महत्वपूर्ण अंक नियम

महत्वपूर्ण अंकों के नियमों के बारे में लेख

सार्थक अंक वे संख्याएँ हैं जो मापों के माध्यम से प्राप्त की जाती हैं जिनमें निश्चित सार्थक अंक (मापने के उपकरण पर पढ़े गए) और एक अंतिम अनुमानित अंक शामिल होते हैं।

मान लीजिए कि हम किसी वस्तु की लंबाई एक रूलर (1 मिमी या 0,1 सेमी) से मापते हैं और परिणाम को 3 सार्थक अंकों में लिखते हैं, उदाहरण के लिए 4,55 सेमी। यदि वस्तु की लंबाई एक वर्नियर कैलिपर (0,1 मिमी या 0,01 सेमी) से मापी जाती है और परिणाम को 4 सार्थक अंकों में लिखा जाता है, उदाहरण के लिए 4,485 सेमी, और यदि एक माइक्रोमीटर स्क्रू गेज (0,01 मिमी या 0,001 सेमी) से मापी जाती है और परिणाम को 5 सार्थक अंकों में लिखा जाता है, उदाहरण के लिए 3,4845 सेमी। इससे पता चलता है कि माप के परिणाम में लिखे गए सार्थक अंकों की संख्या माप की सटीकता को दर्शाती है। जितने अधिक सार्थक अंक लिखे जा सकते हैं, माप उतना ही अधिक सटीक होता है। बेशक, किसी वस्तु की लंबाई को माइक्रोमीटर स्क्रू गेज से मापना वर्नियर कैलिपर और रूलर से मापने की तुलना में अधिक सटीक होता है।

स्केल से प्राप्त माप का परिणाम 2 सार्थक अंकों वाली संख्या में व्यक्त किया जाता है: 4,55 सेमी। पहली दो संख्याएँ, अर्थात् 4 और 5, सटीक संख्याएँ हैं क्योंकि इन्हें स्केल पर पढ़ा जा सकता है, जबकि अंतिम संख्या, अर्थात् 5, एक अनुमानित संख्या है क्योंकि इसे स्केल पर पढ़ा नहीं जा सकता, बल्कि केवल अनुमानित किया जा सकता है।

1. सभी गैर-शून्य अंक सार्थक अंक हैं।
2. दो गैर-शून्य अंकों के बीच का शून्य एक महत्वपूर्ण अंक होता है। उदाहरण: 1208 इसमें चार महत्वपूर्ण अंक हैं। 2,0067 इसमें पांच महत्वपूर्ण अंक हैं।
3. दशमलव स्थानों के रूप में उपयोग किए जाने वाले शून्य सार्थक अंक नहीं होते हैं। उदाहरण: 0,0024 इसमें दो महत्वपूर्ण अंक हैं, अर्थात् 2 और 4।
4. दशमलव बिंदु के बाद लिखी गई संख्याओं की अंतिम पंक्ति में स्थित सभी शून्य सार्थक अंक होते हैं। उदाहरण 1 : 0,003200 इसमें चार सार्थक अंक हैं, अर्थात् 3, 2 और संख्या 32 के बाद दो शून्य। उदाहरण 2 : 0,005070 इसमें चार महत्वपूर्ण अंक हैं, अर्थात् 5, 0, 7, 0उदाहरण 3 :  20,0 इसमें दो महत्वपूर्ण अंक हैं, अर्थात् 2 और 0।
5. क्रमवाचक संख्या से पहले की सभी संख्याएँ (वैज्ञानिक संकेतन में) सार्थक अंक होती हैं। उदाहरण: 3,2 x 10⁵ इसमें दो महत्वपूर्ण अंक हैं, अर्थात् 3 और 2। 4,50 x 10³ इसमें तीन महत्वपूर्ण अंक हैं, अर्थात् 4, 5 और 0।

महत्वपूर्ण अंकों के गुणन और भाग के नियम

गुणा या भाग के परिणाम में उतने ही अंक होने चाहिए जितने कि गुणा या भाग में प्रयुक्त सबसे कम सार्थक अंकों वाली संख्या में हों।

महत्वपूर्ण अंकों के गुणन के उदाहरण

उदाहरण 1: 3,4 x 6,7 = … ?

सबसे कम सार्थक अंक दो हैं (3,4 और 6,7 में दो सार्थक अंक हैं)। परिणाम 22,78 है। इस परिणाम को 23 (दो सार्थक अंक) तक पूर्णांकित करना होगा। 3,4 x 6,7 = 23

उदाहरण 2: 2,5 x 3,2 = … ?

सार्थक अंकों की न्यूनतम संख्या दो है (2,5 और 3,2 में दो सार्थक अंक हैं)। यदि हम कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना करें, तो परिणाम 8 आता है। हमें एक शून्य जोड़ना होगा। 2,5 x 3,2 = 8,0 (दो सार्थक अंक)

उदाहरण 3: 1,0 x 2,0 = 2,0 (दो सार्थक अंक), 2 नहीं।

महत्वपूर्ण अंक विभाजन का उदाहरण:

उदाहरण 1 : 2,0 : 3,0 = …. ?

सार्थक अंकों की न्यूनतम संख्या दो है। यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करते हैं, तो परिणाम 0,666666… होता है, जिसे केवल दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करना होगा: 2,0 : 3,0 = 0.67 ( दो सार्थक अंक, अर्थात् 6 और 7)।

उदाहरण 2 : 2,1 : 3,0 = …. ?

सार्थक अंकों की न्यूनतम संख्या दो है। कैलकुलेटर का उपयोग करने पर परिणाम 0,7 आता है। दो सार्थक अंक सुनिश्चित करने के लिए एक शून्य जोड़ना आवश्यक है। 2,1 : 3,0 = 0.70 ( दो सार्थक अंक: 7 और 0)।

महत्वपूर्ण अंकों के जोड़ और घटाव के नियम

जोड़ या घटाव में, परिणाम सबसे कम सटीक संख्या से अधिक सटीक नहीं होना चाहिए।

उदाहरण 1: 3,7 – 0,57 = …?

3,7 सबसे कम सटीक मान है। कैलकुलेटर का उपयोग करने पर परिणाम 3,13 आता है। यह परिणाम 3,7 से अधिक सटीक है, इसलिए इसे 3,1 तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए। 3,7 – 0,57 = 3,1

उदाहरण 2: 10,24 + 32,451 = …… ?

10,24 सबसे कम सटीक है। कैलकुलेटर का उपयोग करने पर परिणाम 42,691 आता है। यह परिणाम 10,24 से अधिक सटीक है, इसलिए इसे 42,69 तक राउंड ऑफ किया जाना चाहिए। 10,24 + 32,451 = 42,69

उदाहरण 3: 10,24 + 32,457 + 2,6 = …. ?

2,6 सबसे कम सटीक है। इन्हें जोड़ने पर 45,297 प्राप्त होता है। यह परिणाम 2,6 से अधिक सटीक है, इसलिए इसे 45,3 तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए। 10,24 + 32,457 + 2,6 = 45,3

जोड़ या घटाव के परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या मायने नहीं रखती।

समस्याओं का उदाहरण

1. एक आयताकार भूखंड की लंबाई और चौड़ाई मापने पर क्रमशः 12,23 मीटर और 14,3 मीटर प्राप्त हुए। सार्थक अंकों के नियमानुसार भूखंड का क्षेत्रफल कितना होगा?
ए. 175,8890 मीटर²
बी. 175,889 मीटर²
सी. 175,89 मीटर²
डी. 175,8 मीटर²
पूर्व 175 मीटर²
विचार-विमर्श
क्षेत्रफल = 12,23 x 14,3 = 174,889 वर्ग मीटर²
गुणा में सार्थक अंकों का नियम: परिणाम में सार्थक अंकों की संख्या गुणा की जा रही संख्याओं में न्यूनतम सार्थक अंकों की संख्या के बराबर होनी चाहिए। 12,23 में 4 सार्थक अंक हैं, और 14,3 में 3 सार्थक अंक हैं। न्यूनतम सार्थक अंक 3 हैं, इसलिए परिणाम में भी 3 सार्थक अंक होने चाहिए।

174,889 में 6 सार्थक अंक हैं, इसलिए इसे केवल 3 सार्थक अंकों तक पूर्णांकित किया जाना चाहिए = 175।
सही उत्तर E है।

2. किसी वस्तु की लंबाई मापने पर परिणाम 0,08020 मीटर आता है। इस माप में सार्थक अंकों की संख्या कितनी है?
ए. एक
बी. दो
सी. तीन
डी. चार
ई. पाँच
विचार-विमर्श
सार्थक अंकों के नियमों के अनुसार, 0,08020 में सार्थक अंकों की संख्या चार (0,0) है।8020)