बीजीय फलन के अवकलन पर चर्चा के लिए एक प्रश्न का उदाहरण
कैलकुलस में अवकलन एक मूलभूत अवधारणा है जिसका उपयोग किसी फलन के परिवर्तन को दर्शाने या किसी बिंदु पर फलन की ढलान ज्ञात करने के लिए किया जाता है। अवकलन भौतिकी, अर्थशास्त्र और अभियांत्रिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी होते हैं क्योंकि वे परिवर्तन की दर के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं। इस लेख में, हम बीजीय फलनों के अवकलन के कई उदाहरणों और उन्हें हल करने के तरीके पर चर्चा करेंगे।
उदाहरण 1: बहुपद फलन का अवकलन
प्रश्न: फलन f(x) = 3x³ – 5x² + 2x – 7 दिया गया है। फलन का अवकलन ज्ञात कीजिए!
समाधान:
बहुपद फलनों के लिए अवकलन के मूल नियम का उपयोग करते हुए, अर्थात् \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \), हम फलन के प्रत्येक पद का अवकलन एक-एक करके करेंगे।
\[
\begin{align }
f(x) &= 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \\
f'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^3) – \frac{d}{dx}(5x^2) + \frac{d}{dx}(2x) – \frac{d}{dx}(7) \\
f'(x) &= 3 \cdot 3x^{3-1} – 5 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} – 0 \\
f'(x) &= 9x^2 – 10x + 2.
\end{align }
\]
अतः, \( f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 7 \) का व्युत्पन्न \( f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \) है।
उदाहरण 2: भिन्नात्मक घातांकों वाले फलन का अवकलन
प्रश्न: फलन \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।
समाधान:
व्युत्पत्ति के उसी नियम का उपयोग करते हुए, अर्थात् \(\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1} \):
\[
\begin{align }
g(x) &= x^{3/2} + x^{1/2} \\
g'(x) &= \frac{d}{dx}(x^{3/2}) + \frac{d}{dx}(x^{1/2}) \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{(3/2)-1} + \frac{1}{2}x^{(1/2)-1} \\
g'(x) &= \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2}.
\end{align }
\]
अतः, \( g(x) = x^{3/2} + x^{1/2} \) का व्युत्पन्न \( g'(x) = \frac{3}{2}x^{1/2} + \frac{1}{2}x^{-1/2} \) है।
उदाहरण 3: घातांकीय और त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलन
प्रश्न: फलन \( h(x) = e^x \cdot \sin(x) \) का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।
समाधान:
इस अवकलन को हल करने के लिए, हमें गुणन नियम की आवश्यकता है, जो कहता है कि \((uv)' = u'v + uv'\)। मान लीजिए \( u(x) = e^x \) और \( v(x) = \sin(x) \), तो:
\[
\begin{align }
u'(x) &= e^x, & \text{क्योंकि e^x का व्युत्पन्न e^x है}
v'(x) &= \cos(x), & \text{क्योंकि } \sin(x) \text{ का व्युत्पन्न } \cos(x) है।
\end{align }
\]
उत्पाद के लिए व्युत्पन्न नियम का उपयोग करना:
\[
\begin{align }
h'(x) &= (e^x \cdot \sin(x))' \\
&= e^x \cdot (\sin(x))' + \sin(x) \cdot (e^x)' \\
&= e^x \cdot cos(x) + sin(x) \cdot e^x \\
&= e^x (\cos(x) + \sin(x)).
\end{align }
\]
अतः, \( h(x) = e^x \sin(x) \) का व्युत्पन्न \( h'(x) = e^x (\cos(x) + \sin(x)) \) है।
उदाहरण 4: श्रृंखला नियम का उपयोग करके किसी फलन का अवकलन ज्ञात करना
प्रश्न: फलन \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।
समाधान:
इस अवकलन को हल करने के लिए, हमें श्रृंखला नियम की आवश्यकता है, अर्थात् \(\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)। मान लीजिए \( u(x) = 3x^2 – x + 4 \) और \( f(u) = u^5 \), तो:
\[
\begin{align }
k(x) &= (3x^2 – x + 4)^5 \\
u(x) &= 3x^2 – x + 4, & \text{इसलिए} \\
k(x) &= f(u(x)) = u^5 \\
k'(x) &= 5u^4 \cdot u'(x) \\
u'(x) &= \frac{d}{dx}(3x^2 – x + 4) \\
&= 6x – 1.
\end{align }
\]
श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:
\[
\begin{align }
k'(x) &= 5(3x^2 – x + 4)^4 \cdot (6x – 1) \\
&= 5(3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1).
\end{align }
\]
अतः, \( k(x) = (3x^2 – x + 4)^5 \) का व्युत्पन्न \( k'(x) = 5 (3x^2 – x + 4)^4 (6x – 1) \) है।
उदाहरण 5: त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं वाले फलन का अवकलन
प्रश्न: फलन \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) का व्युत्पन्न ज्ञात कीजिए।
समाधान:
हम गुणनफल के लिए अवकलन नियम का उपयोग करेंगे। मान लीजिए \( u(x) = \sin(x) \) और \( v(x) = \cos(x) \), तो:
\[
\begin{align }
u'(x) &= \cos(x), \\
v'(x) &= -\sin(x).
\end{align }
\]
उत्पाद के लिए व्युत्पन्न नियम का उपयोग करना:
\[
\begin{align }
m'(x) &= (\sin(x) \cdot \cos(x))' \\
&= (\sin(x))' \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (\cos(x))' \\
&= \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot (-\sin(x)) \\
&= \cos^2(x) – \sin^2(x).
\end{align }
\]
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका \(\cos(2x) = \cos^2(x) – \sin^2(x)\) का उपयोग करते हुए:
\[
m'(x) = \cos(2x).
\]
अतः, \( m(x) = \sin(x) \cdot \cos(x) \) का व्युत्पन्न \( m'(x) = \cos(2x) \) है।
निष्कर्ष
बीजीय फलनों का अवकलन कैलकुलस की एक मूलभूत अवधारणा है जो विभिन्न अनुप्रयोगों में अत्यंत महत्वपूर्ण और उपयोगी है। अवकलन के विभिन्न नियम, जैसे कि मूल अवकलन नियम, गुणन नियम, श्रृंखला नियम और त्रिकोणमितीय अवकलन नियम, जटिल फलनों के अवकलन की गणना में सहायक होते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरणों को समझकर और समस्याओं का अभ्यास करके हम बीजीय फलनों के अवकलन की समझ और कौशल में सुधार कर सकते हैं।
