द्विपद वितरण फलन पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

द्विपद वितरण फलन पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

द्विपद वितरण एक असतत प्रायिकता वितरण है जो किसी प्रयोग में प्राप्त सफलताओं की संख्या का वर्णन करता है। इस प्रयोग में कई स्वतंत्र परीक्षण होते हैं जिनके दो संभावित परिणाम होते हैं: सफलता और विफलता। प्रत्येक परीक्षण को एक परीक्षण कहा जाता है, और द्विपद वितरण का उपयोग अक्सर उन स्थितियों में किया जाता है जहाँ कई स्वतंत्र परीक्षणों में प्राप्त सफलताओं की संख्या महत्वपूर्ण होती है। इस लेख में, हम द्विपद वितरण की मूलभूत अवधारणाओं पर चर्चा करेंगे और उदाहरण एवं समाधान प्रस्तुत करेंगे।

द्विपद वितरण फलन की मूलभूत अवधारणाएँ

उदाहरण प्रश्नों और चर्चा में जाने से पहले, आइए द्विपद वितरण से संबंधित कुछ बुनियादी अवधारणाओं पर चर्चा करें।

1. परिभाषा: द्विपद वितरण को 'n' स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ प्रत्येक परीक्षण के दो संभावित परिणाम होते हैं: सफलता (प्रायिकता p के साथ) या विफलता (प्रायिकता q = 1 – p के साथ)।

2. प्रायिकता फलन: द्विपद वितरण का प्रायिकता फलन इस प्रकार है:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
कहाँ:
– \( P(X = k) \) n परीक्षणों में k सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता है।
– \( \binom{n}{k} \) n और k का संयोजन है, जिसे \( \frac{n!}{k!(nk)!} \) के रूप में परिभाषित किया गया है।
– \( p \) प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता है।
– \( (1-p) \) प्रत्येक परीक्षण पर विफलता की संभावना है।

3. अपेक्षित मान और विचरण:
– द्विपद वितरण का अपेक्षित मान (माध्य) \( \mu = np \) है।
– द्विपद वितरण का विचरण \( \sigma^2 = np(1-p) \) है।

अब, इन अवधारणाओं को एक उदाहरण समस्या में लागू करके गहन समझ प्रदान करते हैं।

उदाहरण प्रश्न 1: द्विपद वितरण की बुनियादी गणनाएँ

सवाल :
एक कंपनी इलेक्ट्रॉनिक पुर्जों का उत्पादन करती है, जिसमें प्रत्येक पुर्जे के गुणवत्ता परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.95 है। यदि 10 पुर्जे उत्पादित किए जाते हैं, तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि ठीक 8 पुर्जे गुणवत्ता परीक्षण में उत्तीर्ण हों।

बहस :
हम इस समस्या को हल करने के लिए द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग कर सकते हैं। सबसे पहले, हम निम्नलिखित मापदंडों की पहचान करते हैं:
– (n) (परीक्षणों की कुल संख्या) = 10
– (k) (सफलताओं की संख्या) = 8
– (p) (सफलता की प्रायिकता) = 0.95
– (q) (विफलता की प्रायिकता) = 1 – 0.95 = 0.05

फिर इन मानों को द्विपद वितरण सूत्र में प्रतिस्थापित करें:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]

सबसे पहले, संयोजन \( \binom{10}{8} \) की गणना करें:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]

फिर, प्रायिकताएँ \( (0.95)^8 \) और \( (0.05)^2 \) की गणना कीजिए:
\[
(0.95)^8 ≈ 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]

अंत में, इन सभी मानों को गुणा करने पर हमें यह प्राप्त होता है:
\[
P(X = 8) = 45 × 0.6634 × 0.0025 ≈ 0.0744
\]

इसलिए, इस बात की संभावना कि 10 में से ठीक 8 घटक गुणवत्ता परीक्षण में उत्तीर्ण होंगे, लगभग 0.0744 या 7.44% है।

उदाहरण प्रश्न 2: संचयी प्रायिकता

सवाल :
उसी कंपनी के साथ, इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि 10 में से कम से कम 9 घटक गुणवत्ता परीक्षण में उत्तीर्ण हों।

बहस :
इस समस्या को हल करने के लिए, हमें संचयी प्रायिकता की गणना करनी होगी। 10 घटकों में से कम से कम 9 के परीक्षण में उत्तीर्ण होने की प्रायिकता की गणना हम \( P(X \geq 9) \) से करते हैं, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
\[
पी(एक्स \geq 9) = पी(एक्स = 9) + पी(एक्स = 10)
\]

द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हुए:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]

सबसे पहले, प्रत्येक मामले के लिए संयोजन की गणना करें:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]

फिर, \( P(X = 9) \) और \( P(X = 10) \) के लिए प्रायिकताएँ ज्ञात कीजिए:
\[
P(X = 9) = 10 \times (0.95)^9 \times 0.05
\]
\[
(0.95)^9 ≈ 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 × 0.6302 × 0.05 ≈ 0.3151
\]

\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} ≈ 0.5987
\]
\[
पी(एक्स = 10) = 0.5987
\]

P(X ≥ 9) के लिए कुल प्रायिकता:
\[
P(X ≥ 9) = 0.3151 + 0.5987 ≈ 0.9138
\]

इसलिए, इस बात की संभावना कि 10 में से कम से कम 9 घटक गुणवत्ता परीक्षण में उत्तीर्ण होंगे, लगभग 0.9138 या 91.38% है।

उदाहरण प्रश्न 3: अपेक्षित मान और विचरण

सवाल :
उत्पादित 10 घटकों में से गुणवत्ता परीक्षण में उत्तीर्ण होने वाले घटकों की संख्या का अपेक्षित मान और विचरण ज्ञात कीजिए, जहाँ उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.95 है।

बहस :
निम्नलिखित सूत्र का प्रयोग करें:
– अपेक्षित मान (माध्य) \( \mu = np \)
– विचरण \( \sigma^2 = np(1-p) \)

जहां n = 10 और p = 0.95 है:
\[
μ = 10 × 0.95 = 9.5
\]
\[
σ² = 10 × 0.95 × 0.05 = 0.475
\]

अतः, गुणवत्ता परीक्षण उत्तीर्ण करने वाले घटकों की संख्या का अपेक्षित मान 9.5 है, और विचरण 0.475 है।

निष्कर्ष

ऊपर दिए गए तीन उदाहरणों के माध्यम से हमने विभिन्न स्थितियों में द्विपद वितरण का उपयोग करके प्रायिकता की गणना करने का तरीका समझा है: सटीक प्रायिकता, संचयी प्रायिकता और अपेक्षित मान एवं प्रसरण की गणना। द्विपद वितरण का ज्ञान विनिर्माण, चिकित्सा अनुसंधान और सामाजिक सांख्यिकी जैसे विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी है, जहाँ दो संभावित परिणामों वाले दोहराए गए प्रयोगों के परिणामों का विश्लेषण निर्णय लेने में सहायक होता है। आशा है कि दिए गए उदाहरण और चर्चाएँ द्विपद वितरण की आपकी समझ को और बेहतर बनाने में सहायक होंगी।