geq 9) \), što se može zapisati kao:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Korištenje formule binomne distribucije:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Prvo, izračunajte kombinaciju za svaki slučaj:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Zatim izračunajte vjerojatnosti za \( P(X = 9) \) i \( P(X = 10) \):
\[
P(X = 9) = 10 puta (0.95)^9 puta 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \približno 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 puta 0.6302 puta 0.05 \približno 0.3151
\]
\[
P(X = 10) = 1 x (0.95)^{10} x 1
\]
\[
(0.95)^{10} \približno 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
Ukupna vjerojatnost za \( P(X \geq 9) \):
\[
P(X ≤ 9) = 0.3151 + 0.5987 = približno 0.9138
\]
Dakle, vjerojatnost da barem 9 od 10 komponenti prođe test kvalitete iznosi oko 0.9138 ili 91.38%.
Primjer pitanja 3: Očekivana vrijednost i varijanca
Pitanje:
Izračunajte očekivanu vrijednost i varijancu broja komponenti koje prolaze test kvalitete od 10 proizvedenih komponenti, s vjerojatnošću prolaza od 0.95.
Rasprava:
Koristite sljedeću formulu:
– Očekivana vrijednost (srednja vrijednost) \( \mu = np \)
– Varijanca (sigma^2 = np(1-p))
S \(n = 10 \) i \(p = 0.95 \):
\[
\mu = 10 \puta 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 x 0.95 x 0.05 = 0.475
\]
Dakle, očekivana vrijednost broja komponenti koje prolaze test kvalitete je 9.5, a varijanca je 0.475.
Zaključak
Kroz tri gornja primjera problema, raspravljali smo o tome kako izračunati vjerojatnost pomoću binomne distribucije za različite situacije: izračunavanje točne vjerojatnosti, kumulativne vjerojatnosti te izračunavanje očekivane vrijednosti i varijance. Poznavanje binomne distribucije korisno je u raznim područjima, kao što su proizvodnja, medicinska istraživanja i društvena statistika, gdje se rezultati ponovljenih eksperimenata s dva moguća ishoda mogu analizirati kako bi se pomoglo u donošenju odluka. Nadamo se da će vam navedeni primjeri problema i rasprave pomoći u daljnjem razumijevanju binomne distribucije.
