3. जड़त्व आघूर्ण समीकरण से संबंधित समस्याएं और उनके समाधान
1. एक ठोस बेलन की त्रिज्या 8 सेमी और द्रव्यमान 2 किलोग्राम है। वहीं, एक ठोस गेंद की त्रिज्या 5 सेमी और द्रव्यमान 4 किलोग्राम है। यदि दोनों वस्तुएँ अपने केंद्र से गुजरने वाली अक्ष के साथ घूमती हैं, तो बेलन और गेंद के जड़त्व आघूर्ण का अनुपात ज्ञात कीजिए।
ज्ञात:
ठोस बेलन की त्रिज्या (r) = 8 सेमी = 0.08 मीटर
ठोस बेलन का द्रव्यमान (मीटर) = 2 किलोग्राम
ठोस गेंद की त्रिज्या (r) = 5 सेमी = 0.05 मीटर
ठोस गेंद का द्रव्यमान (मीटर में) = 4 किलोग्राम
सिलेंडर और गेंद के जड़त्व आघूर्ण की तुलना चाहिए
समाधान :
ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र:
मैं = ½ एमआर 2 = ½ (2)(0,08) 2 = 0,0064
ठोस गेंद के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र:
मैं = 2/5 एमआर 2 = 1/5 (4)(0,05) 2 = (0,8)(0,0025) = 0,002
सिलेंडर और गेंद के जड़त्व आघूर्ण की तुलना:
0,0064: 0,002
3,2: 1
2. जिस डिब्बे में बिस्कुट रखे थे, उसे खिलौने के रूप में इस्तेमाल किया गया। डिब्बे का द्रव्यमान 200 ग्राम और त्रिज्या 15 सेंटीमीटर है। डिब्बे को समतल सतह पर लुढ़काया जाता है। यदि डिब्बे के ढक्कन और तल को अनदेखा कर दिया जाए, तो डिब्बे का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
ज्ञात:
यह डिब्बा एक खोखले सिलेंडर जैसा दिखता है।
द्रव्यमान (मीटर) = 200 ग्राम = 0.2 किलोग्राम
त्रिज्या (r) = 15 सेमी = 0.15 मीटर
चाहता था:
उपाय:
अक्ष के माध्यम से खोखले सिलेंडर के जड़त्व आघूर्ण का सूत्र:
I = MR 2 = (0,2)(0,15) 2 = (0,2)(0,0225) = 0,0045 kg m 2
3. एक डिस्क जो एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र है, 80 चक्कर प्रति मिनट की गति से घूम सकती है। यदि 4 x 10⁻² किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक छोटी वस्तु को अक्ष से 5 सेंटीमीटर की दूरी पर डिस्क से जोड़ दिया जाए, तो डिस्क का घूर्णन 60 चक्कर प्रति मिनट हो जाता है। तो डिस्क का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात कीजिए।
ज्ञात:
प्रारंभिक कोणीय वेग (ω o ) = 80 पुट / 60 सेकंड = 4/3 पुट/सेकंड
प्रारंभिक जड़त्व आघूर्ण (I o ) = I
अंतिम कोणीय वेग (ωt ) = 60 पुट / 60 सेकंड = 1 पुट/सेकंड
अंतिम जड़त्व आघूर्ण (I t ) = I + mr 2 = I + (0.04)(0.05) 2 = I + (0.04)(0.0025) = I + 0.0425
डिस्क का जड़त्व आघूर्ण ज्ञात करना है।
उपाय:
कोणीय संवेग के संरक्षण का नियम
I ω o = I ω t
I (4/3) = I + (0,0425 (1))
4 I / 3 = I + 0,0425
4 I = 3 I + 0,1275
4 I – 3 I = 0,1275
I = 0,1275 kg m 2
