समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके दो सदिशों को जोड़ने पर चर्चा प्रश्न का एक उदाहरण

समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके दो सदिशों के योग पर चर्चा करने वाला उदाहरण प्रश्न

सदिश योग भौतिकी और गणित में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जिसका उपयोग अक्सर प्राकृतिक घटनाओं और रोजमर्रा की समस्याओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है। दो सदिशों को जोड़ने की कई विधियाँ हैं, जिनमें से एक समांतर चतुर्भुज विधि है। यह विधि न केवल सहज है, बल्कि यह दो सदिशों के संयोजन से परिणामी सदिश बनने की प्रक्रिया को भी प्रभावी ढंग से दर्शाती है। इस लेख में, हम समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके सदिश योग के कई उदाहरणों और उनके हलों पर चर्चा करेंगे।

वेक्टर क्या होता है?

उदाहरण प्रश्नों को समझने से पहले, हमें सदिश की मूल परिभाषा को समझना आवश्यक है। सदिश एक ऐसी राशि है जिसमें परिमाण (लंबाई) और दिशा दोनों होते हैं। सदिश के क्लासिक उदाहरणों में वेग, त्वरण, बल और विस्थापन शामिल हैं। सदिश को कार्तीय निर्देशांकों में उसके घटकों (i, j, k) के रूप में या उसकी लंबाई और दिशा (कोण) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

समांतर चतुर्भुज विधि

समांतर चतुर्भुज विधि दो सदिशों को जोड़ने का एक तरीका है। इस विधि में, हम दो सदिशों को एक समांतर चतुर्भुज की दो भुजाओं के रूप में दर्शाते हैं। परिणामी सदिश समांतर चतुर्भुज का विकर्ण होता है जो दोनों सदिशों के आरंभिक बिंदु से शुरू होता है। गणितीय रूप से, यदि हमारे पास दो सदिश \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) हैं, तो परिणामी सदिश \( \vec{R} = \vec{A} + \vec{B} \) होगा।

समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करने की चरण-दर-चरण विधि इस प्रकार है:
1. प्रारंभिक बिंदु से सदिश \(\vec{A}\) खींचिए।
2. सदिश \(\vec{A}\) के अंत से, सदिश \(\vec{B}\) खींचिए।
3. प्रारंभिक बिंदु \(\vec{A}\) से सदिश \(\vec{B}\) के समानांतर एक रेखा खींचिए।
4. सदिश \(\vec{B}\) के सिरे से सदिश \(\vec{A}\) के समानांतर एक रेखा खींचिए।
5. परिणामी सदिश \(\vec{R}\) प्राप्त करने के लिए आरंभिक बिंदु से विपरीत कोने तक एक विकर्ण खींचें।

Contoh Soal dan Pembahasan

प्रश्न 1

मान लीजिए हमारे पास दो सदिश \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) हैं:
– \(\vec{A}\) की लंबाई (परिमाण) 5 इकाई है और दिशा 0° (या धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश) है।
– \(\vec{B}\) की लंबाई 3 इकाई है और दिशा 90° (या धनात्मक y-अक्ष के अनुदिश) है।

समांतर चतुर्भुज विधि का उपयोग करके इन दो सदिशों को जोड़ने पर परिणामी मान क्या होगा?

बहस:

1. धनात्मक x-अक्ष के अनुदिश 5 इकाई लंबाई वाले सदिश \(\vec{A}\) का चित्र बनाइए।
2. सदिश \(\vec{A}\) के सिरे से धनात्मक y-अक्ष के अनुदिश 3 इकाई की लंबाई वाला सदिश \(\vec{B}\) खींचिए।
3. आरंभिक बिंदु \(\vec{A}\) से, \(\vec{B}\) के समानांतर एक रेखा खींचिए।
4. \(\vec{B}\) के सिरे से, \(\vec{A}\) के समानांतर एक रेखा खींचिए।
5. परिणाम एक समांतर चतुर्भुज है जिसका विकर्ण परिणामी सदिश \(\vec{R}\) है।

चूंकि \(\vec{A}\) और \(\vec{B}\) एक दूसरे के लंबवत हैं, इसलिए हम परिणामी सदिश की लंबाई की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं:

[ R = √A^2 + B^2} = √5^2 + 3^2} = √25 + 9 = √34 ≈ 5.83 \]

परिणामी सदिश की दिशा त्रिकोणमिति का उपयोग करके गणना की जा सकती है। यदि \(\theta\) परिणामी और \(\vec{A}\) के बीच का कोण है:

[ tan(θ) = B{A} = 3{5} ]

इसलिए:

\[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{5}\right) \approx 30.96^\circ \]

इस प्रकार, परिणामी सदिश \(\vec{R}\) का परिमाण लगभग 5.83 इकाई है और इसकी दिशा \(\vec{A}\) से लगभग 30.96° है।

प्रश्न 2

दो सदिश \(\vec{C}\) और \(\vec{D}\) निम्नलिखित प्रकार से दिए गए हैं:
– \(\vec{C}\) जिसकी लंबाई 4 इकाई और दिशा 45° है।
– \(\vec{D}\) जिसकी लंबाई 6 इकाई और दिशा 120° है।

दो सदिशों के योग से प्राप्त परिणामी सदिश \(\vec{R}\) ज्ञात कीजिए।

बहस:

दो ऐसे सदिशों को जोड़ने के लिए जो एक दूसरे के लंबवत नहीं हैं या अलग-अलग आकार के हैं, आप कार्तीय घटकों का उपयोग कर सकते हैं।

1. \(\vec{C}\) और \(\vec{D}\) को x और y घटकों में विभाजित करें।

\(\vec{C}\) के लिए:
[ C_x = C \cos(45^\circ) = 4 \cos(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]
[ C_y = C \sin(45^\circ) = 4 \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 \]

\(\vec{D}\) के लिए:
[ D_x = D cos(120^\circ) = 6 cos(120^\circ) = 6 ✓(-\frac{1}{2}) = -3 \]
[ D_y = D sin(120^\circ) = 6 sin(120^\circ) = 6 ⋅₁₋ₓ₂ = 3⋅₃₋ₓ ...

2. दोनों सदिशों के x और y घटकों को जोड़ें:
[ R_x = C_x + D_x = 2.83 + (-3) = -0.17 \]
[ R_y = C_y + D_y = 2.83 + 5.20 = 8.03 \]

3. परिणामी सदिश \(\vec{R}\) का परिमाण और दिशा ज्ञात कीजिए:
[ R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2} = \sqrt{(-0.17)^2 + 8.03^2} = \sqrt{0.03 + 64.48} = \sqrt{64.51} \approx 8.03 \]

[ θ = tan⁻¹(R_y{R_x}) = tan⁻¹(8.03{-0.17}) लगभग tan⁻¹(-47.24) ]

चूंकि परिणाम ऋणात्मक है, इसलिए सही चतुर्थांश प्रणाली में कोण प्राप्त करने के लिए हम इसमें 180° जोड़ते हैं:
[ θ लगभग tan⁻¹(47.24) + 180⁻¹ लगभग 271.93⁻¹]

अतः, परिणामी सदिश \(\vec{R}\) का परिमाण लगभग 8.03 इकाई है और दिशा लगभग 271.93° है, या हम कह सकते हैं कि चौथे चतुर्थांश में ऋणात्मक x-अक्ष से लगभग 91.93° है।

पेनुतुप

समांतर चतुर्भुज विधि दो सदिशों को जोड़ने का एक प्रभावी और दृश्य तरीका है। सरल सदिशों के लिए यह विधि भले ही सरल प्रतीत हो, लेकिन यह समझना महत्वपूर्ण है कि अधिक जटिल सदिशों के लिए सटीक परिणाम प्राप्त करने हेतु हमें अक्सर कार्तीय घटकों और अधिक उन्नत बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करना पड़ता है। आशा है कि ऊपर दिए गए उदाहरण इस विधि को विभिन्न स्थितियों में लागू करने के तरीके को स्पष्ट रूप से दर्शाते हैं।