अंतरचतुर्थक श्रेणी पर चर्चा के लिए एक प्रश्न का उदाहरण

अंतरचतुर्थक श्रेणी पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

पेंडाहुलुआन
सांख्यिकी में, अंतरचतुर्थक श्रेणी (IQR) डेटा सेट को चतुर्थांशों में विभाजित करके प्राप्त परिवर्तनशीलता का एक माप है। चतुर्थांश वे मान होते हैं जो डेटा को सबसे छोटे से सबसे बड़े क्रम में व्यवस्थित करने के बाद उसे चार बराबर भागों में विभाजित करते हैं। IQR महत्वपूर्ण है क्योंकि यह डेटा में मौजूद विषम मानों या चरम मानों से अप्रभावित रहता है। यह लेख IQR की गणना को बेहतर ढंग से समझने के लिए कई उदाहरणों पर चर्चा करेगा।

आईक्यूआर की परिभाषा और गणना विधि
उदाहरण प्रश्नों पर जाने से पहले, आइए पहले IQR की परिभाषा और गणना करने का तरीका समझ लें।

आईक्यूआर की गणना करने के चरण:
1. डेटा को क्रमबद्ध करें: डेटा को सबसे छोटे मान से सबसे बड़े मान के क्रम में व्यवस्थित किया जाना चाहिए।
2. प्रथम चतुर्थक (Q1) निर्धारित करें: प्रथम चतुर्थक डेटा के पहले आधे भाग का माध्यिका मान है।
3. तीसरा चतुर्थक (Q3) निर्धारित करें: तीसरा चतुर्थक डेटा के दूसरे आधे भाग का माध्यिका मान है।
4. IQR की गणना करें: IQR, प्रश्न 3 और प्रश्न 1 के बीच का अंतर है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार लिखा जाता है:

\[
IQR = Q3 – Q1
\]

नमूना प्रश्न और चर्चाएँ

उदाहरण प्रश्न 1
मान लीजिए हमारे पास निम्नलिखित डेटा है: 4, 7, 8, 10, 12, 15, 18.

चरण 1: डेटा को क्रमबद्ध करें (यदि पहले से क्रमबद्ध नहीं है):
डेटा को क्रमबद्ध किया गया है: 4, 7, 8, 10, 12, 15, 18.

चरण 2: प्रथम चतुर्थक (Q1) निर्धारित करें:
आंकड़ों की संख्या = 7. चूंकि यह विषम है, इसलिए इसे दो भागों में इस प्रकार विभाजित किया गया है: 4, 7, 8 और 12, 15, 18, जिसमें मध्य में माध्यिका 10 है।

पहला भाग है: 4, 7, 8. 4, 7, 8 का माध्यिका 7 है (क्योंकि 7 मध्य मान है)। अतः Q1 = 7.

चरण 3: तीसरा चतुर्थक (Q3) निर्धारित करें:
दूसरा भाग है: 12, 15, 18। 12, 15, 18 का माध्यिका 15 है (क्योंकि 15 मध्य मान है)। अतः प्रश्न 3 = 15।

चरण 4: आईक्यूआर की गणना करें:
\[
\text{IQR} = Q3 – Q1 = 15 – 7 = 8
\]

अतः, डेटा के लिए IQR 8 है।

उदाहरण प्रश्न 2
निम्नलिखित डेटासेट पर विचार करें: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.

चरण 1: डेटा को क्रमबद्ध करें (यदि पहले से क्रमबद्ध नहीं है):
डेटा को क्रमबद्ध किया गया है: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16.

चरण 2: प्रथम चतुर्थक (Q1) निर्धारित करें:
डेटा की संख्या = 8. चूंकि यह सम संख्या है, इसलिए डेटा को दो बराबर भागों में विभाजित करें: 2, 4, 6, 8 और 10, 12, 14, 16, और मध्य के दो डेटा (8 और 10) के बीच माध्यिका लें। इस डेटासेट की माध्यिका (8 + 10)/2 = 9 है।

पहला भाग है: 2, 4, 6, 8. 2, 4, 6, 8 का माध्यिका (4 + 6)/2 = 5 है। इसलिए Q1 = 5.

चरण 3: तीसरा चतुर्थक (Q3) निर्धारित करें:
दूसरा भाग है: 10, 12, 14, 16. 10, 12, 14, 16 का माध्यिका (12 + 14)/2 = 13 है। अतः प्रश्न 3 = 13.

चरण 4: आईक्यूआर की गणना करें:
\[
\text{IQR} = Q3 – Q1 = 13 – 5 = 8
\]

अतः, डेटा के लिए IQR 8 है।

उदाहरण प्रश्न 3
निम्नलिखित डेटासेट पर विचार करें: 3, 5, 9, 12, 14, 18, 21, 22, 25, 30.

चरण 1: डेटा को क्रमबद्ध करें (यदि पहले से क्रमबद्ध नहीं है):
डेटा को इस प्रकार क्रमबद्ध किया गया है: 3, 5, 9, 12, 14, 18, 21, 22, 25, 30.

चरण 2: प्रथम चतुर्थक (Q1) निर्धारित करें:
डेटासेट की संख्या = 10 है। चूंकि यह एक सम संख्या है, इसलिए डेटासेट को दो बराबर भागों में विभाजित करें: 3, 5, 9, 12, 14 और 18, 21, 22, 25, 30। मध्य के दो डेटासेट (14 और 18) के बीच माध्यिका ज्ञात करें। इस डेटासेट की माध्यिका (14 + 18)/2 = 16 है।

पहला भाग है: 3, 5, 9, 12, 14. 3, 5, 9, 12, 14 का माध्यिका 9 है. अतः प्रश्न 1 = 9.

चरण 3: तीसरा चतुर्थक (Q3) निर्धारित करें:
दूसरा भाग है: 18, 21, 22, 25, 30। 18, 21, 22, 25, 30 का माध्यिका 22 है। अतः प्रश्न 3 = 22।

चरण 4: आईक्यूआर की गणना करें:
\[
\text{IQR} = Q3 – Q1 = 22 – 9 = 13
\]

अतः, डेटा के लिए IQR 13 है।

निष्कर्ष
अंतरचतुर्थक श्रेणी (IQR) डेटा के माध्यिका फैलाव का एक माप है, जो चरम मानों या आउटलायर्स से अप्रभावित रहता है। IQR डेटासेट में माध्यिका के आसपास डेटा के फैलाव का एक अवलोकन प्रदान करता है। IQR की गणना करने का तरीका समझकर, हम डेटा में भिन्नता का बेहतर विश्लेषण और समझ सकते हैं।

इस लेख में, हमने Q1 और Q3 की पहचान करने और IQR की गणना करने के चरणों के साथ-साथ कई उदाहरण समस्याओं पर चर्चा की है। उम्मीद है, ये उदाहरण IQR की अवधारणा और सांख्यिकी में इसके अनुप्रयोगों को समझने में आपकी मदद करेंगे।