परिपथ अनुनाद पर चर्चा करने वाली समस्या का उदाहरण

परिपथ अनुनाद पर चर्चा करने वाली समस्या का उदाहरण

अनुनाद एक ऐसी घटना है जिसमें कोई प्रणाली एक विशिष्ट आवृत्ति पर अधिकतम आयाम के साथ दोलन करती है। विद्युत परिपथों के संदर्भ में, अनुनाद तब होता है जब परिपथ प्रतिबाधा न्यूनतम या अधिकतम मान तक पहुँच जाती है, जिससे परिपथ में धारा या वोल्टेज अपने चरम पर पहुँच जाता है। यह घटना विद्युत परिपथों के डिजाइन और विश्लेषण में बहुत महत्वपूर्ण है, विशेष रूप से रेडियो, फिल्टर और दोलक जैसे अनुप्रयोगों में।

विद्युत परिपथों में अनुनाद के मूलभूत सिद्धांत

विद्युत परिपथों में अनुनाद की चर्चा आमतौर पर आरएलसी परिपथ के संदर्भ में की जाती है, जिसमें एक प्रतिरोधक (आर), एक प्रेरक (एल) और एक संधारित्र (सी) शामिल होते हैं। आमतौर पर दो प्रकार के अनुनादों पर चर्चा की जाती है:

1. श्रृंखला अनुनाद: यह तब होता है जब एक प्रेरक और एक संधारित्र को एक प्रतिरोधक के साथ श्रृंखला में जोड़ा जाता है। अनुनाद तब होता है जब प्रेरक प्रतिघात (XL) संधारित्र प्रतिघात (XC) के बराबर होता है।

2. समानांतर अनुनाद: यह तब होता है जब एक प्रेरक और एक संधारित्र समानांतर क्रम में जुड़े होते हैं। अनुनाद तब होता है जब किसी निश्चित आवृत्ति पर परिपथ प्रतिबाधा अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाती है।

दोनों प्रकार के परिपथों के लिए अनुनाद आवृत्ति (\( f_0 \)) समान है और इसे निम्न प्रकार से दिया जाता है:
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

आरएलसी श्रृंखला परिपथों के अनुनाद से संबंधित उदाहरण प्रश्न और चर्चा

प्रश्न 1:

एक श्रृंखला RLC परिपथ दिया गया है जिसमें 10 ओम का प्रतिरोधक (R), 10 mH का प्रेरक (L) और 1 μF का संधारित्र (C) है। ज्ञात कीजिए:
1. परिपथ की अनुनादी आवृत्ति।
2. अनुनाद आवृत्ति पर परिपथ प्रतिबाधा।
3. अनुनाद आवृत्ति पर स्रोत वोल्टेज 10 V rms होने पर परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा ज्ञात कीजिए।

बहस:

1. परिपथ की अनुनादी आवृत्ति:

एक श्रृंखला आरएलसी परिपथ में अनुनाद आवृत्ति (\( f_0 \)) निम्न द्वारा दी जाती है:
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

कहाँ:
- एल = 10 एमएच = 10 x 10⁻³ एच
– C = 1 μF = 1 x 10⁻⁶ F

इसलिए:
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(10 \times 10^{-3})(1 \times 10^{-6})}} \]
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \]
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
[ f_0 = 10^4{2\pi} \]
[ f_0 ≈ 1591.55 Hz \]

2. अनुनाद आवृत्ति पर परिपथ प्रतिबाधा:

अनुनाद आवृत्ति पर, प्रेरक प्रतिघात (XL) धारिता प्रतिघात (XC) के बराबर होता है, जिससे कि:
[ X_L = X_C \]
[ 2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C} \]

चूंकि प्रेरकीय और धारिता प्रतिघात एक दूसरे को रद्द कर देते हैं, इसलिए परिपथ प्रतिबाधा केवल प्रतिरोधक (R) के बराबर होती है:
[ Z = R = 10 ओम ]

3. परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा:

परिपथ में प्रवाहित धारा (I) की गणना ओम के नियम का उपयोग करके की जा सकती है:
[ I = V { Z} \]

कहाँ:
– V = 10 V rms
– Z = 10 ओम (अनुनाद आवृत्ति पर)

इसलिए:
[ I = 10/10]
[ I = 1 A]

अतः, परिपथ में प्रवाहित होने वाली धारा 1 A है।

समानांतर आरएलसी परिपथों के अनुनाद से संबंधित उदाहरण प्रश्न और चर्चा

प्रश्न 2:

एक समांतर RLC परिपथ दिया गया है जिसमें 10 ओम का प्रतिरोधक (R), 5 mH का प्रेरक (L) और 2 μF का संधारित्र (C) है। ज्ञात कीजिए:
1. परिपथ की अनुनादी आवृत्ति।
2. अनुनाद आवृत्ति पर परिपथ प्रतिबाधा।
3. स्रोत वोल्टेज ज्ञात कीजिए यदि अनुनाद आवृत्ति पर परिपथ में प्रवाहित कुल धारा 2 A है।

बहस:

1. परिपथ की अनुनादी आवृत्ति:

समानांतर आरएलसी परिपथ में अनुनाद आवृत्ति (\( f_0 \)) को निम्न प्रकार से भी दिया जाता है:
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \]

कहाँ:
- एल = 5 एमएच = 5 x 10⁻³ एच
– C = 2 μF = 2 x 10⁻⁶ F

इसलिए:
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{(5 \times 10^{-3})(2 \times 10^{-6})}} \]
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10 \times 10^{-9}}} \]
[ f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{10^{-8}}} \]
[ f_0 = \frac{1}{2\pi \times 10^{-4}} \]
[ f_0 = 10^4{2\pi} \]
[ f_0 ≈ 1591.55 Hz \]

2. अनुनाद आवृत्ति पर परिपथ प्रतिबाधा:

अनुनाद आवृत्ति पर, प्रेरक और संधारित्र का कुल प्रवेश (Y) शून्य होता है। इसलिए, समानांतर आरएलसी परिपथ की प्रतिबाधा (Z) केवल प्रतिरोधक (R) पर निर्भर करती है। अतः, अनुनाद आवृत्ति पर, समानांतर आरएलसी परिपथ की प्रतिबाधा प्रतिरोधक के बराबर होती है।

इसलिए:
[ R = 10 ओम ]

3. स्रोत वोल्टेज:

परिपथ में प्रवाहित कुल धारा (I) 2 A है। ओम के नियम के अनुसार, स्रोत वोल्टेज (V) निम्न प्रकार से दिया जाता है:
[ V = I × Z ]

कहाँ:
– I = 2 A
– Z = 10 ओम

इसलिए:
[ V = 2 × 10 ]
[V = 20 V]

अतः, स्रोत वोल्टेज 20 वोल्ट है।

निष्कर्ष

विद्युत परिपथों में अनुनाद एक महत्वपूर्ण घटना है जिसका उपयोग विद्युत और इलेक्ट्रॉनिक इंजीनियरिंग के विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जा सकता है। अनुनाद आवृत्ति की गणना और धारा एवं वोल्टेज पर इसके प्रभावों को समझना परिपथ डिजाइन और विश्लेषण के लिए मूलभूत है। यह लेख आरएलसी परिपथों में अनुनाद की बुनियादी अवधारणाओं को प्रस्तुत करता है और इस विषय का स्पष्ट अवलोकन प्रदान करने के लिए संबंधित समस्याओं पर चर्चा करता है।