Primjeri pitanja o aritmetičkim nizovima
Aritmetički nizovi su temeljni koncept u matematici koji se često pojavljuje u raznim ispitima i primjenama u stvarnom svijetu. Aritmetički niz je niz brojeva s konstantnom razlikom između svaka dva uzastopna člana. U ovom ćemo članku detaljnije istražiti koncept aritmetičkih nizova kroz nekoliko primjera problema popraćenih sveobuhvatnim objašnjenjima.
Definicije i oznake
Prije nego što se upustimo u primjere problema, važno je razumjeti oznake koje se često koriste u aritmetičkim nizovima. Ako je \(a\) prvi član, a \(d\) zajednička razlika (konstantna razlika), tada se aritmetički niz može zapisati kao:
\[ a, a+d, a+2d, a+3d, \ldots, a+(n-1)d \]
N-ti član (Un) ovog niza može se formulirati kao:
\[ U_n = a + (n-1)d \]
Slijede nekoliko primjera pitanja i njihove rasprave kako bi se olakšalo razumijevanje aritmetičkih nizova.
Primjer pitanja 1
Pitanje:
Zadan je aritmetički niz s prvim članom \(a = 5\) i zajedničkom razlikom \(d = 3\). Odredite deseti član niza.
Rasprava:
Koristeći opću formulu za n-ti član, naime \( U_n = a + (n-1)d \):
\[ U_{10} = 5 + (10-1) \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 9 \cdot 3 \]
\[ U_{10} = 5 + 27 \]
\[ U_{10} = 32 \]
Dakle, peti član niza je 32.
Primjer pitanja 2
Pitanje:
Zadan je aritmetički niz čiji je peti član 20, a osmi član 35. Odredite prvi član \(a\) i zajedničku razliku \(d\) niza.
Rasprava:
Iz pitanja znamo:
\[ U_5 = a + 4d = 20 \]
\[ U_8 = a + 7d = 35 \]
Oduzmite obje jednadžbe kako biste eliminirali \(a\):
\[ (a + 7d) – (a + 4d) = 35 – 20 \]
\[ 3d = 15 \]
\[ d = 5 \]
Sada zamjenjujemo \(d = 5\) kako bismo pronašli \(a\):
\[ a + 4 \cdot 5 = 20 \]
\[ a + 20 = 20 \]
\[ a = 0 \]
Dakle, prvi član niza je 0, a razlika je 5.
Primjer pitanja 3
Pitanje:
Koliki je zbroj prvih 20 članova aritmetičkog niza čiji je prvi član \(a = 2\) i zajednička razlika \(d = 4\)?
Rasprava:
Zbroj prvih n članova aritmetičkog niza može se izračunati pomoću formule:
\[ S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right) \]
Za ovu liniju:
\[ S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2 \cdot 2 + (20-1) \cdot 4 \desno) \]
\[ S_{20} = 10 \left( 4 + 76 \desno) \]
\[S_{20} = 10 \cdot 80 \]
\[S_{20} = 800 \]
Dakle, zbroj prvih 20 članova niza je 800.
Primjer pitanja 4
Pitanje:
Treći član aritmetičkog niza je 15, a sedmi član je 27. Pronađite 12. član niza.
Rasprava:
Prvo moramo pronaći vrijednosti \(a\) i \(d\). Iz pitanja znamo:
\[ U_3 = a + 2d = 15 \]
\[ U_7 = a + 6d = 27 \]
Oduzmite obje jednadžbe kako biste eliminirali \(a\):
\[ (a + 6d) – (a + 2d) = 27 – 15 \]
\[ 4d = 12 \]
\[ d = 3 \]
Sada zamjenjujemo \(d = 3\) kako bismo pronašli \(a\):
\[ a + 2 \cdot 3 = 15 \]
\[ a + 6 = 15 \]
\[ a = 9 \]
Korištenje formule za n-ti član za pronalaženje 12. člana:
\[ U_{12} = a + 11d \]
\[ U_{12} = 9 + 11 \cdot 3 \]
\[ U_{12} = 9 + 33 \]
\[ U_{12} = 42 \]
Dakle, peti član niza je 42.
Primjer pitanja 5
Pitanje:
Aritmetički niz s prvim članom \(a\) i zajedničkom razlikom \(d\) ima zbroj prvih 10 članova, tj. 55. Ako je \(d = 1\), odredite prvi član \(a\).
Rasprava:
Zadano je \(d = 1\) i \(S_{10} = 55\). Upotrijebite formulu za zbroj prvih članova:
S_n = (2a + (n-1)d)
Za n = 10:
\[ S_{10} = \frac{10}{2} (2a + 9 \cdot 1) = 55 \]
\[ 5 (2a + 9) = 55 \]
\[ 2a + 9 = 11 \]
\[ 2a = 2 \]
\[ a = 1 \]
Dakle, prvi član niza je 1.
Zaključak
Aritmetički nizovi su temeljni koncept u matematici koji je izuzetno koristan u raznim područjima. U ovom članku raspravljali smo o nekoliko primjera aritmetičkih nizova i njihovih rješenja. Dobro razumijevanje formula i osnovnih svojstava aritmetičkih nizova bit će vrlo korisno u rješavanju raznih vrsta problema povezanih s ovom temom.
Vježbanjem primjera poput gore navedenih, nadamo se da ćete postati vještiji i brži u rješavanju problema koji uključuju aritmetičke nizove.
