स्थिर तरंगें – समस्याएं और समाधान

स्थिर तरंगें – समस्याएं और समाधान

1. 3 मीटर लंबी डोरी का एक सिरा बंधा हुआ है और दूसरा सिरा वाइब्रेटर से जुड़ा हुआ है। वाइब्रेटर के कंपन होने पर, डोरी एक स्थिर तरंग बनाती है , जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

स्थिर सिरे से 5वें एंटीनोड की स्थिति ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दो नोड्स के बीच की दूरी = 3 मीटर / 5 = 3/5 मीटर।

पहले नोड और निश्चित सिरे के बीच की दूरी = 3/5 मीटर

दूसरे नोड और स्थिर सिरे के बीच की दूरी = 2 (3/5 मीटर) = 6/5 मीटर

तीसरे नोड और स्थिर सिरे के बीच की दूरी = 3 (3/5 मीटर) = 9/5 मीटर

चौथे नोड और स्थिर सिरे के बीच की दूरी = 4 (3/5 मीटर) = 12/5 मीटर

नोड और एंटीनोड के बीच की दूरी = 1/2 (3/5 मीटर) = 3/10 मीटर।

पाँचवें प्रतिनोड और स्थिर सिरे के बीच की दूरी = चौथे नोड और स्थिर सिरे के बीच की दूरी + नोड और प्रतिनोड के बीच की दूरी = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 मीटर।

2. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए अनुसार, एक सिरा वाइब्रेटर से जुड़ा है और दूसरा सिरा स्थिर है। यदि डोरी की लंबाई 1.5 मीटर है, तो चौथे नोड और वाइब्रेटर के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।

समाधान:

दो नोड्स के बीच की दूरी = 1.5 मीटर / 11 = 1.5 / 11 मीटर।

पहले नोड और वाइब्रेटर के बीच की दूरी = 1.5 / 11 मीटर

दूसरे नोड और वाइब्रेटर के बीच की दूरी = 2 (1.5 / 11 मीटर) = 3/11 मीटर

तीसरे नोड और वाइब्रेटर के बीच की दूरी = 3 (1.5 / 11 मीटर) = 4.5 / 11 मीटर

चौथे नोड और वाइब्रेटर के बीच की दूरी = 4 (1.5 / 11 मीटर) = 6/11 मीटर = 0.54 मीटर

3. एक तार के दोनों सिरे स्थिर रखे गए हैं, जिससे 420 हर्ट्ज़ आवृत्ति का मूल स्वर उत्पन्न होता है। तीसरा अतिस्वर ज्ञात कीजिए।

ए. 840 हर्ट्ज

बी. 1260 हर्ट्ज

सी. 1680 हर्ट्ज

डी. 2940 हर्ट्ज

ज्ञात :

मूल आवृत्ति (f ₁ ) = 420 हर्ट्ज़

दोनों सिरे स्थिर रखे जाते हैं।

आवश्यकता है: तीसरे ओवरटोन की।

समाधान:

पहला ओवरटोन (f ₂ ) = 2 f ₁ = 2 (420 हर्ट्ज़) = 840 हर्ट्ज़

द्वितीय ओवरटोन (f ₃ ) = 3 f ₁ = 3 (420 हर्ट्ज़) = 1260 हर्ट्ज़

तीसरा ओवरटोन (f ₄ ) = 4 f ₁ = 4 (420 हर्ट्ज़) = 1680 हर्ट्ज़

सही जवाब सी है।

4. किसी तार की पहली ध्वनि तरंगदैर्घ्य 40 सेमी है। यदि हवा में ध्वनि तरंग की गति 340 मीटर/सेकंड है, तो तीसरी ध्वनि ज्ञात कीजिए।

ए. 850 हर्ट्ज

बी. 1600 हर्ट्ज

सी. 1700 हर्ट्ज

डी. 3200 हर्ट्ज

ज्ञात :

प्रथम ओवरटोन की तरंगदैर्घ्य (λ) = 40 सेमी = 0.4 मीटर

हवा में ध्वनि तरंग की गति (v) = 340 मीटर/सेकंड

तीसरे ओवरटोन की आवृत्ति चाहिए

समाधान:

नीचे एक स्थिर तरंग का चित्र दिया गया है जो एक डोरी पर उत्पन्न हो रही है जिसके दोनों सिरे स्थिर रखे गए हैं। सबसे पहले, प्रथम अतिस्वर की तरंगदैर्घ्य का उपयोग करके डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए। उसके बाद, तीसरे अतिस्वर की आवृत्ति ज्ञात करने से पहले, तीसरे अतिस्वर की तरंगदैर्घ्य ज्ञात कीजिए।

प्रथम ओवरटोन की तरंगदैर्घ्य:

डोरी की लंबाई (L) = 2. ½ λ

डोरी की लंबाई (L) = λ

डोरी की लंबाई (L) = 0.4 मीटर

तीसरे ओवरटोन की तरंगदैर्घ्य:

एल = 2 λ

0.4 = 2 λ

λ = 0.4 / 2

λ = 0.2 मीटर

तीसरे ओवरटोन की आवृत्ति:

f = v / λ

f = 340 : 0.2

f = 1700 हर्ट्ज़

सही जवाब सी है।

5. दोनों सिरों से खुली 40 सेमी लंबाई की एक नली 420 हर्ट्ज़ आवृत्ति का मूल स्वर उत्पन्न करती है। द्वितीय अतिस्वर ज्ञात कीजिए।

ए. 380 हर्ट्ज

बी. 460 हर्ट्ज

सी. 840 हर्ट्ज

डी. 1260 हर्ट्ज

ज्ञात :

पाइप की लंबाई (L) = 40 सेमी = 0.4 मीटर

मूल स्वर की आवृत्ति (f ₁ ) = 420 हर्ट्ज़

वांछित: द्वितीय ओवरटोन (f ₃ ) की आवृत्ति

समाधान:

यदि मूल स्वर (f ₁ ) = 420 हर्ट्ज़ है, तो दूसरा अतिस्वर (f ₃ ) = 3 f ₁ = 3 (420 हर्ट्ज़) = 1260 हर्ट्ज़

सही उत्तर है डी.

6. बंद नली में ध्वनि तरंग का तरंग पैटर्न लगभग समान होता है…

ए. डोरी पर तरंग का प्रसार

बी. वायु स्तंभ पर तरंग प्रसार

C. एक सिरे पर स्थिर डोरी पर स्थिर तरंग

डी. दोनों सिरों पर स्थिर डोरी पर स्थिर तरंग

समाधान:

एक बंद नली वह नली होती है जो एक सिरे पर खुली होती है लेकिन दूसरे सिरे पर बंद होती है, जैसा कि ऊपर दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

सही जवाब सी है।

स्थिर तरंगों से संबंधित 20 वैचारिक प्रश्न और उनके उत्तर:

1. प्रश्न: स्थिर तरंग क्या होती है?

उत्तर: स्थिर तरंग एक ऐसी तरंग आकृति है जो स्थिर प्रतीत होती है, जिसमें नोड और एंटीनोड होते हैं, जो विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के व्यतिकरण के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती है।

2. प्रश्न: नोड और एंटीनोड में क्या अंतर है?

उत्तर: नोड शून्य आयाम वाले बिंदु होते हैं, जहाँ तरंग स्थिर रहती है, जबकि एंटीनोड अधिकतम आयाम वाले बिंदु होते हैं।

3. प्रश्न: क्या स्थिर तरंगें किसी भी माध्यम में बन सकती हैं?

उत्तर: स्थिर तरंगें किसी भी माध्यम में बन सकती हैं जो तरंगों के प्रसार की अनुमति देता है, जैसे कि तार, वायु स्तंभ और पानी।

4. प्रश्न: स्थिर तरंग की आवृत्ति उसके हार्मोनिक संख्या से किस प्रकार संबंधित है?

उत्तर: स्थिर तरंग की सबसे कम आवृत्ति को मूल आवृत्ति (प्रथम हार्मोनिक) कहते हैं। उच्चतर हार्मोनिक्स की आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति की पूर्णांक गुणक होती हैं।

5. प्रश्न: स्थिर तरंग में नोड्स की स्थिति किससे निर्धारित होती है?

उत्तर: नोड्स का निर्माण तब होता है जब विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली तरंगें एक दूसरे के साथ विनाशकारी रूप से हस्तक्षेप करती हैं, जिससे वे एक दूसरे को रद्द कर देती हैं।

6. प्रश्न: दोनों सिरों पर बंधी डोरी पर स्थिर तरंगें कैसे उत्पन्न होती हैं?

उत्तर: जब किसी डोरी से होकर गुजरने वाली तरंग उसके स्थिर सिरे पर परावर्तित होती है, तो वह आने वाली तरंगों के साथ व्यतिकरण करती है, जिससे आवृत्तियों के मेल खाने पर एक स्थिर तरंग पैटर्न बनता है।

7. प्रश्न: स्थिर तरंग में तरंगदैर्घ्य और माध्यम की लंबाई के बीच क्या संबंध है?

उत्तर: दोनों सिरों पर बंधी डोरी के लिए, माध्यम की लंबाई स्थिर तरंग की तरंगदैर्ध्य के आधे का पूर्णांक गुणक होती है।

8. प्रश्न: स्थिर तरंगें माध्यम के आर-पार ऊर्जा का स्थानांतरण क्यों नहीं करतीं?

उत्तर: माध्यम में मौजूद कण दोलन करते हैं, लेकिन समग्र तरंग पैटर्न स्थिर रहता है, इसलिए किसी विशेष दिशा में ऊर्जा का शुद्ध परिवहन नहीं होता है।

9. प्रश्न: क्या आप खुली नलियों में स्थिर तरंगों का अवलोकन कर सकते हैं?

उत्तर: हां, खुली नलिकाओं में स्थिर तरंगें बन सकती हैं, लेकिन सीमा शर्तें बंद नलिकाओं से भिन्न होती हैं, जो नोड और एंटीनोड की स्थितियों को प्रभावित करती हैं।

10. प्रश्न: किसी डोरी में तनाव बढ़ाने पर स्थिर तरंग पर क्या प्रभाव पड़ता है?

उत्तर: तनाव बढ़ाने से तरंग की गति बढ़ जाती है, जिससे स्थिर तरंग की आवृत्ति और पैटर्न में परिवर्तन हो सकता है।

11. प्रश्न: अनुनाद का स्थिर तरंगों से क्या संबंध है?

उत्तर: अनुनाद तब होता है जब कोई बाहरी बल या कंपन किसी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति से मेल खाता है, जिससे एक स्पष्ट स्थिर तरंग उत्पन्न होती है।

12. प्रश्न: मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर: मूल आवृत्ति, या प्रथम हार्मोनिक, वह निम्नतम आवृत्ति है जिस पर कोई प्रणाली स्थिर तरंग को बनाए रख सकती है।

13. प्रश्न: ओवरटोन का हार्मोनिक्स से क्या संबंध है?

उत्तर: अतिस्वरों की आवृत्तियाँ मूल आवृत्ति से अधिक होती हैं। पहला अतिस्वर द्वितीय हार्मोनिक के अनुरूप होता है, दूसरा अतिस्वर तृतीय हार्मोनिक के अनुरूप होता है, और इसी प्रकार आगे भी।

14. प्रश्न: नोड्स पर विस्थापन क्यों नहीं होता है?

उत्तर: नोड्स पर, दो व्यतिकरण करने वाली तरंगें 180° के अंतर से कला में भिन्न होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप विनाशकारी व्यतिकरण और शून्य विस्थापन होता है।

15. प्रश्न: क्या स्थिर तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है?

उत्तर: किसी तार पर स्थिर तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं और इसलिए उनमें दोलन की दिशा (ध्रुवीकरण) होती है। हालांकि, हवा जैसे माध्यम में, स्थिर ध्वनि तरंगें अनुदैर्ध्य होती हैं और ध्रुवीकरण प्रदर्शित नहीं करती हैं।

16. प्रश्न: संगीत वाद्ययंत्र स्थिर तरंगों के सिद्धांत का उपयोग क्यों करते हैं?

उत्तर: संगीत वाद्ययंत्र अक्सर स्थिर तरंगें बनाकर ध्वनि उत्पन्न करते हैं, जिसमें विभिन्न हार्मोनिक्स विभिन्न संगीत स्वर उत्पन्न करते हैं।

17. प्रश्न: स्थिर तरंग की तरंग गति का आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य से क्या संबंध है?

उत्तर: तरंग की गति (v) आवृत्ति (f) और तरंगदैर्घ्य (λ) का गुणनफल है: v = fx λ।

18. प्रश्न: क्या दो भिन्न आवृत्तियाँ एक ही माध्यम में स्थिर तरंगें उत्पन्न कर सकती हैं?

उत्तर: जी हाँ, बशर्ते आवृत्तियाँ उस माध्यम में स्थिर तरंगों की स्थितियों के अनुरूप हों। प्रत्येक आवृत्ति एक अलग हार्मोनिक का प्रतिनिधित्व करती है।

19. प्रश्न: बंद ट्यूबों में स्थिर तरंगें खुली ट्यूबों में स्थिर तरंगों से किस प्रकार भिन्न होती हैं?

उत्तर: बंद नलिकाओं में, एक सिरे पर नोड होता है जबकि दूसरे सिरे पर एंटीनोड होता है। खुली नलिकाओं में, दोनों सिरों पर एंटीनोड होते हैं।

20. प्रश्न: क्या किसी दिए गए माध्यम में किसी भी आवृत्ति की स्थिर तरंगें बन सकती हैं?

उत्तर: नहीं, केवल वे विशिष्ट आवृत्तियाँ जो माध्यम की सीमा शर्तों को पूरा करती हैं, स्थिर तरंगें उत्पन्न करेंगी।

स्थिर तरंगों को समझना संगीत से लेकर दूरसंचार तक विभिन्न क्षेत्रों में महत्वपूर्ण है, क्योंकि वे विशिष्ट परिस्थितियों में तरंगों के मूलभूत व्यवहार को दर्शाती हैं।