न्यूनतम प्रतिफल मूल्य और अधिकतम प्रतिफल मूल्य के चरम बिंदुओं पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

न्यूनतम प्रतिफल मूल्य और अधिकतम प्रतिफल मूल्य जैसे चरम बिंदुओं से संबंधित उदाहरण प्रश्न और चर्चा

किसी फलन के न्यूनतम या अधिकतम मान तक पहुँचने वाले चरम बिंदुओं का निर्धारण करना कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण की एक मूलभूत अवधारणा है। इस लेख में, हम न्यूनतम और अधिकतम प्रतिफल मानों से संबंधित कई उदाहरणों के माध्यम से चरम बिंदुओं को खोजने और उनका विश्लेषण करने का तरीका जानेंगे।

विषय परिभाषाएँ और प्रमेय

उदाहरण समस्याओं पर चर्चा करने से पहले, हमें कुछ बुनियादी अवधारणाओं और प्रमेयों को समझना होगा:

1. क्रांतिक बिंदु: फलन f(x) का वह मान जहाँ फलन f(x) का प्रथम व्युत्पन्न f'(x) शून्य होता है या अस्तित्व में नहीं होता है।
2. अधिकतम प्रतिफल मूल्य: यह \( f(x) \) का वह मान है जो उस बिंदु के आसपास \( f(x) \) के मान से अधिक है।
3. न्यूनतम प्रतिफल मूल्य: यह \( f(x) \) का वह मान है जो उस बिंदु के आसपास \( f(x) \) के मान से छोटा होता है।
4. फर्माट का प्रमेय: यदि \( f \) का \( c \) पर एक स्थानीय चरम मान है और व्युत्पन्न \( f'(c) \) मौजूद है, तो \( f'(c) = 0 \)।

उदाहरण प्रश्न 1: द्विघात फलन

सबसे पहले, हम एक सरल द्विघात फलन से शुरू करते हैं:

[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

लॅंगका-लॅंगका:

1. f'(x) का प्रथम अवकलन ज्ञात कीजिए:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. f'(x) = 0 को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए:
\[
4x – 4 = 0 → x = 1
\]

3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करें:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
चूँकि \( f”(1) > 0 \), बिंदु \( x = 1 \) एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।

उदाहरण प्रश्न 2: बहुपद फलन

अब आइए एक अधिक जटिल बहुपद फलन के साथ प्रयास करें:

[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

लॅंगका-लॅंगका:

1. प्रथम अवकलन \( g'(x) \) ज्ञात कीजिए:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. \( g'(x) = 0 \) को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए:
\[
3x^2 – 6x = 0 3x(x – 2) = 0 x = 0 x = 2
\]

3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करें:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{स्थानीय अधिकतम मान})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{स्थानीय न्यूनतम मान})
\]

अतः, \( g(x) \) का स्थानीय अधिकतम \( x = 0 \) पर और स्थानीय न्यूनतम \( x = 2 \) पर है।

उदाहरण प्रश्न 3: पारलौकिक कार्य

आइए घातांक से संबंधित एक फ़ंक्शन को देखें:

[ h(x) = xe^{-x} \]

लॅंगका-लॅंगका:

1. प्रथम अवकलन \( h'(x) \) ज्ञात कीजिए:
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]

2. \( h'(x) = 0 \) को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए:
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]

3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करें:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
चूंकि \( h”(1) < 0 \), इसलिए बिंदु \( x = 1 \) एक स्थानीय अधिकतम है। उदाहरण समस्या 4: परिमेय फलन अंत में, हम परिमेय फलन का मूल्यांकन करते हैं: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] चरण: 1. भागफल नियम का उपयोग करके प्रथम अवकलन ज्ञात कीजिए: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. \( k'(x) = 0 \ को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए: \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 ∈ x = √2 ] 3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए: [ k(√2) = (√2)² + 2√2 √2 - 1) = 2 + 2√2 √2 - 1 × √2 + 1 √2 + 1 = (2 + 2√2)(√2 + 1) √1 = 4 + 4√2 ] [ k(-√2) = (-√2)² + 2(-√2) √2 - 1) = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. बिंदु के गुणों की जाँच करने के लिए द्वितीय अवकलन का प्रयोग करें: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] आगे की गणनाएँ \( k'(x) \) का अवकलन करके की जा सकती हैं। परिणाम यह दर्शाएँगे कि क्या \( x = \sqrt{2} \) और \( x = -\sqrt{2} \) स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम बिंदु हैं। निष्कर्ष इस लेख में, हमने कई उदाहरण समस्याओं पर चर्चा की है जो यह दर्शाती हैं कि कैसे ज्ञात किया जाता है विभिन्न प्रकार के फलनों के चरम मान, अर्थात् न्यूनतम और अधिकतम व्युत्क्रम मान, ज्ञात किए जाते हैं। इसमें क्रांतिक बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए प्रथम अवकलन ज्ञात करना, बिंदुओं की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करना और उन बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करना जैसी तकनीकें शामिल हैं। यह कैलकुलस में फलनात्मक विश्लेषण के गहन अध्ययन के लिए एक ठोस आधार प्रदान करता है।