रेखीय संवेग आवेग टकराव

रेखीय संवेग आवेग टकराव

1. रेखीय संवेग

1.1 रेखीय संवेग की परिभाषा

किसी वस्तु के रेखीय संवेग को वस्तु के द्रव्यमान और वस्तु के वेग के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

पी = एमवी

जहाँ:

p = संवेग, m = द्रव्यमान (किलोग्राम), v = वेग (मीटर/सेकंड)

रेखीय संवेग, या केवल संवेग, एक सदिश राशि है क्योंकि यह एक सदिश (वेग) और एक अदिश (द्रव्यमान) के गुणन से प्राप्त होता है। संवेग एक सदिश राशि होने के कारण दिशा और परिमाण दोनों धारण करता है। संवेग किसी वस्तु के वेग या गति के साथ दिशा साझा करता है।

संवेग द्रव्यमान और वेग के समानुपाती होता है, क्योंकि द्रव्यमान जितना अधिक होगा, संवेग उतना ही अधिक होगा। इसी प्रकार, वेग जितना अधिक होगा, संवेग उतना ही अधिक होगा। मान लीजिए दो कारें हैं, कार A और B। यदि कार A का द्रव्यमान कार B से अधिक है और दोनों कारें समान वेग से चल रही हैं, तो कार A का संवेग कार B से अधिक होगा। इसी प्रकार, यदि कार A और B का द्रव्यमान समान है, लेकिन कार A, कार B से अधिक गति से चल रही है, तो कार A का संवेग कार B से अधिक होगा।

यदि द्रव्यमान वाली कोई वस्तु गति नहीं करती है या स्थिर अवस्था में है (उसका वेग शून्य है), तो वस्तु का संवेग शून्य होता है।

संवेग की SI इकाई kg m/s है, जो द्रव्यमान की इकाई और वेग की इकाई से मिलकर बनी है।

1.2 न्यूटन का द्वितीय नियम

इससे पहले, आप न्यूटन के दूसरे नियम के बारे में पढ़ चुके हैं, जिसे ΣF = ma समीकरण में दर्शाया गया है और यह किसी वस्तु पर लगने वाले कुल बल, द्रव्यमान और त्वरण के बीच संबंध को स्पष्ट करता है। कुल बल किसी वस्तु पर कार्य करता है, जिसमें द्रव्यमान होता है, जिसके परिणामस्वरूप वस्तु में त्वरण उत्पन्न होता है। इस बार, आपको न्यूटन के दूसरे नियम के एक अन्य रूप से परिचित कराया जाएगा, जो किसी वस्तु पर लगने वाले कुल बल और उसके संवेग में परिवर्तन के बीच संबंध को स्पष्ट करता है।

यदि कोई शुद्ध बल किसी स्थिर वस्तु पर कार्य करता है, तो वस्तु गतिमान हो जाएगी। गति से पहले वस्तु में कोई संवेग नहीं होता। गति शुरू होने के बाद वस्तु में संवेग उत्पन्न होता है। दूसरे शब्दों में, वस्तु पर लगने वाला शुद्ध बल एक निश्चित समयावधि में वस्तु के संवेग में परिवर्तन का कारण बनता है। वस्तु के संवेग में परिवर्तन की दर वस्तु पर लगने वाले शुद्ध बल के बराबर होती है।

कहाँ:

ΣF = शुद्ध बल (न्यूटन), Δt = समय अंतराल (सेकंड), Δp = m (v _t – v _o ) = संवेग में परिवर्तन (किलोग्राम मीटर/सेकंड)।

समीकरण 1.1 न्यूटन के दूसरे नियम का एक और रूप है, जो किसी वस्तु के कुल बल और संवेग में परिवर्तन की दर के बीच संबंध की व्याख्या करता है, चाहे वस्तु का द्रव्यमान स्थिर हो या बदलता रहे।

कहाँ:

ΣF = कुल बल (न्यूटन), m = द्रव्यमान (किलोग्राम), a = त्वरण (मीटर/ ^{सेकंड²} )

समीकरण 1.2 न्यूटन के दूसरे नियम का एक समीकरण है जो स्थिर द्रव्यमान वाली वस्तु के शुद्ध बल और त्वरण के बीच संबंध की व्याख्या करता है।

2. आवेग

2.1 आवेग की परिभाषा

आवेग को बल या कुल बल को समय अंतराल से गुणा करने के परिणाम के रूप में परिभाषित किया जाता है।

कहाँ:

I = आवेग, ΣF = कुल बल (न्यूटन), Δt = समय अंतराल (सेकंड)।

2.2 आवेग-संवेग प्रमेय

आवेग-संवेग प्रमेय समीकरण 1.1 से एक समीकरण प्राप्त करके प्राप्त किया जाता है।

ΣF Δt = Δp

I = Δp ………………….. समीकरण 1.3

समीकरण 1.3 से पता चलता है कि आवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर है।

I = ΣF Δt

Δपी = एमवी _टी - एमवी _ओ = एम (वी _टी - वी _ओ )

उदाहरण प्रश्न 1:

1 किलोग्राम द्रव्यमान की एक गेंद को क्षैतिज रूप से 2 मीटर/सेकंड की गति से फेंका जाता है। फिर, गेंद को उसी दिशा में मारा जाता है जिस दिशा में वह शुरू में थी। गेंद को बल्लेबाज से टकराने में 1 मिलीसेकंड का समय लगता है, और बल्लेबाज से अलग होने के बाद गेंद की गति 4 मीटर/सेकंड होती है। बल्लेबाज द्वारा गेंद पर लगाया गया बल क्या है?

ज्ञात :

द्रव्यमान (m) = 1 kg, प्रारंभिक वेग (v _o ) = 2 m/s, समय अंतराल (Δt) = 1 x 10⁻³ ^{सेकंड} , अंतिम वेग (v _t ) = 4 m/s

गेंद की गति की दिशा नहीं बदलती, इसलिए प्रारंभिक गति और अंतिम गति का मान समान होता है।

वांछित: बल (F)

समाधान:

उदाहरण प्रश्न 2:

1 किलोग्राम द्रव्यमान वाली एक गेंद को 10 मीटर/सेकंड की गति से दाईं ओर क्षैतिज रूप से फेंका जाता है। टकराने के बाद, गेंद 20 मीटर/सेकंड की गति से बाईं ओर गति करती है। गेंद पर लगने वाले आवेग का निर्धारण कीजिए।

ज्ञात :

द्रव्यमान (मीटर) = 1 किलोग्राम

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 10 मीटर/सेकंड,

अंतिम वेग (v _t ) = -20 मीटर/सेकंड

गेंद की गति की दिशाएँ (वेग की दिशाएँ) विपरीत हैं, इसलिए प्रारंभिक गति और अंतिम गति के चिह्न अलग-अलग हैं।

आवश्यकता है: आवेग (I)

समाधान:

I = m (v _t – v _o ) = 1 kg (-20 m/s – 10 m/s) = 1 kg (-30 m/s) = – 30 kg m/s

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि आवेग की दिशा गेंद की अंतिम गति की दिशा के समान है (बाईं ओर)।

उदाहरण प्रश्न 3

एक छात्र 0.1 किलोग्राम की वॉलीबॉल को मारता है, जो प्रारंभ में स्थिर अवस्था में है। छात्र का हाथ वॉलीबॉल के संपर्क में 0.01 सेकंड के लिए आता है। मारने के बाद, वॉलीबॉल 2 मीटर/सेकंड की गति से चलने लगती है।

(a) छात्र के हाथ द्वारा वॉलीबॉल पर लगाया गया बल कितना है?

(ख) न्यूटन का तीसरा नियम कहता है कि यदि छात्र वॉलीबॉल पर बल लगाता है, तो वॉलीबॉल भी छात्र पर बल लगाएगी। वॉलीबॉल द्वारा छात्र के हाथ पर लगाया गया बल कितना है?

(ग) यदि छात्र का हाथ 0.001 सेकंड के लिए वॉलीबॉल के संपर्क में आता है, तो वॉलीबॉल द्वारा छात्र के हाथ पर लगाया गया बल कितना होगा?

ज्ञात :

द्रव्यमान (मीटर) = 0.1 किलोग्राम

समय अंतराल 1 (Δt ₁ ) = 0.01 s = 1 x 10 ^-2 s

प्रारंभिक वेग (v _o ) = 0

अंतिम वेग (v _t ) = 2 मीटर/सेकंड

समय अंतराल 2 (Δt ₂ ) = 0.001 s = 1 x 10 ^-3 s

वांछित: बल (F)

समाधान:

(a) छात्र द्वारा वॉलीबॉल पर 0.01 सेकंड के संपर्क समय के लिए लगाया गया बल है

(ख) 0.01 सेकंड के संपर्क समय के दौरान वॉलीबॉल द्वारा छात्र के हाथ पर लगाया गया बल है

न्यूटन का तीसरा नियम: क्रिया बल = प्रतिक्रिया बल

गेंद द्वारा छात्र के हाथ पर लगाया गया बल 200 N है।

(c) 0.001 सेकंड के संपर्क समय के लिए गेंद द्वारा छात्र के हाथ पर लगाया गया बल है

प्राप्त परिणामों के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि जब गेंद से छात्र के हाथ का संपर्क समय कम होता है, तो गेंद द्वारा लगाया गया बल अधिक होता है। अधिक बल से छात्र के हाथ में अधिक दर्द होता है। वॉलीबॉल खेलते समय आप इसे सिद्ध कर सकते हैं। कठोर वॉलीबॉल को हिट करने में लगने वाला संपर्क समय नरम वॉलीबॉल को हिट करने की तुलना में कम होता है। संपर्क समय में इस अंतर के कारण कठोर गेंद को हिट करने पर आपके हाथ में अधिक दर्द होता है।

1. रेखीय संवेग क्या है, और यह बल से किस प्रकार भिन्न है?
   • उत्तर: रेखीय संवेग ($p$किसी वस्तु का ) उसके द्रव्यमान का गुणनफल होता है ($m$) और इसका वेग ($v$), अर्थात, $p=mv$जबकि बल किसी वस्तु के समय के साथ होने वाले संवेग में परिवर्तन से संबंधित है, वहीं संवेग स्वयं इस बात का माप है कि किसी वस्तु में कितनी गति है और किस दिशा में है।
2. आवेग का किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन से क्या संबंध है?
   • उत्तरआवेग किसी वस्तु पर लगाए गए औसत बल और उस बल के लगने की समयावधि का गुणनफल होता है। यह वस्तु के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है। गणितीय रूप से:mpulse=Δp=F_average​×Δt.
3. किसी टक्कर में संवेग के संरक्षण का क्या अर्थ है?
   • उत्तरसंवेग संरक्षण का नियम कहता है कि किसी बंद प्रणाली का टक्कर से पहले का कुल संवेग टक्कर के बाद के कुल संवेग के बराबर होता है, बशर्ते कि प्रणाली पर कोई बाहरी बल कार्य न कर रहा हो।
4. प्रत्यास्थ और अप्रत्यास्थ टक्कर के बीच अंतर स्पष्ट कीजिए।
   • उत्तरप्रत्यास्थ टक्कर में, संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं। वस्तुएँ एक दूसरे से टकराकर वापस उछल जाती हैं। अप्रत्यास्थ टक्कर में, संवेग तो संरक्षित रहता है लेकिन गतिज ऊर्जा नहीं। टक्कर के बाद वस्तुएँ आपस में चिपक सकती हैं या विकृत हो सकती हैं।
5. यह कैसे संभव है कि लंबे समय तक कार्य करने वाला एक छोटा बल, कम समय में कार्य करने वाले एक बड़े बल के समान ही संवेग में परिवर्तन उत्पन्न कर सके?
   • उत्तरक्योंकि आवेग बल और समय का गुणनफल होता है, इसलिए लंबी अवधि में कार्य करने वाला एक छोटा बल, कम अवधि में कार्य करने वाले एक बड़े बल के समान आवेग (और इस प्रकार संवेग में समान परिवर्तन) उत्पन्न कर सकता है।
6. यदि कोई कार दीवार से टकराकर रुक जाती है, तो क्या संवेग संरक्षित रहता है?
   • उत्तरकार के मामले में, संवेग संरक्षित नहीं रहता क्योंकि वह रुक जाती है। हालांकि, व्यापक प्रणाली (जिसमें पृथ्वी और दीवार शामिल हैं) में संवेग संरक्षित रहता है। कार को प्राप्त संवेग पृथ्वी और दीवार को समान और विपरीत दिशा में प्राप्त होता है, लेकिन द्रव्यमान में भारी अंतर के कारण, पृथ्वी के वेग में परिवर्तन नगण्य होता है।
7. कारों में लगे एयरबैग टक्कर के दौरान चोटों को कम करने में कैसे मदद करते हैं?
   • उत्तरएयरबैग किसी व्यक्ति के रुकने के दौरान उसकी गति में परिवर्तन होने वाले समय को बढ़ा देते हैं, जिससे टक्कर के दौरान लगने वाला औसत बल कम हो जाता है। बल में यह कमी चोटों को कम करने में सहायक होती है।
8. यदि समान द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं का वेग विपरीत दिशा में हो और परिमाण में बराबर हो, और वे आमने-सामने टकराती हैं, तो टक्कर के बाद उनका संयुक्त वेग क्या होगा?
   • उत्तरयदि टक्कर प्रत्यास्थ हो और कोई बाह्य बल न लगे, तो वस्तुएँ समान गति से विपरीत दिशा में वापस उछलेंगी। यदि टक्कर पूर्णतः अप्रत्यास्थ हो, तो वे आपस में चिपक जाएँगी और रुक जाएँगी क्योंकि उनके संवेग एक दूसरे को निरस्त कर देंगे।
9. हवा के प्रतिरोध के बिना भी, उछलती हुई गेंदें अंततः क्यों रुक जाती हैं?
   • उत्तरनिर्वात वायु प्रतिरोध को समाप्त कर देता है, लेकिन यह गेंद को जमीन से होने वाली अप्रत्यास्थ टक्करों से नहीं रोकता है। हर बार जब गेंद उछलती है, तो उसकी कुछ गतिज ऊर्जा अन्य रूपों (जैसे ध्वनि या विरूपण ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है, जिससे गेंद प्रत्येक बार उछलने पर कम उछलती है जब तक कि वह रुक न जाए।
10. घूर्णनशील वस्तुओं जैसी प्रणालियों में संवेग को किस प्रकार "छिपाया" जा सकता है?

• उत्तरजबकि रेखीय संवेग वस्तुओं की सीधी रेखा में गति को बनाए रखता है, वहीं घूर्णनशील वस्तुओं में कोणीय संवेग होता है। घूर्णन करने पर किसी वस्तु का रेखीय संवेग शून्य हो सकता है, लेकिन कोणीय संवेग काफी अधिक हो सकता है। उदाहरण के लिए, मेज पर स्थिर घूमते हुए लट्टू का कोई रेखीय संवेग नहीं होता, लेकिन घूर्णन के कारण उसमें कोणीय संवेग होता है।