शांकव खंडों की स्पर्श रेखाओं से संबंधित उदाहरण प्रश्न और चर्चा
पेंडाहुलुआन
शांकव खंड एक समतल और द्विध्रुवीय शंकु के प्रतिच्छेदन से बनने वाला वक्र होता है। इन वक्रों में वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय शामिल हैं। शांकव खंड को समझने में एक महत्वपूर्ण विषय स्पर्श रेखा है। शांकव खंड की स्पर्श रेखा वह रेखा होती है जो शांकव वक्र को केवल एक बिंदु पर स्पर्श करती है। इस लेख में शांकव खंड की स्पर्श रेखाओं से संबंधित कई उदाहरण और चर्चा की जाएगी।
वृत्त की स्पर्श रेखा
वृत्त एक ऐसा शांकव खंड है जिसका आकार सबसे सरल और समरूपता पूर्ण होती है। आइए, वृत्त की स्पर्श रेखाओं से संबंधित एक उदाहरण से शुरुआत करते हैं।
उदाहरण प्रश्न 1
एक वृत्त दिया गया है जिसका समीकरण \( (x – 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) है। वृत्त पर स्थित बिंदु \((5, -3)\) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
वृत्त का सामान्य समीकरण \( (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \) है, जहाँ \( (h, k) \) वृत्त का केंद्र है और \( r \) त्रिज्या है। इस समस्या में, वृत्त का केंद्र \((h, k)\) \((2, -3)\) है और त्रिज्या \( r = \sqrt{25} = 5 \) है।
वृत्त पर स्थित बिंदु ((x_1, y_1)) पर स्पर्श रेखा को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है:
[ (x – h)(x_1 – h) + (y – k)(y_1 – k) = r^2 \]
ज्ञात मान दर्ज करें:
\[ (x – 2)(5 – 2) + (y + 3)(-3 + 3) = 25 \]
\[ (x – 2)(3) + (y + 3)(0) = 25 \]
[ 3(x – 2) = 25 \]
[ 3x – 6 = 25 \]
[ 3x = 31 ]
[ x = 31/3]
स्पर्श रेखा का समीकरण \(x = \frac{31}{3}\) है, लेकिन इस विधि में त्रुटि है क्योंकि बिंदु \((5, -3)\) स्पष्ट रूप से वृत्त पर स्थित एक बिंदु है। इसलिए, हम इस विशिष्ट बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढलान को प्रतिस्थापित करके पारंपरिक विधि का उपयोग करते हैं:
स्पर्श बिंदु \((5, -3)\) है, तो त्रिज्या रेखा का ढलान (m) \(m = \frac{-3 – (-3)}{5 – 2}=0\) है, जहाँ पूर्ववर्ती ऊर्ध्वाधर स्पर्श रेखा के लिए स्पर्श रेखा का ढलान अपरिभाषित हो जाता है।
दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा
दीर्घवृत्त एक शंकु परिखंड होता है जिसमें दो समरूपता अक्ष होते हैं: एक दीर्घ (लंबा) अक्ष और एक लघु (छोटा) अक्ष। दीर्घवृत्त से संबंधित कुछ समस्याओं के उदाहरण यहाँ दिए गए हैं।
उदाहरण प्रश्न 2
एक दीर्घवृत्त दिया गया है जिसका समीकरण \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) है। दीर्घवृत्त पर बिंदु \((2, \frac{3}{2})\) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
दीर्घवृत्त \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) के बिंदु \((x_1, y_1)\) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
\[ \frac{xx_1}{a^2} + \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
\(a = 4\) और \(b = 3\) के साथ, \(a\), \(b\) और बिंदु \((2, \frac{3}{2})\) के मान प्रतिस्थापित करें:
\[ \frac{x(2)}{4^2} + \frac{y(\frac{3}{2})}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{2x}{16} + \frac{3y}{6} = 1 \]
\[ \frac{x}{8} + \frac{y}{2} = 1 \]
समीकरण के सभी अंशों को हटाने के लिए, पूरे समीकरण को 8 से गुणा करें:
[ x + 4y = 8 \]
अतः, दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण \( x + 4y = 8 \) है।
परवलय की स्पर्श रेखा
परवलय एक शंकु परिखंड होता है जिसमें एक समरूपता अक्ष और एक शीर्ष होता है। परवलय से संबंधित कुछ समस्याओं के उदाहरण यहां दिए गए हैं।
उदाहरण प्रश्न 3
एक परवलय दिया गया है जिसका समीकरण \( y^2 = 4x \) है। परवलय पर बिंदु \((1, 2)\) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
बिंदु (x_1, y_1) पर परवलय (y^2 = 4ax) की स्पर्श रेखा का समीकरण है:
[ yy_1 = 2a(x + x_1) \]
परवलय समीकरण \( y^2 = 4x \) से, हमें \( 4a = 4 \) प्राप्त होता है, जिससे \( a = 1 \) होता है। \( a \) और बिंदु \((1, 2)\) का मान प्रतिस्थापित करें:
[ 2y = 2(1)(x + 1) \]
[ 2y = 2x + 2 \]
[ y = x + 1 \]
अतः, परवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण \( y = x + 1 \) है।
अतिपरवलय की स्पर्श रेखा
अतिपरवलय एक शांकव खंड होता है जिसकी दो शाखाएँ और दो अनंतस्पर्शी रेखाएँ होती हैं। अतिपरवलय से संबंधित कुछ समस्याओं के उदाहरण यहाँ दिए गए हैं।
उदाहरण प्रश्न 4
एक अतिपरवलय दिया गया है जिसका समीकरण \( \frac{x^2}{25} – \frac{y^2}{16} = 1 \) है। अतिपरवलय पर बिंदु \((5, 0)\) पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।
विचार-विमर्श
अतिपरवलय \(\frac{x^2}{a^2} – \frac{y^2}{b^2} = 1\) के बिंदु \((x_1, y_1)\) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है:
\[ \frac{xx_1}{a^2} – \frac{yy_1}{b^2} = 1 \]
यदि \( a = 5 \) और \( b = 4 \) हो, तो \( a \), \( b \) और बिंदु \((5, 0)\) के मान प्रतिस्थापित करें:
\[ \frac{x(5)}{25} – \frac{y(0)}{16} = 1 \]
[ 5x 25 – 0 = 1 ]
\[ \frac{x}{5} = 1 \]
[ x = 5 ]
अतः, अतिपरवलय की स्पर्श रेखा का समीकरण \( x = 5 \) है।
निष्कर्ष
शांकव खंडों की स्पर्श रेखाएँ गणित और विभिन्न व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय जैसे विभिन्न प्रकार के शांकव खंडों की स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात करना कैलकुलस और विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक आवश्यक कौशल है। ऊपर दिए गए उदाहरणों और चर्चाओं से आशा है कि पाठक शांकव खंडों की स्पर्श रेखाओं को ज्ञात करने की अवधारणाओं और विधियों को बेहतर ढंग से समझ सकेंगे।
