Primjeri pitanja o nizovima i serijama
Nizovi i nizovi temeljni su pojmovi u matematici, s kojima se često susrećemo od osnovne škole do fakulteta. Niz je skup brojeva poredanih prema određenom pravilu, dok je niz zbroj članova tog niza. U ovom ćemo članku raspravljati o nekoliko primjera problema i raspraviti o nizovima i nizovima.
Primjer 1: Aritmetički niz
Pitanje:
Zadan je aritmetički niz s prvim članom (a) = 3 i razlikom (d) = 5. Odredite:
1. Peti član niza.
2. Zbroj prvih 20 članova niza.
Rasprava:
1. 10. mandat
Formula za n-ti član aritmetičkog niza je:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
Za 10. polugodište (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Zbroj prvih 20 članova
Formula za zbroj prvih n članova (S_n) aritmetičkog niza je:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Za zbroj prvih 20 članova (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Primjer 2: Geometrijski niz
Pitanje:
Zadan je geometrijski niz s prvim članom (a) = 4 i omjerom (r) = 2. Odredite:
1. Peti član niza.
2. Zbroj prvih 8 članova niza.
Rasprava:
1. 6. mandat
Formula za n-ti član geometrijskog niza je:
\[
U_n = α (r^{(n-1)}
\]
Za 6. polugodište (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Zbroj prvih 8 članova
Formula za zbroj prvih n članova (S_n) geometrijskog niza je:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Za zbroj prvih 8 članova (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Primjer 3: Konvergentni geometrijski beskonačni niz
Pitanje:
Zadan je geometrijski niz s prvim članom (a) = 1 i omjerom (r) = 1/2. Odredite zbroj beskonačnog niza.
Rasprava:
Formula za zbroj beskonačnog niza (S_∞) konvergentnog geometrijskog niza je:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Dakle, za ovu seriju:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Primjer 4: Nizovi i serije kvadratnih brojeva
Pitanje:
Zadan je niz kvadratnih brojeva s prvim članom (U_1) = 1, drugim članom (U_2) = 4 i trećim članom (U_3) = 9. Odredite 5. član niza. Je li taj niz aritmetički ili geometrijski niz? Objasnite.
Rasprava:
1. 5. mandat
Uzorak niza kvadratnih brojeva je:
\[
U_n = n^2
\]
Za 5. polugodište (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Vrsta linije
Da biste provjerili je li ovaj niz aritmetički ili geometrijski, provjerite razliku između članova (zajedničku razliku) i omjer između članova:
– Razlika između pojmova (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Budući da razlika nije konstantna, ovaj niz nije aritmetički.
– Međuplemenski omjer (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Budući da omjer između članova nije konstantan, ovaj niz nije geometrijski.
Dakle, ovaj niz kvadratnih brojeva nije ni aritmetički ni geometrijski niz, već poseban niz koji slijedi uzorak kvadratnih brojeva.
Primjer 5: Beskonačni aritmetički niz
Pitanje:
Je li moguće izračunati zbroj beskonačnog aritmetičkog niza? Ako jest, navedite primjer. Ako nije, objasnite zašto.
Rasprava:
Za razliku od geometrijskih nizova, beskonačni aritmetički nizovi obično nemaju konačan zbroj. To je zato što svaki član linearno raste ili se smanjuje, pa zbroj nastavlja rasti neograničeno.
Na primjer, razmotrimo beskonačan aritmetički niz s prvim članom 1 i zajedničkom razlikom 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Ako ih pokušamo zbrojiti, postaje jasno da niz neće konvergirati prema fiksnoj vrijednosti, već će se približavati beskonačnosti. Stoga je zbroj beskonačnog aritmetičkog niza, općenito, beskonačan i ne može se izračunati kao konvergentni geometrijski niz.
-
U ovom smo članku obradili nekoliko primjera problema i raspravljali o nizovima i redovima. Pregledali smo aritmetičke i geometrijske nizove, vidjeli kako izračunati n-ti član i zbroj njihovih prvih članova te odgovorili na pitanja o beskonačnim nizovima. Nadamo se da ćete se razumijevanjem ovih osnovnih koncepata i primjera osjećati sigurnije pri radu s nizovima i redovima u matematici.
