निष्क्रियता के पल

पदार्थ का जड़त्व आघूर्ण

दो वस्तुएँ हैं, जिनमें से एक का द्रव्यमान कम है और दूसरी का द्रव्यमान अधिक है। समान बल से धकेलने पर कौन सी वस्तु को गतिमान करना आसान होगा? तथ्य यह दर्शाता है कि कम द्रव्यमान वाली वस्तुओं को गतिमान वस्तुओं की तुलना में गतिमान करना आसान होता है। अतः, बल लगाने पर वस्तु के द्रव्यमान का मान ही वस्तु के त्वरण का मान निर्धारित करता है। यदि सीधी गति में, किसी वस्तु का द्रव्यमान यह निर्धारित करता है कि उसे गतिमान करना आसान है या कठिन, तो घूर्णी गति में, किसी वस्तु का जड़त्व आघूर्ण यह निर्धारित करता है कि उसे गतिमान करना आसान है या कठिन।

कण
एक घूर्णनशील कण पर विचार करें। m द्रव्यमान वाले एक कण पर बल F लगाया जाता है, जिससे वह घूर्णन अक्ष O के चारों ओर घूमने लगता है। कण घूर्णन अक्ष से r दूरी पर स्थित है। आरंभ में कण विराम अवस्था में है (v = 0)। बल F द्वारा गतिमान होने के बाद, कण एक निश्चित गति से घूमने लगता है, जिससे उसका स्पर्शरेखीय त्वरण (a tan) उत्पन्न होता है।
किसी कण के बल (F), द्रव्यमान (m) और स्पर्शरेखीय त्वरण (a tan) के बीच संबंध को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
कण इस प्रकार घूमता है कि उसमें कोणीय त्वरण उत्पन्न होता है। स्पर्शरेखीय त्वरण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध को निम्न समीकरण द्वारा व्यक्त किया जाता है:
समीकरण 3 में स्पर्शरेखीय त्वरण (a tan) को समीकरण 4 में स्पर्शरेखीय त्वरण (a tan) से प्रतिस्थापित करें।
बाएँ और दाएँ पक्षों को r से गुणा करें:
r F बल का आघूर्ण है और mr² (य यहाँ कण I का जड़त्व आघूर्ण है)। समीकरण 5 घूर्णनशील कण के बल आघूर्ण, जड़त्व आघूर्ण और कोणीय त्वरण के बीच संबंध को दर्शाता है। समीकरण 5 घूर्णनशील कण के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम का समीकरण है।
I कण के द्रव्यमान (m) और घूर्णन अक्ष से कण की दूरी (r) के वर्ग का गुणनफल है।²).
टिप्पणी:
कण का जड़त्व आघूर्ण I, कण का द्रव्यमान m, कण और घूर्णन अक्ष के बीच की दूरी r
समीकरण 6 का उपयोग घूर्णनशील कण के जड़त्व आघूर्ण को निर्धारित करने के लिए किया जाता है।
कणों के जड़त्व आघूर्ण से संबंधित समीक्षा को बेहतर ढंग से समझने के लिए, कृपया कण के जड़त्व आघूर्ण से संबंधित समस्याओं के उदाहरणों का अध्ययन करें।

समरूप कठोर पिंड
एक कठोर पिंड कई कणों से मिलकर बना होता है जो पूरे पिंड में फैले होते हैं। कठोर पिंड का आघूर्ण, उस पिंड के प्रत्येक कण के आघूर्णों का योग होता है।
किसी कठोर वस्तु का आघूर्ण ज्ञात करने के लिए, वस्तु को घूर्णन करते समय देखा जाता है क्योंकि घूर्णन अक्ष की स्थिति आघूर्ण के मान को प्रभावित करती है। घूर्णन अक्ष की स्थिति पर निर्भर होने के अलावा, किसी कण का आघूर्ण कण के द्रव्यमान (m) और घूर्णन अक्ष से कण की दूरी के वर्ग (r) पर भी निर्भर करता है।²किसी वस्तु को बनाने वाले सभी कणों का द्रव्यमान वस्तु के द्रव्यमान के बराबर होता है। समस्या यह है कि घूर्णन अक्ष से प्रत्येक कण की दूरी भिन्न-भिन्न होती है।
त्रिज्या R और द्रव्यमान M वाले एक पतले वलय के सूत्र की व्युत्पत्ति पर विचार करें। यदि घूर्णन अक्ष वलय के केंद्र में स्थित है, तो वलय के सभी कण घूर्णन अक्ष से r दूरी पर स्थित होते हैं। पतले वलय का आघूर्ण वलय के सभी कणों के आघूर्णों के योग के बराबर होता है।
पतले वलय को बनाने वाला प्रत्येक कण घूर्णन अक्ष से r दूरी पर स्थित है, जिससे कि r₁ = आर₂ = आर₃ = आर = आर.
पतली रिंग का सूत्र:
मैं = एमआर²
टिप्पणी:
I = पतली वलय का जड़त्व आघूर्ण, M = पतली वलय का द्रव्यमान, R = पतली वलय की त्रिज्या
यदि घूर्णन अक्ष वलय के केंद्र में स्थित न हो तो क्या होगा? यदि घूर्णन अक्ष वलय के केंद्र में स्थित न हो, तो उपरोक्त विधि का उपयोग करके पतले वलय का सूत्र प्राप्त नहीं किया जा सकता है क्योंकि घूर्णन अक्ष से प्रत्येक कण की दूरी भिन्न होती है।

समरूप कठोर पिंड का सूत्र
निम्नलिखित सूत्र कई समरूप कठोर पिंडों के लिए हैं।

समस्याओं का उदाहरण

1. सोल यूएन एसएमए/एमए 2017

निम्नलिखित तालिका पर ध्यान दें!

वस्तुएँ P, Q और R एक द्रव्यमान रहित छड़ से जुड़ी हुई हैं। वस्तु P के अक्ष से होकर जाने वाले समतल के लंबवत अक्ष के सापेक्ष इस प्रणाली के जड़त्व आघूर्ण का परिमाण क्या होगा?

विचार-विमर्श

यह ज्ञात है:

पूछा गया प्रश्न: प्रणाली का जड़त्व आघूर्ण क्या है?

उत्तर:

वस्तु Q का जड़त्व आघूर्ण:

I _Q = mr ² = (0,5)(10 ² ) = (0,5)(100) = 50 kg m ²

वस्तु का जड़त्व आघूर्ण R:

I _R = mr ² = (3)(6 ² ) = (3)(36) = 108 kg m ²

वस्तु P का जड़त्व आघूर्ण:

घूर्णन अक्ष वस्तु P के अक्ष से इस प्रकार गुजरता है कि r = 0 होता है।

प्रणाली का जड़त्व आघूर्ण:

I = 50 kg m ² + 108 kg m ²

I = 158 kg m ²