उत्पाद आघूर्ण सहसंबंध के उदाहरण प्रश्न और चर्चा
प्रोडक्ट-मोमेंट कोरिलेशन, जिसे पियर्सन कोरिलेशन भी कहा जाता है, दो चरों के बीच रैखिक संबंध की मजबूती और दिशा को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सांख्यिकीय विधि है। यह विधि अकादमिक अनुसंधान और व्यावसायिक विश्लेषण से लेकर प्राकृतिक विज्ञानों में प्रयोगों के मूल्यांकन तक विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी है। इस लेख में प्रोडक्ट-मोमेंट कोरिलेशन की गणना के लिए कई उदाहरण समस्याओं और उनके समाधानों पर चर्चा की जाएगी।
पेंडाहुलुआन
उदाहरण प्रश्नों पर जाने से पहले, प्रोडक्ट मोमेंट कोरिलेशन की मूल अवधारणा को समझना अच्छा रहेगा। पियर्सन सहसंबंध गुणांक (\(r\)) की गणना के लिए प्रयुक्त सामान्य सूत्र इस प्रकार है:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
कहाँ:
– \( n \) डेटा युग्मों की संख्या है।
– \( \sum{XY} \) \( X \) और \( Y \) के गुणनफलों का योग है।
– \( \sum{X} \) चरों \( X \) का योग है।
– \( \sum{Y} \) चरों \( Y \) का योग है।
– \( \sum{X^2} \) चर \( X \) के वर्गों का योग है।
– \( \sum{Y^2} \) चर \( Y \) के वर्गों का योग है।
पियर्सन का सहसंबंध गुणांक (\( r \)) हमेशा -1 और 1 के बीच होता है। धनात्मक सहसंबंध यह दर्शाता है कि दोनों चर एक ही दिशा में गति करते हैं, जबकि ऋणात्मक सहसंबंध यह दर्शाता है कि एक चर के बढ़ने पर दूसरा घटता है। यदि \( r = 0 \) है, तो दोनों चरों के बीच कोई रेखीय सहसंबंध नहीं है।
उदाहरण प्रश्न 1
जानकारी
निम्नलिखित आंकड़े 5 छात्रों के गणित और भौतिकी परीक्षा के अंकों से संबंधित हैं:
| विद्यार्थी | गणित (X) | भौतिक विज्ञान (Y) |
|——-|——————-|————-|
| 1 | 85 | 90 |
| 2 | 78 | 85 |
| 3 | 85 | 80 |
| 4 | 70 | 70 |
| 5 | 80 | 88 |
हल करने के चरण
1. महत्वपूर्ण घटकों की गणना:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
2. सूत्र में दर्ज करें:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
3. परिणामों की गणना:
अंश: ( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– हर:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
इस प्रकार, गणित और भौतिकी के परीक्षा अंकों के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक 0.633 है, जो दर्शाता है कि दोनों चरों के बीच मध्यम सकारात्मक सहसंबंध है।
उदाहरण प्रश्न 2
जानकारी
निम्नलिखित आंकड़े एक कंपनी के 6 महीनों के बिक्री मूल्य और विज्ञापन व्यय से संबंधित हैं:
| महीना | विज्ञापन (X) | बिक्री (Y) |
|——-|————–|——————|
| 1 | 2000 | 2500 |
| 2 | 1800 | 2100 |
| 3 | 2200 | 2700 |
| 4 | 2400 | 2900 |
| 5 | 2300 | 3000 |
| 6 | 2500 | 3200 |
हल करने के चरण
1. महत्वपूर्ण घटकों की गणना:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
2. सूत्र में दर्ज करें:
[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
3. परिणामों की गणना:
अंश: ( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– हर:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
इस प्रकार, विज्ञापन व्यय और बिक्री मूल्य के बीच पियर्सन सहसंबंध गुणांक 0.981 है, जो दर्शाता है कि दोनों चरों के बीच बहुत मजबूत सकारात्मक सहसंबंध है।
निष्कर्ष
पियर्सन सहसंबंध गुणांक (r) दो चरों के बीच रैखिक संबंध को समझने का एक बहुत उपयोगी उपकरण है। दिए गए उदाहरणों में, हम r मान की गणना और व्याख्या देखेंगे। उच्च सहसंबंध (1 या -1 के करीब) एक मजबूत संबंध दर्शाता है, जबकि निम्न सहसंबंध (0 के करीब) एक कमजोर संबंध दर्शाता है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सहसंबंध का अर्थ कारण-कार्य संबंध नहीं है; यह केवल यह दर्शाता है कि दो चरों के बीच एक संबंध है।
