समूहीकृत डेटा के चतुर्थांशों पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न
पेंडाहुलुआन
सांख्यिकी में चतुर्थक (क्वार्टाइल) केंद्रीय प्रवृत्ति का एक माप है जो डेटा को चार बराबर भागों में विभाजित करता है। चतुर्थक में पहला चतुर्थक (Q1), दूसरा चतुर्थक (Q2) और तीसरा चतुर्थक (Q3) शामिल होते हैं। कई मामलों में, विश्लेषण किए जा रहे डेटा को समूहीकृत किया जा सकता है। यह लेख समूहीकृत डेटा के लिए चतुर्थक के उदाहरणों और चर्चा पर प्रकाश डालेगा।
समूह डेटा में चतुर्थांशों को समझना
क्वार्टाइल वे मान होते हैं जो व्यवस्थित डेटा को चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं। पहले क्वार्टाइल (Q1) को 25वां पर्सेंटाइल, दूसरे क्वार्टाइल (Q2) को माध्यिका या 50वां पर्सेंटाइल और तीसरे क्वार्टाइल (Q3) को 75वां पर्सेंटाइल कहा जाता है।
समूहीकृत डेटा के लिए चतुर्थक (क्वार्टाइल) की गणना एकल डेटा की तुलना में थोड़ी अधिक जटिल होती है। समूहीकृत डेटा आमतौर पर आवृत्ति वितरण तालिका में प्रस्तुत किया जाता है, इसलिए चतुर्थक ज्ञात करने के लिए हमें एक विशिष्ट सूत्र का उपयोग करना पड़ता है।
समूहीकृत डेटा के लिए चतुर्थक सूत्र
समूहीकृत डेटा में चतुर्थक ज्ञात करने के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
– प्रथम चतुर्थक (Q1):
\[
Q1 = L_{Q1} + \left( \frac{\frac{N}{4} – F_{Q1}}{f_{Q1}} \right) \times c
\]
– द्वितीय चतुर्थक (Q2):
\[
Q2 = L_{Q2} + \left( \frac{\frac{N}{2} – F_{Q2}}{f_{Q2}} \right) \times c
\]
– तीसरा चतुर्थक (Q3):
\[
Q3 = L_{Q3} + \left( \frac{\frac{3N}{4} – F_{Q3}}{f_{Q3}} \right) \times c
\]
कहाँ:
– \( L_{Q1}, L_{Q2}, L_{Q3} \) = वर्ग Q1, Q2, Q3 की निचली सीमा
– \( N \) = डेटा की संख्या
– \( F_{Q1}, F_{Q2}, F_{Q3} \) = वर्ग Q1, Q2, Q3 से पहले संचयी आवृत्ति
– \( f_{Q1}, f_{Q2}, f_{Q3} \) = वर्ग आवृत्तियाँ Q1, Q2, Q3
– \( c \) = वर्ग की लंबाई
समस्याओं का उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण समूह डेटा समस्या का है जिसका उपयोग चतुर्थक (क्वार्टाइल) की गणना करने के लिए किया जाएगा:
| मूल्य | आवृत्ति |
|———|———–|
| 10 – 19 | 5 |
| 20 – 29 | 8 |
| 30 – 39 | 12 |
| 40 – 49 | 15 |
| 50 – 59 | 6 |
| 60 – 69 | 4 |
चरण 1: संचयी आवृत्ति निर्धारित करें
सबसे पहले, हमें प्रत्येक वर्ग के लिए संचयी आवृत्ति निर्धारित करने की आवश्यकता है:
| मान | आवृत्ति | संचयी आवृत्ति |
|————|————–|————————|
| 10 – 19 | 5 | 5 |
| 20 – 29 | 8 | 13 |
| 30 – 39 | 12 | 25 |
| 40 – 49 | 15 | 40 |
| 50 – 59 | 6 | 46 |
| 60 – 69 | 4 | 50 |
आंकड़ों की संख्या (N) = 50
चरण 2: प्रथम चतुर्थक (Q1) का निर्धारण
– \( \frac{N}{4} = \frac{50}{4} = 12.5 \)
हम उस वर्ग की तलाश करते हैं जहां संचयी आवृत्ति पहली बार 12.5 से अधिक हो जाती है, अर्थात् वर्ग 20 - 29।
– L (वर्ग Q1 की निचली सीमा) = 20
– F (कक्षा Q1 से पहले संचयी आवृत्ति) = 5
– f (वर्ग Q1 की आवृत्ति) = 8
– c (कक्षा की लंबाई) = 10
सूत्र Q1 का उपयोग करते हुए:
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{12.5 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + \left( \frac{7.5}{8} \right) \times 10 = 20 + 9.375 = 29.375
\]
चरण 3: द्वितीय चतुर्थक (Q2) का निर्धारण
– \( \frac{N}{2} = \frac{50}{2} = 25 \)
हम उस वर्ग की तलाश करते हैं जहां संचयी आवृत्ति पहली बार 25 से अधिक हो जाती है, अर्थात् वर्ग 30 - 39।
- एल = 30
– एफ = 13
– f = 12
– c = 10
सूत्र Q2 का उपयोग करते हुए:
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{25 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + \left( \frac{12}{12} \right) \times 10 = 30 + 10 = 40
\]
चरण 4: तीसरा चतुर्थक (Q3) निर्धारित करें
– \( \frac{3N}{4} = \frac{3 \times 50}{4} = 37.5 \)
हम उस वर्ग की तलाश करते हैं जहां संचयी आवृत्ति पहली बार 37.5 से अधिक हो जाती है, अर्थात् वर्ग 40 - 49।
- एल = 40
– एफ = 25
– f = 15
– c = 10
सूत्र Q3 का उपयोग करते हुए:
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{37.5 – 25}{15} \right) \times 10 = 40 + \left( \frac{12.5}{15} \right) \times 10 = 40 + 8.333 \approx 48.333
\]
निष्कर्ष
उपरोक्त गणनाओं से, हमें समूह डेटा के लिए चतुर्थक मान निम्नानुसार प्राप्त होते हैं:
– प्रथम चतुर्थक (Q1) = 29.375
– द्वितीय चतुर्थक (Q2) = 40
– तीसरा चतुर्थक (Q3) = 48.333
इन मानों से हमें यह समझने में मदद मिलती है कि समूह के भीतर डेटा का वितरण कैसा है। उदाहरण के लिए, 25% डेटा 29.375 से कम है (प्रश्न 1), 50% डेटा 40 से कम है (माध्यिका या प्रश्न 2), और 75% डेटा 48.333 से कम है (प्रश्न 3)।
डेटा वितरण की गहरी समझ प्राप्त करने के लिए चतुर्थक गणनाएँ विभिन्न स्थितियों में उपयोगी होती हैं। इस विधि को समझने से हमें समूहीकृत डेटा का अधिक सटीक और प्रभावी ढंग से विश्लेषण करने में मदद मिलती है।
