કાર્ય-ગતિ ઊર્જા સિદ્ધાંત
જો કોઈ પદાર્થ પર ચોખ્ખું બળ કાર્ય કરે છે, તો પદાર્થ પ્રવેગ અનુભવે છે (પદાર્થ વિસ્થાપન અનુભવે છે). જ્યારે પદાર્થ પ્રવેગ અનુભવે છે, ત્યારે પદાર્થની ગતિ બદલાય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, ચોખ્ખું બળ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય પદાર્થની પ્રારંભિક અને અંતિમ ગતિ સાથે સંબંધિત છે.
સ્થિર ચોખ્ખા બળ દ્વારા પદાર્થ પર કરવામાં આવતું કાર્ય છે:
W નેટ = ΣF s
ન્યૂટનનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે જો કોઈ પદાર્થ પર ચોખ્ખું બળ કાર્યરત હોય, તો પદાર્થ પ્રવેગ અનુભવે છે.
W નેટ = (ma)s
જો ચોખ્ખું બળ અચળ હોય, તો પદાર્થ દ્વારા અનુભવાતું પ્રવેગ પણ અચળ હોય છે. તેથી, આપણે પ્રવેગ (a) અને વિસ્થાપન (s) માટે બિન-સમાન રેખીય ગતિ સમીકરણ બદલી શકીએ છીએ.
કાર્ય સમીકરણમાં બિન-સમાન રેખીય ગતિ સમીકરણનો સમાવેશ કરો:
વર્ણન: EK t = અંતિમ ગતિ ઊર્જા, EK o = પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા, m = દળ, v t = અંતિમ ગતિ, v o = પ્રારંભિક ગતિ
આ સમીકરણ કાર્ય-ગતિ ઊર્જા પ્રમેય બનાવે છે. કાર્ય-ગતિ ઊર્જા પ્રમેય આપણને જણાવે છે કે ચોખ્ખું કાર્ય અથવા પદાર્થ પર ચોખ્ખા બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય પદાર્થની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર સમાન છે. તે આપણને એ પણ જણાવે છે કે પદાર્થની ગતિ ઊર્જા પદાર્થને સ્થિર સ્થિતિમાંથી આપેલ ગતિએ ગતિ કરવા માટે જરૂરી ચોખ્ખા કાર્ય સમાન છે, અને ઊલટું પણ.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૫: કાર્ય-ગતિ ઊર્જા પ્રમેય
૧૦૦૦ કિલો વજન ધરાવતી કાર સ્થિર સ્થિતિમાંથી ખસે છે. એક ક્ષણમાં, ગતિ ૧૦ મીટર/સેકન્ડ સુધી વધી જાય છે. કારના એન્જિન દ્વારા કેટલું કુલ કાર્ય કરવામાં આવે છે?
ઉકેલો:
જાણીતું: m = 1000 kg, v o = પ્રારંભિક ગતિ = 0 m/s (શરૂઆતમાં, કાર આરામ પર હોય છે), v t = અંતિમ ગતિ = 10 m/s
જોઈએ છે: નેટવર્ક
ડબલ્યુ નેટ = 1⁄2 મીટર (v t 2 – v o 2 )
W નેટ = 1⁄2 (1000)(10 2 – 0 2 ) = (500)(100 – 0) = (500)(100) = 50,000 જુલ્સ
1. કાર્ય-ગતિ ઊર્જા સિદ્ધાંત શું છે? કાર્ય-ગતિ ઊર્જા સિદ્ધાંત જણાવે છે કે પદાર્થ પર કરવામાં આવેલ ચોખ્ખું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું જ છે. ગાણિતિક રીતે, , જ્યાં એ અંતિમ ગતિ ઊર્જા છે જે પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા બાદ કરે છે.
2. કાર્ય પદાર્થના વેગમાં ફેરફાર સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? પદાર્થ પર કરવામાં આવેલ કાર્ય તેના વેગમાં ફેરફાર કરી શકે છે. ખાસ કરીને, પદાર્થ પર કરવામાં આવેલ ચોખ્ખું કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું જ છે, અને ગતિ ઊર્જા વેગના વર્ગ સાથે સંબંધિત છે. આમ, જો પદાર્થ પર ધનાત્મક ચોખ્ખું કાર્ય કરવામાં આવે છે, તો તેનો વેગ (અને તેથી તેની ગતિ ઊર્જા) વધે છે.
૩. જ્યારે કોઈ વસ્તુ પર નકારાત્મક કાર્ય કરવામાં આવે છે ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જાનું શું થાય છે? જ્યારે કોઈ વસ્તુ પર નકારાત્મક કાર્ય કરવામાં આવે છે, ત્યારે તેની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે. આના પરિણામે વસ્તુ ધીમી પડી શકે છે.
૪. કાર્ય-ગતિશીલ ઊર્જા સિદ્ધાંત ન્યૂટનના બીજા નિયમ સાથે કેવી રીતે સંબંધિત છે? ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વર્ણવે છે કે બળ પદાર્થની ગતિને કેવી રીતે અસર કરે છે, જ્યારે કાર્ય-ગતિશીલ ઊર્જા સિદ્ધાંત તે બળ દ્વારા કરવામાં આવતા કાર્યને ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર સાથે સંબંધિત કરે છે. બંને ખ્યાલો એ વિચાર દ્વારા જોડાયેલા છે કે બળ પદાર્થની ગતિ અને ઊર્જાની સ્થિતિને બદલી શકે છે.
૫. શું કોઈ પદાર્થની ગતિ ઊર્જા ઋણ હોઈ શકે? ના, ગતિ ઊર્જા હંમેશા બિન-ઋણ હોય છે. તે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે , જ્યાં m એ દળ છે અને v એ વેગ છે. દળ અને વેગનો વર્ગ બંને ધન હોવાથી, ગતિ ઊર્જા પણ ધન અથવા શૂન્ય છે.
૬. કાર્ય-ગતિ ઊર્જા સિદ્ધાંત ગોળાકાર માર્ગમાં ગતિ કરતી વસ્તુ પર કેવી રીતે લાગુ પડે છે? ગોળાકાર માર્ગમાં સતત ગતિએ ગતિ કરતી વસ્તુ માટે, તેની ગતિ ઊર્જા સ્થિર રહે છે કારણ કે તેની ગતિ બદલાતી નથી. જોકે, તેના વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. જો ફક્ત કેન્દ્રગામી બળો (જેમ કે તાણ અથવા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ) પદાર્થ પર કાર્ય કરે છે, તો આ બળો દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય શૂન્ય છે કારણ કે તેઓ ગતિની દિશાને લંબ રીતે કાર્ય કરે છે. આમ, કોઈ ચોખ્ખું કાર્ય થતું નથી, અને ગતિ ઊર્જામાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
૭. બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં, પદાર્થની ગતિ ઊર્જા કેવી રીતે બદલાય છે? બાહ્ય બળોની ગેરહાજરીમાં, પદાર્થ પર કોઈ કાર્ય થતું નથી, જેનો અર્થ એ થાય કે તેની ગતિ ઊર્જા સ્થિર રહે છે. આ ઊર્જાના સંરક્ષણનું અભિવ્યક્તિ છે.
૮. જ્યારે કોઈ વસ્તુ પર કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય ત્યારે તેનો અર્થ શું થાય છે? જ્યારે કોઈ વસ્તુ પર કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય શૂન્ય હોય, ત્યારે તેનો અર્થ એ થાય કે પદાર્થની ગતિ ઊર્જા બદલાઈ નથી. પદાર્થ હજુ પણ ગતિશીલ હોઈ શકે છે, પરંતુ તેની ગતિ સ્થિર રહે છે.
૯. શું કોઈ પદાર્થ પર કોઈ કાર્ય ન થયું હોય તો પણ તે ગતિ ઊર્જા ધરાવી શકે છે? હા, કોઈ પદાર્થ ચોક્કસ સમયમર્યાદામાં તેના પર કોઈ કાર્ય કર્યા વિના ગતિ ઊર્જા ધરાવી શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, બાહ્ય અવકાશમાં (ગુરુત્વાકર્ષણ પદાર્થોથી દૂર) ગતિમાં રહેલી કોઈ વસ્તુ તેની ગતિ ઊર્જા જાળવી રાખશે અને સતત વેગથી ગતિ કરતી રહેશે, ભલે કોઈ બાહ્ય બળ તેના પર કાર્ય ન કરે.
૧૦. બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય પદાર્થની ગતિ ઊર્જાને કેવી રીતે અસર કરે છે? બિન-રૂઢિચુસ્ત બળો દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય પદાર્થની ગતિ ઊર્જામાં વધારો અથવા ઘટાડો કરી શકે છે, જે પદાર્થની ગતિની સાપેક્ષમાં બળની દિશા અને તીવ્રતાના આધારે થાય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ઘર્ષણ, એક બિન-રૂઢિચુસ્ત બળ, સામાન્ય રીતે નકારાત્મક કાર્ય કરે છે, જેનાથી પદાર્થની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે.
