प्रक्षेप्य गति

प्रक्षेप्य गति और हल सहित उदाहरण समस्याओं पर लेख

प्रारंभिक वेग (v)_o) और प्रारंभिक वेग का घटक (v_ox और वी_oy)

एक ऐसी वस्तु जिसकी परवलयिक गति में हमेशा एक प्रारंभिक गति होती है। क्योंकि परवलयिक गति क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में गतियों का संयोजन है, इसलिए प्रारंभिक वेग में भी क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटक होते हैं।

यदि वस्तु आकृति 1 और 3 में दर्शाए अनुसार परवलयिक रूप से गति करती है, तो क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग (v _ox ) और ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रारंभिक वेग (v _oy ) की गणना निम्न समीकरण का उपयोग करके की जाती है:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

यदि वस्तु आकृति 2 के अनुसार परवलयिक रूप से गति कर रही है तो v _o = v _ox (v _oy = 0)

वेग (v_x और वी_y) और स्थिति (x और y)

किसी निश्चित समय अंतराल पर क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर दिशाओं में गति की गणना निम्न समीकरण का उपयोग करके की जाती है:

v _x = v _ox = स्थिरांक ( समान रैखिक गति )

v _y = v _oy + gt या v _y ² = v _oy ² + 2 gh (मुक्त-पतन गति)

किसी निश्चित समय अंतराल पर क्षैतिज (x) और ऊर्ध्वाधर (y) दिशाओं में वस्तुओं की स्थिति की गणना निम्न समीकरण का उपयोग करके की जाती है:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

वेग (v) और स्थिति (h) का परिणामी

किसी निर्दिष्ट समय अंतराल पर परिणामी वेग की गणना निम्न समीकरण का उपयोग करके की जाती है:

किसी निश्चित समय अंतराल पर वस्तुओं की दिशा की गणना निम्न समीकरण का उपयोग करके की जाती है:

टिप्पणियाँ:

1. परवलयिक गति के क्षैतिज घटक को एकसमान रेखीय गति माना जाता है, इसलिए vox = vx हमेशा स्थिर रहता है।

2. परवलयिक गति के ऊर्ध्वाधर घटक को मुक्त-पतन गति के रूप में देखा जाता है, इसलिए यदि वस्तु परवलयिक रूप से गति करती है, जैसे कि चित्र 1 और 3 में, तो अधिकतम ऊँचाई पर वस्तु के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है (v _y = 0)। यदि आप एक कंचे को अधिकतम ऊँचाई से सीधा ऊपर की ओर फेंकते हैं, तो नीचे की ओर मुड़ने से पहले वस्तु एक क्षण के लिए स्थिर रहती है (v _y = 0)। इसलिए, अधिकतम ऊँचाई पर परवलयिक गति कर रही वस्तु की गति = v _x = v _ox

3. यदि वस्तु चित्र 2 में दर्शाए अनुसार परवलयिक रूप से गति करती है, तो परवलयिक गति के ऊर्ध्वाधर घटक को मुक्त-पतन गति के रूप में देखा जाता है। यदि वस्तु चित्र 1 और 3 में दर्शाए अनुसार परवलयिक रूप से गति करती है, तो परवलयिक गति के ऊर्ध्वाधर घटक को ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति के रूप में देखा जाता है।

उदाहरण समस्याएं:

1. एक गोली को क्षैतिज दिशा में 20 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से दागा जाता है। यदि बंदूक जमीन से 5 मीटर ऊपर है, तो ज्ञात कीजिए:

(ए) हवा में बिताया गया समय

(ख) अधिकतम ऊंचाई

(सी) क्षैतिज दूरी

(d) गोली की गति जब वह जमीन पर गिरती है

उपाय:

क्षैतिज दिशा में गति का विश्लेषण एकसमान रेखीय गति की तरह किया जाता है, जबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण मुक्त पतन गति की तरह किया जाता है।

ज्ञात:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

ए) हवाई यात्रा में बिताया गया समय

इसका हल मुक्त पतन गति में समय अंतराल (t) निर्धारित करना है।

ज्ञात: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

आवश्यकता है: टी

b) अधिकतम ऊँचाई

अधिकतम ऊंचाई = h = 5 मीटर।

(c) क्षैतिज दूरी (d)

इसका हल एकसमान रेखीय गति पर दूरी निर्धारित करने जैसा है।

ज्ञात मान: v _ox = 20 m/s, t = 1 सेकंड

आवश्यकता है: d

डी = वीटी

d = (20 मीटर/सेकंड)(1 सेकंड) = 20 मीटर

d) गोली के जमीन पर गिरने पर उसकी गति

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

सबसे पहले, हम ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम गति (vty) की गणना करते हैं। यह प्रक्रिया मुक्त पतन की अंतिम गति निर्धारित करने के समान है।

ज्ञात: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

आवश्यकता है: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s ² )(1 s)

v _t = 9.8 मीटर/सेकंड

जमीन पर गिरने पर गोली की गति:

गोली की दिशा:

क्योंकि v _tx धनात्मक x-अक्ष की दिशा में (दाईं ओर) है और v _ty ऋणात्मक y-अक्ष की दिशा में (नीचे की ओर) है,

जब गोली जमीन पर गिरती है तो उसकी दिशा धनात्मक x-अक्ष से -26.1 ^{डिग्री होती है (नीचे दिया गया चित्र देखें)।}

2. तोप ने क्षैतिज से 30 ^{डिग्री के} कोण पर 60 मीटर/सेकंड की गति से एक गोली दागी। ज्ञात कीजिए:

(ए) अधिकतम ऊंचाई

(ख) अधिकतम ऊंचाई पर गोली की गति

(सी) हवा में बिताया गया समय

(d) क्षैतिज दूरी

(ई) गोली की गति जब वह जमीन पर गिरती है। मान लीजिए जमीन समतल है। 🙂

उपाय:

क्षैतिज दिशा में गति का विश्लेषण एकसमान रेखीय गति की तरह किया जाता है, जबकि ऊर्ध्वाधर दिशा में गति का विश्लेषण ऊपर की ओर ऊर्ध्वाधर गति की तरह किया जाता है।

ज्ञात: v _o = 60 m/s, थीटा = 30 ^o ।

ज्ञात आंकड़ों के आधार पर, हम सबसे पहले प्रारंभिक गति (vo) के ऊर्ध्वाधर (voy) और क्षैतिज (vox) _{घटकों} की गणना _करते हैं _।

a) अधिकतम ऊँचाई (h)

इसका हल ऊर्ध्वाधर गति में अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करने जैसा है।

ज्ञात:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o पाप θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) अधिकतम ऊंचाई (h)

इसका हल ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति में अधिकतम ऊंचाई निर्धारित करने जैसा है।

ज्ञात:

v _oy = 30 m/s (यह गोली की प्रारंभिक गति है)

v _ty = 0 m/s (अधिकतम ऊंचाई पर, गोली का ऊर्ध्वाधर वेग = 0 m/s होता है। यही अंतिम गति है।)

g = – 9.8 m/ ^s²

आवश्यकता है: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 घंटे

900 = 19.6 घंटे

एच = 900 / 19.6

h = 45.9 मीटर

गोली द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊंचाई = 45.9 मीटर।

b) अधिकतम ऊंचाई पर गति

अधिकतम ऊँचाई पर, ऊर्ध्वाधर दिशा में गति = 0 मीटर/सेकंड होती है। अधिकतम ऊँचाई पर, केवल क्षैतिज दिशा में गति होती है। अधिकतम ऊँचाई पर क्षैतिज दिशा में गति, क्षैतिज दिशा में प्रारंभिक वेग के बराबर होती है, जो कि 52.2 मीटर/सेकंड है। क्षैतिज दिशा में वेग की दिशा हमेशा स्थिर रहती है, अर्थात् धनात्मक x-अक्ष की दिशा में (यदि किसी वस्तु की गति को ऊपर दिए गए चित्र में दर्शाया गया है)।

ग) हवा में बिताया गया समय

इसका हल ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति की चर्चा में समय अंतराल (t) निर्धारित करने के समान है।

ज्ञात:

v _oy = 30 m/s (यह ऊर्ध्वाधर दिशा में गोली की प्रारंभिक गति है)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 मीटर (जब गोली जमीन पर वापस आती है, तो ऊर्ध्वाधर दिशा में गोली का विस्थापन = 0 मीटर)

आवश्यकता है: टी

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/s ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) टी = 4.9 टी ²

30 = 4.9 टी

टी = 30 / 4.9

t = 6.12 सेकंड

हवा में बिताया गया समय = 6.12 सेकंड

d) क्षैतिज दूरी (d)

इसका हल एकसमान रेखीय गति पर दूरी (d) निर्धारित करने जैसा है।

ज्ञात:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 सेकंड

आवश्यकता है: d

d = vt = (52.2 मीटर/सेकंड)(6.12 सेकंड) = 319.5 मीटर

e) गोली के जमीन पर गिरने पर उसकी गति

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

सबसे पहले, हम ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग (v _ty ) की गणना करते हैं। हल यह है कि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति में अंतिम गति का निर्धारण किया जाए।

वांछित मान: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 सेकंड

आवश्यकता है: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि अंतिम वेग की दिशा नीचे की ओर है। ध्यान दें कि ऊर्ध्वाधर दिशा में प्रारंभिक वेग, ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम वेग के बराबर होता है।

जमीन पर गिरने पर गोली की गति:

गोली की दिशा:

चूंकि v _tx धनात्मक x-अक्ष की दिशा में (दाईं ओर) है और vty ऋणात्मक y-अक्ष की दिशा में (नीचे की ओर) है,

जमीन पर गिरने पर गोली के वेग की दिशा धनात्मक x-अक्ष के सापेक्ष -30 ^{डिग्री होती है (नीचे दिया गया चित्र देखें)।}

3. एक गेंद को 50 मीटर ऊँची इमारत के किनारे से 10 मीटर/सेकंड के प्रारंभिक वेग से फेंका जाता है। यदि गेंद को क्षैतिज से 30 डिग्री के कोण पर फेंका जाता है, तो ज्ञात कीजिए:

(a) गेंद के जमीन पर पहुंचने का समय अंतराल

(ख) गेंद की गति जब वह जमीन से टकराती है

(ग) गेंद द्वारा तय की जा सकने वाली क्षैतिज दूरी को भवन के किनारे से मापा जाता है।

(d) गेंद द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई

उपाय:

सबसे पहले, हम प्रारंभिक वेग (vo) के _{ऊर्ध्वाधर} घटक (voy ₎ और क्षैतिज घटक (vox _{) की गणना करते हैं।}

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) गेंद के जमीन पर पहुंचने का समय अंतराल

हल विधि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति में समय अंतराल (t) ज्ञात करने के समान है। ऊपर की ओर दिशा वाले सदिश का परिमाण धनात्मक और नीचे की ओर दिशा वाले सदिश का परिमाण ऋणात्मक लिया जाता है। जिस स्थान से गेंद फेंकी जाती है, उसे संदर्भ बिंदु माना जाता है। h ऋणात्मक है क्योंकि जमीन की सतह संदर्भ बिंदु से नीचे है, और g ऋणात्मक है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण की दिशा नीचे की ओर है।

ज्ञात:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/s ²

आवश्यकता है: टी

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

द्विघात सूत्र का उपयोग करें:

हवा में बिताया गया समय = गेंद फेंके जाने से लेकर जमीन पर पहुंचने तक का समय अंतराल = 1.64 सेकंड।

b) गेंद की गति जब वह जमीन की सतह से टकराती है

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

सबसे पहले, हम ऊर्ध्वाधर दिशा में अंतिम गति (v _ty ) की गणना करते हैं। यह विधि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर गति में अंतिम गति निर्धारित करने के समान है।

ज्ञात मान: v _oy = 5 मीटर/सेकंड, g = -9.8 मीटर/सेकंड² ^, t = 1.64 सेकंड

आवश्यकता है: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि अंतिम वेग की दिशा नीचे की ओर है।

जमीन पर गिरने पर गोली की गति:

गोली की गति की दिशा = जमीन पर गिरने के समय गोली की गति की दिशा:

जमीन पर गिरने पर गोली की गति:

क्योंकि vtx धनात्मक x-अक्ष की दिशा में (दाईं ओर) है और vty ऋणात्मक y-अक्ष की दिशा में (नीचे की ओर) है,

जब गोली जमीन पर गिरती है तो उसकी दिशा धनात्मक x-अक्ष के सापेक्ष -52° होती है (नीचे दिया गया चित्र देखें)।

ग) गेंद द्वारा तय की जा सकने वाली क्षैतिज दूरी भवन के किनारे से मापी जाती है।

इसका हल एकसमान रेखीय गति में तय की गई दूरी (d) निर्धारित करने जैसा है।

ज्ञात मान: t = 1.64 सेकंड, v _x = 8.7 मीटर/सेकंड

आवश्यकता है: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) गेंद द्वारा प्राप्त की गई अधिकतम ऊँचाई

ज्ञात: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( अधिकतम ऊँचाई पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक = 0 m/s), g = -9.8 m/s ².

आवश्यकता है: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ² + 2(-9.8 m/s ² )(h)

0 m/s = 25 (m/s) ² + (-19.6 m/s ² )(h)

25 (मी/सेकंड) ² = -19.6 मी/सेकंड 2 (घंटे)

h = 25 (m/s) ² : -19.6 m/s ² = 1.3 मीटर

गेंद द्वारा अधिकतम प्राप्त की गई ऊँचाई = इमारत के शीर्ष से 1.3 मीटर ऊपर = 1.3 मीटर + 50 मीटर = जमीन की सतह से 51.3 मीटर ऊपर।