इंजेक्टिव, सर्जेक्टिव और बाइजेक्टिव फंक्शन्स के उदाहरण प्रश्न और चर्चा
किसी फलन की परिभाषा और गणित में उसकी उपयोगिता अक्सर चर्चा का एक रोचक विषय होता है। इस संदर्भ में, हम अक्सर अंतर्क्रियाशील, आच्छादकशील और द्विगुणित फलनों जैसे शब्दों का सामना करते हैं। गणितीय विश्लेषण और कंप्यूटर विज्ञान, अर्थशास्त्र और भौतिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में उनके व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए इन तीन प्रकार के फलनों को समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है।
इंजेक्टिव, सर्जेक्टिव और बाइजेक्टिव फंक्शन को समझना
उदाहरण प्रश्नों और उनकी चर्चा पर विचार करने से पहले, आइए पहले तीनों कार्यों की परिभाषाओं को याद कर लें।
1. एक-से-एक फलन (इंजेक्टिव फंक्शन): एक फलन f : A → B को इंजेक्टिव कहा जाता है यदि डोमेन A में प्रत्येक a1 और a2 के लिए, यदि f(a1) = f(a2) हो, तो a1 अवश्य ही a2 के बराबर होगा। दूसरे शब्दों में, एक इंजेक्टिव फलन यह सुनिश्चित करता है कि डोमेन A के अलग-अलग तत्व कोडोमेन B के अलग-अलग तत्वों से मैप किए जाते हैं।
2. आच्छादक फलन (ऑन्टो फलन): एक फलन f : A → B आच्छादक कहलाता है यदि कोडोमेन B के प्रत्येक तत्व का डोमेन A में कम से कम एक तत्व हो जो उस पर मैप किया गया हो। इस स्थिति में, कोडोमेन B में कोई भी "रिक्त" तत्व नहीं होता है और न ही डोमेन A में कोई समकक्ष तत्व होता है।
3. द्विविशेषण फलन (एक-से-एक पत्राचार): एक फलन f : A → B द्विविशेषण कहलाता है यदि वह अंतःसूचक और आच्छादक दोनों हो। इसका अर्थ है कि डोमेन A के प्रत्येक तत्व का कोडोमेन B में एक अद्वितीय प्रतिरूप होता है, और कोडोमेन B के प्रत्येक तत्व का डोमेन A में भी एक अद्वितीय प्रतिरूप होता है।
नमूना प्रश्न और चर्चाएँ
प्रश्न 1: इंजेक्शन फ़ंक्शन
सवाल:
एक फलन f : ℝ → ℝ दिया गया है जो f(x) = 2x + 3 के रूप में परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि यह फलन एक इंजेक्टिव फलन है।
बहस:
यह सिद्ध करने के लिए कि यह फलन इंजेक्टिव है, हमें यह दिखाना होगा कि यदि f(a) = f(b) है तो a = b होगा।
मान लीजिए f(a) = f(b), तो हम कहते हैं कि:
[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
दोनों पक्षों से 3 घटाएँ:
[ 2a = 2b ]
दोनों पक्षों को 2 से भाग दें:
[ a = b \]
चूंकि हमने यह दिखाया है कि f(a) = f(b) के कारण a = b होता है, तो फलन f(x) = 2x + 3 एक इंजेक्टिव फलन है।
प्रश्न 2: आच्छादक फलन
सवाल:
एक फलन g : ℝ → ℝ दिया गया है जो g(x) = x^3 के रूप में परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि यह फलन एक विशेषण फलन है।
बहस:
यह सिद्ध करने के लिए कि यह फ़ंक्शन विशेषणात्मक है, हमें यह दिखाना होगा कि कोडोमेन ℝ में प्रत्येक तत्व y के लिए, डोमेन ℝ में कम से कम एक तत्व x मौजूद है जैसे कि g(x) = y।
मान लीजिए y ∈ ℝ। हम x ज्ञात करना चाहते हैं, जिसके लिए:
[ x^3 = y \]
( x = √3]{y} लें:
[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
चूँकि कोडोमेन ℝ में प्रत्येक y के लिए हम x पा सकते हैं जो कि \( x = \sqrt[3]{y} \) है, तो फ़ंक्शन g(x) = x^3 एक विशेषण फ़ंक्शन है।
प्रश्न 3: बाइजेक्टिव फ़ंक्शन
सवाल:
एक फलन h : ℝ → ℝ दिया गया है जो h(x) = x – 1 के रूप में परिभाषित है। सिद्ध कीजिए कि यह फलन द्विविशेषी है।
बहस:
इंजेक्शन:
यह सिद्ध करने के लिए कि h(x) इंजेक्टिव है, हमें यह दिखाना होगा कि यदि h(a) = h(b) है तो a = b होगा।
मान लीजिए h(a) = h(b):
[ a – 1 = b – 1 \]
दोनों तरफ 1 जोड़ें:
[ a = b \]
चूंकि h(a) = h(b) के कारण a = b होता है, इसलिए फलन h(x) = x – 1 एक इंजेक्टिव फलन है।
विशेषण:
यह सिद्ध करने के लिए कि h(x) विशेषणात्मक है, हमें यह दिखाना होगा कि कोडोमेन ℝ में प्रत्येक तत्व y के लिए, डोमेन ℝ में कम से कम एक तत्व x मौजूद है जैसे कि h(x) = y।
मान लीजिए y ∈ ℝ। हम x ज्ञात करना चाहते हैं, जिसके लिए:
[ x – 1 = y \]
दोनों तरफ 1 जोड़ें:
[ x = y + 1 \]
चूंकि कोडोमेन ℝ में प्रत्येक y के लिए हम एक x ऐसा पा सकते हैं कि x = y + 1, तो फ़ंक्शन h(x) = x – 1 एक विशेषण फ़ंक्शन है।
चूंकि h(x) इंजेक्टिव और सर्जेक्टिव है, इसलिए h(x) एक बाइजेक्टिव फ़ंक्शन है।
प्रश्न 4: फलन के प्रकार का निर्धारण
सवाल:
एक फलन f : ℕ → ℕ दिया गया है जो f(x) = 2x के रूप में परिभाषित है। निर्धारित कीजिए कि f एक इंजेक्टिव, सर्जेक्टिव या बाइजेक्टिव फलन है या नहीं।
बहस:
इंजेक्शन:
यह सिद्ध करने के लिए कि यह फलन इंजेक्टिव है, हमें यह दिखाना होगा कि यदि f(a) = f(b) है तो a = b होगा।
मान लीजिए f(a) = f(b):
[ 2a = 2b ]
दोनों पक्षों को 2 से भाग दें:
[ a = b \]
इसलिए, f(x) = 2x एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन है।
विशेषण:
यह सिद्ध करने के लिए कि यह फ़ंक्शन विशेषणात्मक है, हमें यह दिखाना होगा कि कोडोमेन ℕ में प्रत्येक तत्व y के लिए, डोमेन ℕ में कम से कम एक तत्व x मौजूद है जैसे कि f(x) = y।
लेकिन ध्यान दें कि कोडोमेन ℕ (प्राकृतिक संख्याएँ) है, जबकि f(x) = 2x से केवल सम संख्याएँ प्राप्त होती हैं। मान लीजिए y एक विषम संख्या है, तो ℕ में ऐसा कोई x नहीं है जिसके लिए 2x = y हो।
इसलिए, f(x) = 2x एक विशेषण फलन नहीं है।
चूंकि f(x) एक विशेषण नहीं है, इसलिए f(x) एक द्विविशेषण भी नहीं है।
ऊपर दिए गए विभिन्न उदाहरणों के आधार पर, हम विभिन्न फलन परिभाषाओं से फलनों के प्रकारों (इंजेक्टिव, सर्जेक्टिव, बाइजेक्टिव) को सिद्ध करने और पहचानने का तरीका देख सकते हैं। गणित के कई पहलुओं और इसके वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों में इन फलनों को समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है।
