न्यूनतम प्रतिफल मूल्य और अधिकतम प्रतिफल मूल्य के चरम बिंदुओं पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

न्यूनतम प्रतिफल मूल्य और अधिकतम प्रतिफल मूल्य जैसे चरम बिंदुओं से संबंधित उदाहरण प्रश्न और चर्चा

किसी फलन के न्यूनतम या अधिकतम मान तक पहुँचने वाले चरम बिंदुओं का निर्धारण करना कैलकुलस और गणितीय विश्लेषण की एक मूलभूत अवधारणा है। इस लेख में, हम न्यूनतम और अधिकतम प्रतिफल मानों से संबंधित कई उदाहरणों के माध्यम से चरम बिंदुओं को खोजने और उनका विश्लेषण करने का तरीका जानेंगे।

विषय परिभाषाएँ और प्रमेय

उदाहरण समस्याओं पर चर्चा करने से पहले, हमें कुछ बुनियादी अवधारणाओं और प्रमेयों को समझना होगा:

1. क्रांतिक बिंदु: फलन f(x) का वह मान जहाँ फलन f(x) का प्रथम व्युत्पन्न f'(x) शून्य होता है या अस्तित्व में नहीं होता है।
2. अधिकतम प्रतिफल मूल्य: यह \( f(x) \) का वह मान है जो उस बिंदु के आसपास \( f(x) \) के मान से अधिक है।
3. न्यूनतम प्रतिफल मूल्य: यह \( f(x) \) का वह मान है जो उस बिंदु के आसपास \( f(x) \) के मान से छोटा होता है।
4. फर्माट का प्रमेय: यदि \( f \) का \( c \) पर एक स्थानीय चरम मान है और व्युत्पन्न \( f'(c) \) मौजूद है, तो \( f'(c) = 0 \)।

उदाहरण प्रश्न 1: द्विघात फलन

सबसे पहले, हम एक सरल द्विघात फलन से शुरू करते हैं:

[ f(x) = 2x^2 – 4x + 1 \]

लॅंगका-लॅंगका:

1. f'(x) का प्रथम अवकलन ज्ञात कीजिए:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 – 4x + 1) = 4x – 4
\]

2. f'(x) = 0 को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए:
\[
4x – 4 = 0 → x = 1
\]

3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए:
\[
f(1) = 2(1)^2 – 4(1) + 1 = -1
\]

4. बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करें:
\[
f”(x) = \frac{d}{dx}(4x – 4) = 4
\]
चूँकि \( f”(1) > 0 \), बिंदु \( x = 1 \) एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है।

उदाहरण प्रश्न 2: बहुपद फलन

अब आइए एक अधिक जटिल बहुपद फलन के साथ प्रयास करें:

[ g(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \]

लॅंगका-लॅंगका:

1. प्रथम अवकलन \( g'(x) \) ज्ञात कीजिए:
\[
g'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 – 3x^2 + 2) = 3x^2 – 6x
\]

2. \( g'(x) = 0 \) को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए:
\[
3x^2 – 6x = 0 3x(x – 2) = 0 x = 0 x = 2
\]

3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए:
\[
g(0) = 0^3 – 3(0)^2 + 2 = 2
\]
\[
g(2) = 2^3 – 3(2)^2 + 2 = -2
\]

4. बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करें:
\[
g”(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 – 6x) = 6x – 6
\]
\[
g”(0) = 6(0) – 6 = -6 \quad (\text{स्थानीय अधिकतम मान})
\]
\[
g”(2) = 6(2) – 6 = 6 \quad (\text{स्थानीय न्यूनतम मान})
\]

अतः, \( g(x) \) का स्थानीय अधिकतम \( x = 0 \) पर और स्थानीय न्यूनतम \( x = 2 \) पर है।

उदाहरण प्रश्न 3: पारलौकिक कार्य

आइए घातांक से संबंधित एक फ़ंक्शन को देखें:

[ h(x) = xe^{-x} \]

लॅंगका-लॅंगका:

1. प्रथम अवकलन \( h'(x) \) ज्ञात कीजिए:
\[
h'(x) = \frac{d}{dx}(xe^{-x}) = e^{-x} – xe^{-x} = (1 – x)e^{-x}
\]

2. \( h'(x) = 0 \) को हल करके क्रांतिक बिंदु ज्ञात कीजिए:
\[
(1 – x)e^{-x} = 0 \implies 1 – x = 0 \implies x = 1
\]

3. क्रांतिक बिंदु पर फलन का मान ज्ञात कीजिए:
\[
h(1) = 1e^{-1} = \frac{1}{e}
\]

4. बिंदु की प्रकृति निर्धारित करने के लिए द्वितीय अवकलन का उपयोग करें:
\[
h”(x) = \frac{d}{dx}((1 – x)e^{-x}) = -e^{-x} – (1 – x)e^{-x} = (x – 2)e^{-x}
\]
\[
h”(1) = (1 – 2)e^{-1} = -\frac{1}{e}
\]
Karena \( h”(1) < 0 \), titik \( x = 1 \) adalah titik maksimum lokal. Contoh Soal 4: Fungsi Rasional Terakhir, kita evaluasi fungsi rasional: \[ k(x) = \frac{x^2 + 2x}{x - 1} \] Langkah-langkah: 1. Tentukan turunan pertama menggunakan aturan hasil bagi: \[ k'(x) = \frac{(2x+2)(x-1) - (x^2+2x)}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x + 2x - 2 - x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \] 2. Temukan titik kritik dengan menyelesaikan \( k'(x) = 0 \): \[ \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} = 0 \implies x^2 - 2 = 0 \implies x = \pm \sqrt{2} \] 3. Tentukan nilai dari fungsi pada titik kritik: \[ k(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} \times \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 + 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{1} = 4 + 4\sqrt{2} \] \[ k(-\sqrt{2}) = \frac{(-\sqrt{2})^2 + 2(-\sqrt{2})}{-\sqrt{2} - 1} = \frac{2 - 2\sqrt{2}}{-\sqrt{2} - 1} \times \frac{-\sqrt{2} + 1}{-\sqrt{2} + 1} = \frac{(2 - 2\sqrt{2})(-\sqrt{2} + 1)}{1} = -4 + 4\sqrt{2} \] 4. Gunakan turunan kedua untuk memeriksa sifat titik tersebut: \[ k''(x) = \frac{d}{dx}\left( \frac{x^2 - 2}{(x-1)^2} \right) \] Penghitungan lebih lanjut dapat dilakukan dengan menurunkan kembali \( k'(x) \) yang hasilnya akan menunjukkan apakah \( x = \sqrt{2} \) dan \( x = -\sqrt{2} \) adalah titik maksimum atau minimum lokal. Kesimpulan Dalam artikel ini, kita telah membahas beberapa contoh soal yang menunjukkan cara mencari titik ekstrim, yaitu nilai balik minimum dan nilai balik maksimum, dari berbagai jenis fungsi. Teknik yang digunakan meliputi mencari turunan pertama untuk menemukan titik kritik, menggunakan turunan kedua untuk menentukan sifat titik, dan mengevaluasi fungsi pada titik-titik tersebut. Ini adalah dasar yang kuat untuk menyelami lebih dalam analisis fungsional dalam kalkulus.