डोमेन, कोडोमेन और रेंज पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

डोमेन, कोडोमेन और रेंज पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न

गणित, विशेषकर फलनों में, डोमेन, कोडोमेन और रेंज की अवधारणाओं को समझना इस क्षेत्र का अध्ययन करने वाले किसी भी छात्र के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। ये अवधारणाएँ शुद्ध गणित, सांख्यिकी और कंप्यूटर विज्ञान सहित गणित की विभिन्न शाखाओं के लिए मूलभूत हैं। यह लेख डोमेन, कोडोमेन और रेंज से संबंधित उदाहरणों और उनकी विस्तृत व्याख्याओं पर चर्चा करेगा।

बुनियादी अवधारणाओं

डोमेन
डोमेन किसी फ़ंक्शन द्वारा स्वीकार किए जा सकने वाले सभी इनपुट मानों (x) का समूह है। सरल शब्दों में, डोमेन वे सभी संभावित मान हैं जिन्हें हम फ़ंक्शन में डाल सकते हैं।

कोडोमेन
कोडोमेन किसी फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न सभी संभावित (लेकिन अनिवार्य रूप से नहीं) आउटपुट मानों का समूह है। कोडोमेन रेंज से भिन्न हो सकता है, लेकिन कम से कम रेंज को कवर करना अनिवार्य है।

रेंज
रेंज, किसी फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न सभी वास्तविक आउटपुट मानों (y) का समूह है, जिसमें सभी दर्ज किए गए डोमेन मान शामिल होते हैं।

Contoh Soal dan Pembahasan

प्रश्न 1
एक फलन f(x) = 2x + 3 दिया गया है। यदि फलन का डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, तो फलन का डोमेन, कोडोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।

बहस:
– डोमेन: यह देखते हुए कि डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, तो \( \text{डोमेन} = \mathbb{R} \).

– कोडोमेन: किसी फ़ंक्शन का कोडोमेन आम तौर पर एक वास्तविक संख्या भी माना जा सकता है, अर्थात् \( \text{Codomain} = \mathbb{R} \).

– रेंज: रेंज ज्ञात करने के लिए, हमें यह समझना होगा कि फ़ंक्शन कैसे काम करता है। फ़ंक्शन \( f(x) = 2x + 3 \) एक रैखिक फ़ंक्शन है जो वास्तविक संख्याओं की संपूर्ण रेंज को कवर करता है, क्योंकि \( x \in \mathbb{R} \) के प्रत्येक मान के लिए, \( f(x) \) भी एक वास्तविक संख्या है और \(\mathbb{R}\) में सभी मानों को कवर करता है। इसलिए, \( \text{रेंज} = \mathbb{R} \)।

प्रश्न 2
दिए गए फलन g(x) = sqrt(x – 1) के डोमेन, कोडोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।

बहस:
– डोमेन: फलन g(x) में वर्गमूल शामिल हैं, जो केवल करणी के अंतर्गत गैर-ऋणात्मक मानों के लिए मान्य हैं। अतः, \( x – 1 \geq 0 \) के लिए, \( x \geq 1 \) होगा। इसलिए, \( \text{डोमेन} = [1, \infty) \)।

– कोडोमेन: इस फ़ंक्शन का कोडोमेन आमतौर पर एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या माना जाता है क्योंकि वर्गमूल हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए, \(\text{Codomain} = [0, \infty)\).

– रेंज: रेंज के लिए, हम फ़ंक्शन द्वारा लौटाए गए वास्तविक मानों को देखते हैं। यदि \( x \geq 1 \), तो \( g(x) = \sqrt{x – 1} \geq 0 \)। \( x \) कितना भी बड़ा क्यों न हो, \( \sqrt{x – 1} \) का परिणाम हमेशा \([0, \infty)\) रेंज में होगा। इसलिए, \(\text{रेंज} = [0, \infty)\)।

प्रश्न 3
दिए गए फलन h(x) = 1/x के लिए, इस फलन का डोमेन, कोडोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।

बहस:
– डोमेन: फलन \( h(x) = \frac{1}{x} \) अपरिभाषित है जब \( x = 0 \) क्योंकि इससे शून्य से भाग हो जाएगा। अतः \( \text{डोमेन} = \mathbb{R} – \{0\} \) या \( \text{डोमेन} = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) \).

– कोडोमेन: हम आम तौर पर कोडोमेन को सभी वास्तविक संख्याएँ मान सकते हैं, भले ही मान \( x = 0 \) को डोमेन से बाहर रखा गया हो, कोडोमेन अभी भी \( \mathbb{R} \) हो सकता है।

– रेंज: रेंज के लिए, हम डोमेन में \( x \) के सभी मानों पर \( h(x) \) के परिणाम को देखते हैं। \( 1/x \) का मान कभी भी शून्य नहीं होता है, लेकिन इसमें शून्य को छोड़कर सभी ऋणात्मक और धनात्मक वास्तविक संख्याएँ शामिल हो सकती हैं। इसलिए \(\text{रेंज} = \mathbb{R} – \{0\}\).

प्रश्न 4
दिए गए फलन k(x) = x^2 – 4 के लिए, फलन का डोमेन, कोडोमेन और रेंज ज्ञात कीजिए।

बहस:
– डोमेन: चूंकि फ़ंक्शन \( k(x) \) एक द्वितीय-डिग्री बहुपद है, इसलिए इसका डोमेन सभी वास्तविक संख्याएँ हैं, \( \text{डोमेन} = \mathbb{R} \)।

– कोडोमेन: बहुपद फलनों के लिए, हम कोडोमेन को वास्तविक संख्याएँ मान सकते हैं, \( \text{Codomain} = \mathbb{R} \).

– रेंज: द्विघात फलन का विश्लेषण परवलय \( y = x^2 – 4 \) से किया जा सकता है। यह परवलय ऊपर की ओर खुलता है और इसका न्यूनतम बिंदु \( y = -4 \) पर है। अतः, इस फलन का न्यूनतम मान -4 है, और उसके बाद यह -4 से अधिक किसी भी मान तक पहुँच सकता है। अतः, \(\text{रेंज} = [-4, \infty) \)।

ये डोमेन, कोडोमेन और रेंज से संबंधित कुछ उदाहरण प्रश्न और चर्चाएँ हैं। इन तीनों अवधारणाओं को समझने से न केवल समस्याओं को हल करने में मदद मिलती है, बल्कि यह भी पता चलता है कि एक फ़ंक्शन व्यापक गणितीय संदर्भ में कैसे व्यवहार करता है। नियमित अभ्यास से डोमेन, कोडोमेन और रेंज की आपकी समझ और भी मजबूत और पुख्ता हो जाएगी।