द्विपद वितरण पर चर्चा के लिए एक प्रश्न का उदाहरण

द्विपद वितरण के उदाहरण प्रश्न और चर्चा

द्विपद वितरण सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले असतत प्रायिकता वितरणों में से एक है। यह कई समान, स्वतंत्र परीक्षणों में सफलताओं की संख्या को मॉडल करने के लिए उपयोगी है, जिनमें से प्रत्येक में या तो सफलता या विफलता प्राप्त होती है। इस लेख में, हम कई उदाहरणों और विस्तृत चर्चा के माध्यम से द्विपद वितरण का गहन अध्ययन करेंगे।

द्विपद वितरण का परिचय

द्विपद वितरण की मुख्य विशेषताएं:

1. n : परीक्षणों या पुनरावृत्तियों की संख्या।
2. p : प्रत्येक परीक्षण में सफलता की संभावना।
3. q = 1-p : प्रत्येक परीक्षण में विफलता की प्रायिकता।

द्विपद वितरण का प्रायिकता द्रव्यमान फलन इस प्रकार है:

[ P(X = k) = {n \choose k} p^k (1-p)^{nk} \]

कहाँ:

– \( {n \choose k} = \frac{n!}{k!(nk)!} \)
– \( X \): सफलताओं की संख्या को दर्शाने वाला एक यादृच्छिक चर।
– \( k \): वांछित सफलताओं की संख्या।

Contoh Soal dan Pembahasan

आइए द्विपद वितरण की अवधारणा को और अधिक विस्तार से समझने के लिए कुछ उदाहरण समस्याओं से शुरुआत करें।

उदाहरण 1: छात्रों के समूह में से चयन करना

उदाहरण के लिए, मान लीजिए हमारे पास 10 छात्रों का एक समूह है, और प्रत्येक छात्र के किसी प्रतियोगिता में भाग लेने के लिए चुने जाने की प्रायिकता 0,3 है। हम यह जानना चाहते हैं कि ठीक 4 छात्रों के चुने जाने की प्रायिकता क्या है।

चरण 1: द्विपद वितरण के मापदंडों की पहचान करें।
– ( n = 10 \)
– ( p = 0.3 \)

चरण 2: द्विपद वितरण का उपयोग करके \( X = 4 \) की प्रायिकता की गणना करें।

[ P(X = 4) = {10 \choose 4} (0.3)^4 (0.7)^6 \]

गणना करना ( {10 \choose 4} \):

[ {10 \choose 4} = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = 210 \]

अब \( (0.3)^4 \) और \( (0.7)^6 \) की गणना करें:

[ (0.3)^4 = 0.0081 \]
[ (0.7)^6 = 0.117649 \]

इस प्रकार,

[ P(X = 4) = 210 ⋅ 0.0081 ⋅ 0.117649 → 0.20012 ]

अतः, ठीक 4 छात्रों के चुने जाने की संभावना लगभग 0.20012 या 20.012% है।

उदाहरण 2: प्रायिकता 2 के बराबर या उससे कम

अब, उदाहरण के लिए, हमसे इस बात की प्रायिकता पूछी जाती है कि 2 या उससे कम छात्रों का चयन किया जाएगा।

चरण 1: हमें \( P(X = 0) \), \( P(X = 1) \), और \( P(X = 2) \) की गणना करनी होगी।

– \( P(X = 0) \) के लिए:

[ P(X = 0) = {10 \choose 0} (0.3)^0 (0.7)^{10} \]
[ {10 \choose 0} = 1 \]
[ (0.7)^{10} = 0.0282475 \]
[ P(X = 0) = 1 ⋅ 1 ⋅ 0.0282475 = 0.0282475 \]

– \( P(X = 1) \) के लिए:

[ P(X = 1) = {10 \choose 1} (0.3)^1 (0.7)^9 \]
[ {10 \choose 1} = 10 \]
[ (0.3) ⋅ (0.7)^9 = 0.1210608 ]
[ P(X = 1) = 10 ⋅ 0.3 ⋅ 0.1210608 = 0.3631824 \]

– \( P(X = 2) \) के लिए:

[ P(X = 2) = {10 \choose 2} (0.3)^2 (0.7)^8 \]
[ {10 \choose 2} = 45 \]
[ (0.3)^2 \cdot (0.7)^8 = 0.2334744 \]
[ P(X = 2) = 45 ⋅ 0.09 ⋅ 0.2334744 = 0.2334744 \]

चरण 2: संभावनाओं को जोड़ें।

[ P(X ≤ 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) \]
[ P(X ≤ 2) = 0.0282475 + 0.3631824 + 0.3826372 = 0.7740671 \]

अतः, 2 या उससे कम छात्रों के चुने जाने की संभावना लगभग 0.7740671 या 77.41% है।

उदाहरण 3: कम से कम 8 की प्रायिकता

यदि कोई प्रयोग 12 बार किया जाता है, और प्रत्येक परीक्षण में सफलता की प्रायिकता 0.5 है, तो कम से कम 8 बार सफलता मिलने की प्रायिकता क्या है?

चरण 1: द्विपद पैरामीटर सेट करें: \( n = 12, p = 0.5 \).

चरण 2: \( X \geq 8 \) के लिए प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

इसके लिए कई अलग-अलग संभावनाओं की गणना करके उन्हें जोड़ना आवश्यक है:

\[ P(X \geq 8) = P(X = 8) + P(X = 9) + P(X = 10) + P(X = 11) + P(X = 12) \]

एक-एक करके गिनें:

– \( P(X = 8) \) के लिए:

[ P(X = 8) = {12 \choose 8} (0.5)^8 (0.5)^4 \]
[ {12 \choose 8} = 495 \]
[ (0.5)^{12} = 0.0002441406 \]
[ P(X = 8) = 495 \cdot 0.0002441406 = 0.1208496 \]

– \( P(X = 9) \) के लिए:

[ P(X = 9) = {12 \choose 9} (0.5)^9 (0.5)^3 \]
[ {12 \choose 9} = 220 \]
[ P(X = 9) = 220 \cdot 0.0002441406 = 0.05371094 \]

– \( P(X = 10) \) के लिए:

[ P(X = 10) = {12 \choose 10} (0.5)^{10} (0.5)^2 \]
[ {12 \choose 10} = 66 \]
[ P(X = 10) = 66 \cdot 0.0002441406 = 0.01611328 \]

– \( P(X = 11) \) के लिए:

[ P(X = 11) = {12 \choose 11} (0.5)^{11} (0.5)^1 \]
[ {12 \choose 11} = 12 \]
[ P(X = 11) = 12 \cdot 0.0002441406 = 0.002929688 \]

– \( P(X = 12) \) के लिए:

[ P(X = 12) = {12 \choose 12} (0.5)^{12} \]
[ {12 \choose 12} = 1 \]
[ P(X = 12) = 1 \cdot 0.0002441406 = 0.0002441406 \]

चरण 3: सभी संभावनाओं को जोड़ें।

[ P(X ≥ 8) = 0.1208496 + 0.05371094 + 0.01611328 + 0.002929688 + 0.0002441406 ≈ 0.1938477 \]

अतः, 12 प्रयासों में कम से कम 8 सफलताएँ प्राप्त होने की संभावना लगभग 0.1938477 या 19.38% है।

निष्कर्ष

द्विपद वितरण सांख्यिकी की एक मूलभूत अवधारणा है जो कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। ऊपर दिए गए उदाहरणों में दिखाए गए अनुसार, द्विपद वितरण के विभिन्न मामलों के लिए प्रायिकता की गणना करना समझकर, हम इस अवधारणा को वास्तविक जीवन की स्थितियों में लागू कर सकते हैं। यह अभ्यास प्रायिकता संरचनाओं की कार्यप्रणाली को स्पष्ट और व्यवस्थित रूप से समझने में भी हमारी सहायता करता है।