रेखीय गति – समस्याएं और समाधान

रेखीय गति – समस्याएं और समाधान

1. नीचे दिए गए चित्र में वेग (v) बनाम समय (t) का ग्राफ दर्शाया गया है। ग्राफ के अनुसार मंदन क्या है?

उपाय

AB = स्थिर त्वरण से गति , BC = स्थिर वेग से गति , CD = स्थिर मंदन से गति।

2. नीचे दिए गए चित्र में रैखिक गति का ग्राफ दर्शाया गया है। 0 सेकंड से 8 सेकंड के बीच किसी वस्तु द्वारा तय की गई दूरी क्या है?

उपाय

त्रिभुज का क्षेत्रफल 1 = त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ (4-0)(12-0) = ½ (4)(12) = (2)(12) = 24

क्षेत्रफल 2 = आयत का क्षेत्रफल = (8-4)(12-0) = (4)(12) = 48

8 सेकंड में तय की गई दूरी = 24 मीटर + 48 मीटर = 72 मीटर।

3. नीचे दिए गए चित्र में रैखिक गति के लिए वेग (v) बनाम समय (t) का ग्राफ दर्शाया गया है। 12 सेकंड के दौरान तय की गई दूरी क्या है?

उपाय

त्रिभुज 1 का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ (2-0)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

आयत का क्षेत्रफल = (6-2)(4-0) = (4)(4) = 16

त्रिभुज 3 का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ (8-6)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

त्रिभुज 4 का क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ (10-8)(4-0) = ½ (2)(4) = 4

क्षेत्रफल 5 = वर्ग का क्षेत्रफल = (12-10)(4-0) = (2)(4) = 8

12 सेकंड में तय की गई दूरी = 4 + 16 + 4 + 4 + 8 = 36 मीटर

4. एक वस्तु 5 सेकंड के लिए 36 किमी/घंटे की स्थिर गति से यात्रा करती है, फिर 10 सेकंड के लिए 1 मीटर/सेकंड² के त्वरण से चलती है ^और फिर विराम अवस्था में पहुँचने तक 2 मीटर/सेकंड² के मंदन से चलती है ^। कौन सा ग्राफ (vt) वस्तु की यात्रा को दर्शाता है?

ज्ञात :

गति 1 = स्थिर वेग

स्थिर वेग (v) = 36 किमी/घंटा = 36 (1000 मीटर) / 3600 सेकंड = 36,000 मीटर / 3600 सेकंड = 10 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 5 सेकंड

गति 2 = स्थिर त्वरण

प्रारंभिक वेग (v _o ) = गति में वेग 1 = 10 मीटर/सेकंड

त्वरण (a) = 1 m/ ^s²

समय अंतराल (t) = 10 सेकंड

गति 3 = स्थिर मंदन

मंदन (a) = -2 m/ ^s²

अंतिम वेग (v _t ) = 0 मीटर/सेकंड

चाहिए: वह ग्राफ जो वस्तु की यात्रा को दर्शाता हो

समाधान:

गति का अंतिम वेग 2 :

v _t = v _o + at

v _t = 10 + (1)(10) = 10 + 10 = 20 m/s

गति का अंतिम वेग 2 (v _t ) = गति का प्रारंभिक वेग 3 (v _o ) = 20 m/s

गति 3 का समय अंतराल:

v _t = v _o + at

0 = 20 + (-2)(t)

0 = 20 – 2t

20 = 2t

टी = 20 / 2

t = 10 सेकंड

गति 1: वस्तु 5 सेकंड में 10 मीटर/सेकंड की स्थिर गति से यात्रा करती है।

गति 2: वस्तु 10 सेकंड में त्वरित होकर 20 मीटर/सेकंड की गति तक पहुंच जाती है।

गति 3: वस्तु 10 सेकंड में गति कम करके विराम अवस्था में पहुँच गई।

ग्राफ बी वस्तु की यात्रा को दर्शाता है।

5. एक कार 10 सेकंड में 5 मीटर/सेकंड की स्थिर गति से यात्रा करती है, फिर 5 सेकंड में 1 मीटर/सेकंड² के त्वरण से चलती है ^। इसके बाद, कार 137.5 मीटर की दूरी तय करने के बाद रुक जाती है। कौन सा ग्राफ (vt) वस्तु की यात्रा को दर्शाता है?

ज्ञात :

गति 1 = स्थिर वेग से गति

स्थिर वेग (v) = 5 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 10 सेकंड

गति 2 = स्थिर त्वरण पर गति

प्रारंभिक वेग (v _o ) = गति में वेग 1 = 5 मीटर/सेकंड

त्वरण (a) = 1 m/ ^s²

समय अंतराल (t) = 5 सेकंड

अंतिम वेग (v _t ) = 0 मीटर/सेकंड

कुल दूरी (सेकंड में) = 137.5 मीटर/सेकंड

आवश्यकता है: कार की यात्रा दर्शाने वाला ग्राफ।

समाधान:

गति 1 के लिए दूरी:

s = vt = (5)(10) = 50 मीटर

गति 2 के लिए दूरी:

s = v _o t + ½ at ² = (5)(5) + ½ (1)(5) ² = 25 + ½ (25) = 25 + 12.5 = 37.5 मीटर

गति 3 के लिए दूरी:

137.5 – (50 + 37.5) = 137.5 – 87.5 = 50 मीटर

गति का अंतिम वेग 2 :

गति 2 के आंकड़ों का उपयोग करके गणना की गई गति 2 का अंतिम वेग:

v _t = v _o + at

v _t = 5 + (1)(5) = 5 + 5 = 10 m/s

गति 2 के लिए अंतिम वेग (v _t ) = गति 3 के लिए प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 m/s

गति 3 के लिए समय अंतराल:

मंदन ज्ञात करने के बाद समय अंतराल की गणना की जाती है। गति 3 के आंकड़ों का उपयोग करके मंदन (a) और समय अंतराल (t) की गणना की जाती है।

गतिमान वस्तुओं का मंदन 3 :

v _t ² = v _o ² + 2 ad

0 ² = 10 ² + 2 a (50)

0 = 100 + 100 a

100 = -100 a

a = – 100 / 100

a = – 1 m/ ^s²

गति 3 का समय अंतराल:

v _t = v _o + at

0 = 10 + (-1) t

0 = 10 – t

t = 10 सेकंड

गति 1: वस्तु 10 सेकंड में 5 मीटर/सेकंड की स्थिर गति से यात्रा करती है।

गति 2: वस्तु 5 सेकंड तक यात्रा करती है जब तक कि उसका वेग 10 मीटर/सेकंड न हो जाए।

गति 3: वस्तु 10 सेकंड तक धीमी होती रही जब तक कि वह रुक नहीं गई।

6. एक 800 किलोग्राम की कार 36 किमी/घंटे के प्रारंभिक वेग से एक सीधी रेखा पर यात्रा करती है। 150 मीटर की दूरी तय करने के बाद, कार का वेग 72 किमी/घंटे हो जाता है। समय अंतराल ज्ञात कीजिए।

ज्ञात :

v _o = 36 किमी/घंटा = 36,000 मीटर / 3600 सेकंड = 10 मीटर/सेकंड

v _t = 72 किमी/घंटा = 72,000 मीटर / 3600 सेकंड = 20 मीटर/सेकंड

d = 150 मीटर

वांछित: समय अंतराल (t)

समाधान:

स्थिर त्वरण पर गति के तीन समीकरण:

v _t = v _o + at

d = v _o t + ½ at ²

v _t ² = v _o ² + 2 ad

त्वरण:

v _t ² = v _o ² + 2 ad

20 ² = 10 ² + 2 a (150)

400 = 100 + 300 a

400 – 100 = 300 ए

300 = 300 ए

ए = 300 / 300

a = 1 m/s ²

समय अंतराल :

v _t = v _o + at

20 = 10 + (1) टी

20 – 10 = t

t = 10 सेकंड

7. एक कार 20 मीटर/सेकंड की स्थिर गति से चल रही है। गति कम होने के बाद कार 5 सेकंड में रुक जाती है। कार द्वारा तय की गई दूरी क्या है?

ज्ञात :

प्रारंभिक गति (v _o ) = 20 मीटर/सेकंड

अंतिम गति (v _t ) = 0 मीटर/सेकंड

समय अंतराल (t) = 5 सेकंड

वांछित : दूरी (d)

समाधान:

मंदी :

v _t = v _o + at

0 = 20 + a 5

-20 = 5a

a = -20/5

a = -4 m/ ^s²

कार द्वारा तय की गई दूरी:

d = v _o t + 1/2 at ²

d = (20)(5) + 1/2 (-4)(5) ² = (20)(5) + (-2)(25)

d = 100 – 50

d = 50 मीटर

8. गतिमान वस्तु की दूरी और समय अंतराल नीचे दी गई तालिका में दर्शाए गए हैं।

वस्तु 1 और 2 द्वारा अनुभव की गई गति के प्रकारों का निर्धारण करें …

उपाय

वस्तु 1 :

वी = एस / टी

v = वेग , s = दूरी , t = समय अंतराल

v = 60/15 = 4 सेमी/सेकंड

v = 80/20 = 4 सेमी/सेकंड

v = 100/25 = 4 सेमी/सेकंड

स्थिर वेग = एकसमान रेखीय गति।

वस्तु 2 :

वी = एस / टी

v = वेग, s = दूरी , t = समय अंतराल

v = 4/2 = 2 सेमी/सेकंड

v = 9/3 = 3 सेमी/सेकंड

v = 25/5 = 5 सेमी/सेकंड

वेग में वृद्धि = असमान रेखीय गति, त्वरित गति।

1. सवाल: रेखीय गति को अन्य प्रकार की गतियों से क्या अलग करता है? उत्तर: रेखीय गति से तात्पर्य किसी वस्तु की सीधी रेखा में एक ही दिशा में गति से है। घूर्णी या दोलन गति के विपरीत, रेखीय गति में गतिमान वस्तु की दिशा में कोई परिवर्तन नहीं होता है।
2. सवाल: रेखीय गति में दूरी और विस्थापन में क्या अंतर होता है? उत्तर: दूरी किसी गतिमान वस्तु द्वारा तय किए गए पथ की कुल लंबाई होती है, जबकि विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी रेखा में दूरी होती है, जिसमें दिशा भी शामिल होती है। विस्थापन एक सदिश राशि है, जबकि दूरी एक अदिश राशि है।
3. सवाल: एक ही गति के लिए गति और वेग के मान भिन्न-भिन्न क्यों हो सकते हैं? उत्तर: गति किसी वस्तु की गति का एक अदिश माप है जिसमें उसकी दिशा पर विचार नहीं किया जाता है, जबकि वेग एक सदिश राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों शामिल होते हैं। रेखीय गति में, यदि दिशा में कोई परिवर्तन होता है, तो औसत गति औसत वेग के परिमाण से भिन्न हो सकती है।
4. सवाल: जब हम कहते हैं कि किसी वस्तु में एकसमान रैखिक गति है, तो इसका क्या अर्थ है? उत्तर: एकसमान रैखिक गति में कोई वस्तु सीधी रेखा में स्थिर वेग से गति करती है। इसका अर्थ है कि समय के साथ उसकी गति और दिशा अपरिवर्तित रहती है।
5. सवाल: कोई वस्तु रैखिक गति में स्थिर गति लेकिन परिवर्तनशील वेग कैसे रख सकती है? उत्तर: किसी वस्तु के रेखीय गति में, ऐसा तभी हो सकता है जब गति की दिशा बदल जाए। हालांकि, वास्तविक रेखीय गति में, दिशा स्थिर रहती है। यदि दिशा बदल जाती है, तो तकनीकी रूप से यह विशुद्ध रूप से रेखीय गति नहीं रह जाती।
6. सवाल: रेखीय गति में त्वरण की क्या भूमिका होती है? उत्तर: त्वरण समय के साथ वेग में परिवर्तन को दर्शाता है। रेखीय गति में, इसका अर्थ गति में वृद्धि या कमी या दिशा में परिवर्तन हो सकता है (यदि गति पूरी तरह से रेखीय नहीं है)। शून्य के अलावा त्वरण यह दर्शाता है कि वस्तु का वेग बदल रहा है।
7. सवाल: रेखीय गति में ऋणात्मक त्वरण, या मंदन, किस प्रकार प्रकट होता है? उत्तर: रेखीय गति के संदर्भ में, ऋणात्मक त्वरण (जिसे अक्सर मंदन कहा जाता है) का अर्थ है एक ही सीधी रेखा में गति में कमी आना। यह गति की दिशा के विपरीत दिशा में त्वरण होता है।
8. सवाल: न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, रैखिक गति में शुद्ध बल और त्वरण के बीच क्या संबंध है? उत्तर: न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, किसी वस्तु पर लगने वाला कुल बल उस वस्तु द्वारा अनुभव किए गए त्वरण के समानुपाती होता है और उसी दिशा में कार्य करता है। विशेष रूप से, $F=ma$, जहां $F$ शुद्ध बल है, $m$ यह वस्तु का द्रव्यमान है, और $a$ इसका त्वरण है।
9. सवाल: यदि कोई कार सीधी रेखा में चल रही हो और अचानक रुक जाए, तो क्या हम कह सकते हैं कि उसका अंतिम विस्थापन शून्य है? उत्तर: नहीं। विस्थापन का तात्पर्य प्रारंभिक और अंतिम स्थिति के बीच की सीधी रेखा में तय की गई दूरी से है, जिसमें दिशा भी शामिल होती है। यदि कार रुकने से पहले अपनी प्रारंभिक स्थिति से आगे बढ़ चुकी है, तो विस्थापन शून्य नहीं होता; केवल उसका अंतिम वेग शून्य होता है।

10. प्रश्न: जड़त्व की अवधारणा रैखिक गति से कैसे संबंधित है? उत्तर: जड़त्व किसी वस्तु की गति की अवस्था में परिवर्तन का प्रतिरोध है। रैखिक गति में किसी वस्तु के लिए, जड़त्व का अर्थ है कि वस्तु तब तक एक सीधी रेखा में स्थिर वेग से गति करती रहेगी जब तक उस पर कोई बाह्य बल कार्य न करे।