बल का क्षण – समस्याएं और समाधान
1. यदि F R , F 1 , F 2 , और F 3 का कुल बल है , तो बल F 2 और x का परिमाण क्या है ?
ज्ञात :
शुद्ध बल (FR) = 40 एन
बल 1 (F 1 ) = 10 N
बल (F 3 ) = 20 N
बल F₂ का परिमाण और दूरी x ज्ञात कीजिए।
समाधान:
बल F₂ का परिमाण ज्ञात कीजिए :
ऊपर की ओर लगने वाला बल ऋणात्मक होता है और नीचे की ओर लगने वाला बल भी ऋणात्मक होता है।
ΣF = 0
– F R + F 1 + F 2 – F 3 = 0
– 40 + 10 + F 2 – 20 = 0
– 30 + F 2 – 20 = 0
– 50 + F 2 = 0
F 2 = 50 न्यूटन।
प्लस का चिह्न यह दर्शाता है कि बल की दिशा ऊपर की ओर है।
x का मान ज्ञात कीजिए।
घूर्णन अक्ष के रूप में A को चुनें।
τ 1 = एफ 1 एल 1 = (10 एन)(1 मीटर) = 10 एनएम
टॉर्क 1 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 3 को धनात्मक चिह्न देते हैं।
τ 2 = एफ 2 एक्स = (50)(एक्स) = 50x एनएम
टॉर्क 1 बीम को वामावर्त दिशा में घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 3 को धनात्मक चिह्न देते हैं।
τ 3 = एफ 3 एक्स = (20 एन)(1.75 मीटर) = -35 एनएम
टॉर्क 2 बीम को दक्षिणावर्त घुमाता है, इसलिए हम टॉर्क 2 को ऋणात्मक चिह्न देते हैं।
बल का कुल आघूर्ण :
Στ = 0
10 + 50x – 35 = 0
50x - 25 = 0
50x = 25
एक्स = एक्सएनएनएक्स / एक्सएनएनएक्स
x = 0.5 मीटर
2. चित्र में दर्शाए अनुसार ABCD छड़ पर F1 , F2 , F3 और F4 बल कार्य कर रहे हैं। यदि छड़ के द्रव्यमान को अनदेखा किया जाए, तो बिंदु A के सापेक्ष बल आघूर्ण का परिमाण क्या होगा?
घूर्णन अक्ष = बिंदु A.
ज्ञात :
बल एफ1 = 10 N, उत्तोलक भुजा l1 = 0 
बल F₁ = 4 N, उत्तोलक भुजा l₁ = 2 मीटर
बल F₁ = 5 N, उत्तोलक भुजा l₁ = 3 मीटर
बल F₁ = 10 N, उत्तोलक भुजा l₁ = 6 मीटर
बिंदु A के सापेक्ष बल का आघूर्ण ज्ञात करना है।
समाधान:
बल का आघूर्ण 1 (τ 1 ) = F 1 l 1 = (10)(0) = 0
बल का क्षण 2 (τ 2 ) = एफ 2 एल 2 = (4)(2) = -8 एनएम
बल का क्षण 3 (τ 3 ) = एफ 3 एल 3 = (5)(3) = 15 एनएम
बल का क्षण 4 (τ 4 ) = एफ 4 एल 4 = (10)(6) = -60 एनएम
यदि टॉर्क छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है तो हम धनात्मक चिह्न लगाते हैं।
यदि टॉर्क के कारण छड़ दक्षिणावर्त दिशा में घूमती है तो हम ऋणात्मक चिह्न लगाते हैं।
बल आघूर्ण का परिणामी:
τ = 0 - 8 एनएम + 15 एनएम - 60 एनएम
τ = -68 एनएम + 15 एनएम
τ = -53 एनएम
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
3. एक छड़ पर तीन बल कार्य कर रहे हैं, F A = F C = 10 N और F B = 20 N, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि AB और BC के बीच की दूरी 20 cm है, तो बिंदु C के सापेक्ष बल का आघूर्ण क्या होगा?
ज्ञात :
बिंदु C पर घूर्णन अक्ष।
F A और घूर्णन अक्ष (r AC ) के बीच की दूरी = 40 सेमी = 0,4 मीटर
F B और घूर्णन अक्ष (r BC ) के बीच की दूरी = 20 सेमी = 0.2 मीटर
F C और घूर्णन अक्ष (r CC ) के बीच की दूरी = 0 cm
F A = 10 न्यूटन
F B = 20 न्यूटन
FC = 10 न्यूटन
वांछित: बिंदु C के सापेक्ष बल आघूर्ण का परिणामी।
समाधान:
बल A का आघूर्ण:
Στ ए = (एफए ) (आर एसी पाप 90 ओ ) = (10 एन)(0,4 मीटर)(1) = -4 एनएम
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल B का आघूर्ण:
Στ बी = (एफ बी )(आर बीसी पाप 90 ओ ) = (20 एन)(0,2 मीटर)(1) = 4 एनएम
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण C :
Στ सी = (एफ सी )(आर सीसी पाप 90 ओ ) = (10 एन)(0)(1) = 0
बल आघूर्ण का परिणामी:
Στ = Στ 1 + Στ 2 + Στ 3
Στ = -4 + 4 + 0
Στ = 0 Nm
4. एक छड़ की लंबाई 50 सेमी है। छड़ पर तीन बल कार्य करते हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। यदि घूर्णन अक्ष बिंदु C है, तो बल आघूर्ण का कुल योग क्या होगा?
ज्ञात :
बिंदु C पर घूर्णन अक्ष।
F 1 और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी (r 1 ) = 30 सेमी = 0,3 मीटर है।
F 2 और घूर्णन अक्ष (r 2 ) के बीच की दूरी = 10 सेमी = 0,1 मीटर
F 3 और घूर्णन अक्ष (r 3 ) के बीच की दूरी = 20 सेमी = 0,2 मीटर
F 1 = 10 न्यूटन
F 2 = 10 न्यूटन
F 3 = 10 न्यूटन
वांछित: बिंदु C के सापेक्ष बल के आघूर्ण का परिणामी।
समाधान:
बल आघूर्ण 1:
Στ 1 = (एफ 1 )(आर 1 पाप 90 ओ ) = (10 एन)(0,3 मीटर)(1) = -3 एनएम
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण 2:
Στ 2 = (एफ 2 )(आर 2 पाप 90 ओ ) = (10 एन)(0,1 मीटर)(1) = 1 एनएम
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण 3:
Στ 3 = (एफ 3 )(आर 3 पाप 30 ओ ) = (10 एन)(0,2 मीटर)(0,5) = -1 एनएम
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण का परिणामी:
Στ = Στ 1 + Στ 2 + Στ 3
Στ = -3 + 1 – 1
Στ = -3 एनएम
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल के आघूर्ण का परिणामी बल छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
5. एक छड़ पर तीन बल F₁ , F₂ और F₃ कार्य कर रहे हैं, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है। छड़ की लंबाई 4 मीटर है। बिंदु C के सापेक्ष बल का आघूर्ण क्या है?
(sin 53 o = 0.8, cos 53 o = 0.6, AB = BC = CD = DE = 1 मीटर)
ज्ञात :
बिंदु C पर घूर्णन अक्ष। 
बल 1 (F 1 ) = 5 न्यूटन
F 1 की क्रिया रेखा और घूर्णन अक्ष (r 1 ) के बीच की दूरी = 2 मीटर
बल 2 (F 2 ) = 0.4 न्यूटन
F 2 की क्रिया रेखा और घूर्णन अक्ष (r 2 ) के बीच की दूरी = 1 मीटर
बल 3 (F 3 ) = 4.8 न्यूटन
F 3 की क्रिया रेखा और घूर्णन अक्ष (r 3 ) के बीच की दूरी = 2 मीटर
बिंदु C के सापेक्ष बल का आघूर्ण ज्ञात करना है।
समाधान:
बल आघूर्ण 1:
τ 1 = एफ 1 आर पाप 53 ओ = (5 एन)(2 मीटर)(0,8) = (10)(0,8) एन = 8 एन
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण 2:
τ 2 = एफ 2 आर पाप 90 ओ = (0,4 एन)(1 मीटर)(1) = -0,4 एन
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण 3:
τ 3 = एफ 3 आर पाप 90 ओ = (4,8 एन)(2 मीटर)(1) = -9,6 एन
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण का परिणामी:
Στ = τ 1 – τ 2 – τ 3 = 8 – 0,4 – 9,6 = 8 – 10 = 2 एनएम
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
6. नीचे दिए गए चित्र में दर्शाए गए अनुसार, छड़ पर लगने वाले बलों द्वारा बिंदु O पर घूर्णन अक्ष के सापेक्ष बल के आघूर्ण का परिणामी क्या होगा?
ज्ञात :
बिंदु O पर घूर्णन अक्ष। 
बल 1 (F 1 ) = 6 न्यूटन
F 1 की क्रिया रेखा और घूर्णन अक्ष (r 1 ) के बीच की दूरी = 1 मीटर
बल 2 (F 2 ) = 6 न्यूटन
F 2 की क्रिया रेखा और घूर्णन अक्ष (r 2 ) के बीच की दूरी = 2 मीटर
बल 3 (F 3 ) = 4 न्यूटन
F 3 की क्रिया रेखा और घूर्णन अक्ष (r 3 ) के बीच की दूरी = 2 मीटर
बिंदु C के सापेक्ष बल आघूर्ण का परिणामी ज्ञात करना है।
समाधान:
बल आघूर्ण 1:
τ 1 = एफ 1 एल 1 = (6 एन)(1 मीटर) = 6 एनएम
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण 2:
τ 2 = एफ 2 आर 2 पाप 30 ओ = (6 एन)(2 मीटर)(0,5)= 6 एनएम
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण 3:
τ 3 = एफ 3 एल 3 = (4 एन)(2 मीटर) = -8 एनएम
माइनस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को दक्षिणावर्त दिशा में घुमाता है।
बल आघूर्ण का परिणामी:
Στ = τ 1 + τ 2 – τ 3 = 6 + 6 – 8 = 4 एनएम
प्लस चिह्न यह दर्शाता है कि बल का आघूर्ण छड़ को वामावर्त दिशा में घुमाता है।
