कार्टेशियन समतल में रूपांतरण पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

कार्टेशियन समतल में रूपांतरण पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

कार्तीय समतल में रूपांतरण गणित, विशेषकर ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण विषय है। इन रूपांतरणों में स्थानान्तरण, परावर्तन, घूर्णन और फैलाव जैसी विभिन्न क्रियाएँ शामिल होती हैं, जिनका उद्देश्य द्वि-आयामी समतल में किसी वस्तु की आकृति को स्थानांतरित करना या बदलना होता है। यह लेख कार्तीय समतल में रूपांतरणों से संबंधित कई उदाहरण समस्याओं की समीक्षा करेगा और उन पर चर्चा करेगा।

परिवर्तन के प्रकार

उदाहरण समस्या पर आगे बढ़ने से पहले, आइए पहले निम्नलिखित प्रकार के रूपांतरणों की समीक्षा कर लें:

1. अनुवाद (शिफ्ट)
स्थानान्तरण किसी समतल में स्थित बिंदु या वस्तु का किसी निश्चित दिशा में एक निश्चित दूरी तक विस्थापन है। स्थानान्तरण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
जहां \(a\) और \(b\) क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन दूरियां हैं।

2. प्रतिबिंब
परावर्तन किसी बिंदु या वस्तु का किसी अक्ष के आर-पार होने वाला परावर्तन है, चाहे वह x-अक्ष हो, y-अक्ष हो या कोई अन्य रेखा हो। उदाहरण के लिए, x-अक्ष के आर-पार परावर्तन:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]

3. घूर्णन (स्पिन)
घूर्णन किसी बिंदु या वस्तु का किसी केंद्रीय बिंदु के चारों ओर एक निश्चित कोण से घूमना है। वामावर्त दिशा में कोण \(\theta\) से घूर्णन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
\[
(x, y) \दायाँ तीर (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]

4. फैलाव (स्केलिंग)
आकार में फैलाव किसी वस्तु के आकार में एक निश्चित पैमाने कारक द्वारा होने वाला परिवर्तन है। यदि पैमाने कारक \(k\) है, तो फैलाव को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]

Contoh Soal dan Pembahasan

प्रश्न 1: अनुवाद

सवाल:
बिंदु \(A(2, 3)\) पर 5 इकाई दाईं ओर और 4 इकाई ऊपर की ओर विस्थापन के साथ अनुवाद करें।

बहस:
दाईं ओर 5 इकाई का स्थानांतरण करने का अर्थ है x-निर्देशांक को 5 से बढ़ाना। "4 इकाई ऊपर" का अर्थ है y-निर्देशांक को 4 से बढ़ाना। स्थानांतरण का परिणाम यह है:

\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]

अतः अनुवाद के बाद बिंदु \(A(2, 3)\) इस प्रकार हो जाता है:

\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]

अतः, अनुवाद के बाद बिंदु \(A(2, 3)\) \(A'(7, 7)\) है।

प्रश्न 2: चिंतन

सवाल:
बिंदु \(B(-4, 7)\) को y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तित करें।

बहस:
y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन से x-निर्देशांक मूल x-निर्देशांक के ऋणात्मक मान में परिवर्तित हो जाता है, जबकि y-निर्देशांक वही रहता है।

\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]

अतः परावर्तन के बाद बिंदु \(B(-4, 7)\) इस प्रकार हो जाता है:

\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]

अतः, y-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन के बाद बिंदु \(B(-4, 7)\) \(B'(4, 7)\) है।

प्रश्न 3: घूर्णन

सवाल:
मूल बिंदु \((0, 0)\) पर केंद्र रखते हुए बिंदु \(C(1, 2)\) को \(90^\circ\) वामावर्त घुमाएँ।

बहस:
90° वामावर्त दिशा में घूर्णन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]

अतः घूर्णन के बाद बिंदु \(C(1, 2)\) इस प्रकार हो जाता है:

\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]

अतः, \(90^\circ\) वामावर्त घुमाव के बाद बिंदु \(C(1, 2)\) \(C'(-2, 1)\) है।

प्रश्न 4: फैलाव

सवाल:
बिंदु \(D(3, 4)\) को स्केल फैक्टर \(k = 2\) से फैलाएँ।

बहस:
स्केल फैक्टर \(2\) के साथ फैलाव का मतलब है दोनों निर्देशांकों को \(2\) से गुणा करना।

\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]

अतः फैलाव के बाद बिंदु \(D(3, 4)\) इस प्रकार हो जाता है:

\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]

अतः, स्केल फैक्टर \(2\) के साथ फैलाव के बाद बिंदु \(D(3, 4)\) \(D'(6, 8)\) है।

प्रश्न 5: रूपांतरणों का संयोजन

सवाल:
x-अक्ष के बारे में प्रतिबिंबित करें और फिर बिंदु \(E(8, -6)\) पर स्केल फैक्टर \(k = 0.5\) के साथ फैलाएँ।

बहस:
पहला चरण x-अक्ष के सापेक्ष प्रतिबिंब बनाना है:

\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]

\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]

दूसरा चरण 0.5 के स्केल फैक्टर के साथ फैलाव करना है:

\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]

\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]

अतः, x-अक्ष के सापेक्ष परावर्तन तथा स्केल कारक \(0.5\) द्वारा फैलाव के बाद बिंदु \(E(8, -6)\) \(E'(4, 3)\) है।

प्रश्न 6: घूर्णन और स्थानान्तरण सहित रूपांतरण

सवाल:
बिंदु \(F(-3, 4)\) को \(180^\circ\) वामावर्त घुमाएँ, फिर परिणाम को सदिश \((2, -1)\) के साथ स्थानांतरित करें।

बहस:
पहला चरण है वामावर्त दिशा में \(180^\circ\) घुमाना:

\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]

\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]

दूसरा चरण वेक्टर \((2, -1)\) के साथ एक अनुवाद करना है:

\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]

\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]

अतः, बिंदु \(F(-3, 4)\) घूर्णन \(180^\circ\) और सदिश \((2, -1)\) द्वारा अनुवाद के बाद \(F'(5, -5)\) है।

निष्कर्ष
कार्तीय समतल में रूपांतरण ज्यामिति का एक महत्वपूर्ण सिद्धांत है, जिसमें स्थानान्तरण, परावर्तन, घूर्णन और फैलाव जैसी विभिन्न क्रियाएँ शामिल हैं। प्रत्येक प्रकार के रूपांतरण की कार्यप्रणाली को समझकर हम समतल में किसी वस्तु की स्थिति या आकृति को आसानी से बदल सकते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरणों के माध्यम से हम विभिन्न रूपांतरणों के व्यावहारिक अनुप्रयोगों और उन्हें मिलाकर अधिक जटिल रूपांतरणों को प्राप्त करने के तरीके को देख सकते हैं। आशा है कि यह लेख कार्तीय समतल में रूपांतरणों को समझने में सहायक सिद्ध हुआ होगा।