परस्पर अनन्य न होने वाली दो घटनाओं A और B के योग के नियम पर चर्चा करने वाले उदाहरण प्रश्न
पेंडाहुलुआन
प्रायिकता में, बुनियादी अवधारणाओं और उनके अनुप्रयोगों को समझना अत्यंत महत्वपूर्ण है। एक अवधारणा जो अक्सर सामने आती है, वह है प्रायिकता योग का नियम। इस लेख में, हम दो गैर-अनन्य घटनाओं के लिए योग के नियम का गहन अध्ययन करेंगे। गैर-अनन्य घटनाएँ तब होती हैं जब दो घटनाओं में एक समान संभावित तत्व होता है, या दूसरे शब्दों में, दोनों घटनाएँ एक साथ घटित हो सकती हैं। समझने में आसानी के लिए, आइए एक उदाहरण प्रश्न और उसकी व्याख्या देखें।
बुनियादी सिद्धांत
यदि हमारे पास दो घटनाएँ A और B हैं जो परस्पर अनन्य नहीं हैं, तो घटना A या B की प्रायिकता की गणना के लिए योग नियम को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) – P(A − B) ]
यहाँ:
– \( P(A \cup B) \) वह प्रायिकता है कि A या B (या दोनों) घटित हों।
– \( P(A) \) घटना A के घटित होने की प्रायिकता है।
– \( P(B) \) घटना B के घटित होने की प्रायिकता है।
– \( P(A \cap B) \) वह प्रायिकता है कि A और B एक साथ घटित हों।
समस्याओं का उदाहरण
प्रश्न 1: एक विद्यालय में, 70% छात्र फ़ुटबॉल खेलना पसंद करते हैं (घटना A), 40% छात्र बास्केटबॉल खेलना पसंद करते हैं (घटना B), और 20% छात्र दोनों खेल खेलना पसंद करते हैं। किसी छात्र के फ़ुटबॉल या बास्केटबॉल में से कोई एक खेल पसंद करने की प्रायिकता क्या है?
बहस:
यह ज्ञात है:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
दो परस्पर अनन्य घटनाओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हुए:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) – P(A − B) ]
[ P(A → B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 ]
[ P(A \cup B) = 0.90 \]
इसलिए, किसी छात्र को फुटबॉल या बास्केटबॉल खेलना पसंद होने की संभावना 0.90 या 90% है।
प्रश्न 2: एक सर्वेक्षण में, 35% उत्तरदाताओं को कॉफ़ी पसंद है (घटना A), 50% उत्तरदाताओं को चाय पसंद है (घटना B), और 10% उत्तरदाताओं को दोनों पसंद हैं। किसी उत्तरदाता को कॉफ़ी या चाय पसंद होने की प्रायिकता क्या है?
बहस:
यह ज्ञात है:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
दो परस्पर अनन्य घटनाओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हुए:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) – P(A − B) ]
[ P(A → B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 ]
[ P(A \cup B) = 0.75 \]
इसलिए, इस बात की संभावना कि किसी उत्तरदाता को कॉफी या चाय पसंद है, 0.75 या 75% है।
प्रश्न 3: सांख्यिकीय आंकड़ों से यह ज्ञात है कि 60% लोग किताबें पढ़ना पसंद करते हैं (घटना A), 30% लोग फिल्में देखना पसंद करते हैं (घटना B), और 15% लोग दोनों करना पसंद करते हैं। किसी व्यक्ति के किताबें पढ़ना या फिल्में देखना पसंद करने की प्रायिकता क्या है?
बहस:
यह ज्ञात है:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
दो परस्पर अनन्य घटनाओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हुए:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) – P(A − B) ]
[ P(A → B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 ]
[ P(A \cup B) = 0.75 \]
इसलिए, किसी व्यक्ति को किताबें पढ़ना या फिल्में देखना पसंद होने की संभावना 0.75 या 75% है।
प्रश्न 4: एक रेस्तरां में किए गए सर्वेक्षण के अनुसार, 55% ग्राहकों ने पिज्जा (घटना A) का ऑर्डर दिया, 35% ग्राहकों ने पास्ता (घटना B) का ऑर्डर दिया, और 20% ग्राहकों ने दोनों का ऑर्डर दिया। किसी ग्राहक द्वारा पिज्जा या पास्ता में से किसी एक का ऑर्डर देने की प्रायिकता क्या है?
बहस:
यह ज्ञात है:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
दो परस्पर अनन्य घटनाओं को जोड़ने के नियम का उपयोग करते हुए:
[ P(A − B) = P(A) + P(B) – P(A − B) ]
[ P(A → B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 ]
[ P(A \cup B) = 0.70 \]
इसलिए, किसी ग्राहक द्वारा पिज्जा या पास्ता ऑर्डर करने की संभावना 0.70 या 70% है।
निष्कर्ष
प्रायिकता के अध्ययन में, दो अविभाज्य घटनाओं A और B के योग का नियम एक साथ घटित होने की प्रायिकता निर्धारित करने के लिए अत्यंत महत्वपूर्ण है। सूत्र \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) का उपयोग करके, दो ऐसी घटनाओं की संयुक्त प्रायिकता की गणना करना आसान हो जाता है जिनमें एक प्रतिच्छेदन या उभयनिष्ठ तत्व हो।
ऊपर दिए गए उदाहरणों से हम देख सकते हैं कि इस गणना के बुनियादी चरणों को समझने से हम इसे शिक्षा, सर्वेक्षण या रोजमर्रा की जिंदगी जैसी विभिन्न स्थितियों में लागू कर सकते हैं। यह स्पष्ट और सटीक रूप से पहचानना कि किन घटनाओं में समानताएं हैं, प्रायिकता की सही गणना के लिए महत्वपूर्ण है। इसलिए, निरंतर अभ्यास और बुनियादी अवधारणाओं की समझ इस विषय में महारत हासिल करने में बहुत सहायक होगी।
