Primjeri pitanja i rasprava o distribuciji vjerojatnosti
Raspodjela vjerojatnosti jedan je od temeljnih koncepata u statistici i vjerojatnosti. Koristi se za razumijevanje vjerojatnosti pojave različitih vrijednosti slučajnog broja. Raspodjela vjerojatnosti može imati mnogo oblika ovisno o prirodi analiziranih podataka. Dvije najčešće vrste distribucija vjerojatnosti su diskretne i kontinuirane. U ovom ćemo članku pregledati nekoliko primjera problema i raspraviti o distribucijama vjerojatnosti kako bismo bolje razumjeli ovu temu.
Diskretna distribucija
Diskretna distribucija je distribucija koja izračunava vjerojatnost diskretne slučajne varijable, odnosno varijable koja može poprimiti samo određene vrijednosti. Poznati primjeri diskretnih distribucija su binomna distribucija i Poissonova distribucija.
Primjer 1: Binomna distribucija
Binomna distribucija opisuje broj uspjeha u nizu Bernoullijevih pokušaja. Svaki Bernoullijev pokušaj ima dva ishoda: uspjeh ili neuspjeh. Vjerojatnost uspjeha ostaje konstantna tijekom cijelog pokušaja.
Pitanje:
Farmaceutska tvrtka testira novi lijek na 10 pacijenata. Vjerojatnost da lijek djeluje kod bilo kojeg pacijenta je 0.7. Izračunajte vjerojatnost da lijek djeluje kod točno 7 od 10 pacijenata.
Rasprava:
Slučajna varijabla \(X\) slijedi binomnu distribuciju s \(n = 10\) i \(p = 0.7\). Binomna funkcija vjerojatnosti je:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Za \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Izračun binomnog koeficijenta \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Izračunavanje vrijednosti vjerojatnosti:
\[ P(X = 7) = 120 \puta (0.7)^7 \puta (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \približno 120 \puta 0.0823543 \puta 0.027 \]
\[ P(X = 7) \približno 0.231 \]
Dakle, vjerojatnost da lijek djeluje kod točno 7 od 10 pacijenata iznosi oko 0.231 ili 23.1%.
Primjer 2: Poissonova distribucija
Poissonova distribucija se koristi za modeliranje broja pojavljivanja rijetkog događaja unutar zadanog vremenskog ili prostornog intervala.
Pitanje:
Trgovina u prosjeku ima 4 kupca na sat. Kolika je vjerojatnost da će trgovina dobiti točno 5 kupaca u jednom satu?
Rasprava:
Slučajna varijabla \(X\) slijedi Poissonovu distribuciju s parametrom \(\lambda = 4\). Poissonova funkcija mase vjerojatnosti je:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Za \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Računati:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \približno \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \približno 0.156 \]
Dakle, vjerojatnost da trgovina primi točno 5 kupaca u jednom satu iznosi oko 0.156, odnosno 15.6%.
Kontinuirana distribucija
Kontinuirane distribucije se koriste kada slučajna varijabla koja se mjeri može poprimiti bilo koju vrijednost unutar određenog raspona. Poznati primjeri kontinuiranih distribucija su normalna distribucija i eksponencijalna distribucija.
Primjer 3: Normalna distribucija
Normalna distribucija, često nazivana Gaussovom distribucijom, je distribucija koja se često koristi u raznim područjima, uključujući znanost, inženjerstvo i ekonomiju.
Pitanje:
Visine odraslih muškaraca u gradu normalno su raspoređene sa srednjom vrijednošću od 170 cm i standardnom devijacijom od 10 cm. Kolika je vjerojatnost da je nasumično odabrani muškarac visok između 160 cm i 180 cm?
Rasprava:
Moramo izračunati z-vrijednost za 160 cm i 180 cm. Z-vrijednost je definirana kao:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Za \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Za \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Sada moramo pogledati vrijednosti vjerojatnosti od -1 do 1 u z tablici. Vrijednost od z = -1 do z = 1 je približno 0.6826.
Dakle, vjerojatnost da je nasumično odabrani muškarac visok između 160 cm i 180 cm iznosi približno 0.6826 ili 68.26%.
Primjer 4: Eksponencijalna distribucija
Eksponencijalna distribucija se koristi za modeliranje vremena između događaja u Poissonovom procesu.
Pitanje:
Prosječno vrijeme između dolaska dvaju kupaca u trgovinu je 15 minuta. Kolika je vjerojatnost da je vrijeme između dolaska dvaju kupaca kraće od 10 minuta?
Rasprava:
Eksponencijalna distribucija ima parametar \(\lambda\) koji je inverz srednje vrijednosti (\(\mu\)). Sa srednjom vrijednošću od 15 minuta:
\[ λ = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Eksponencijalna kumulativna funkcija distribucije je:
\[ P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambdax} \]
Za \(x = 10\):
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.0667 \puta 10} \]
\[ P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[ P(X ≤ 10) \približno 1 – 0.5134 \]
\[ P(X ≤ 10) \približno 0.4866 \]
Dakle, vjerojatnost da je vrijeme između dolaska dvaju kupaca kraće od 10 minuta iznosi oko 0.4866 ili 48.66%.
Zaključak
Distribucije vjerojatnosti, i diskretne i kontinuirane, vrlo su korisni koncepti za modeliranje i razumijevanje ponašanja slučajnih varijabli. Binomna i Poissonova distribucija često se koriste za diskretne varijable, dok su normalna i eksponencijalna distribucija primjeri kontinuiranih distribucija.
Nadamo se da ste kroz gore navedene primjere stekli bolje razumijevanje kako izračunati i interpretirati vjerojatnosti u distribucijama vjerojatnosti. Dosljednom vježbom vaša će se sposobnost razumijevanja distribucija vjerojatnosti poboljšati i moći će se primijeniti u raznim disciplinama.
