ચક્રાકાર ગતિમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના જથ્થા

ગોળાકાર ગતિમાં ભૌતિકશાસ્ત્રના જથ્થામાં કોણીય વિસ્થાપન, કોણીય વેગ અને કોણીય પ્રવેગનો સમાવેશ થાય છે.

1. કોણીય વિસ્થાપન (θ)

ગોળાકાર ગતિમાં વિસ્થાપનને કોણીય વિસ્થાપન કહેવામાં આવે છે. તેથી, વેક્ટર જથ્થા સહિત કોણીય વિસ્થાપનમાં પરિમાણ અને દિશા હોય છે. કોણીય વિસ્થાપનની દિશા સામાન્ય રીતે ઘડિયાળની દિશામાં (ઘડિયાળની દિશામાં અથવા ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

કોણીય વિસ્થાપનના ત્રણ એકમો છે. પ્રથમ, ડિગ્રી (o). વર્તુળનો એક પરિઘ 360 બરાબર છે.^o. બીજું, પરિભ્રમણ. વર્તુળનો એક પરિઘ એક પરિભ્રમણ બરાબર છે. ત્રીજું, રેડિયન. નીચેની આકૃતિનું અવલોકન કરો. જો કોઈ પદાર્થ વર્તુળમાં ફરે છે તો r = વર્તુળની ત્રિજ્યા, x = પદાર્થ જે ગોળાકાર માર્ગમાંથી પસાર થાય છે તેની લંબાઈ = વર્તુળનો પરિઘ.

વર્તુળનો એક પરિઘ 2π રેડિયન જેટલો છે.

નમૂના સમસ્યા ૧:

૧ ક્રાંતિ = ૩૬૦ ^o . ½ ક્રાંતિ = …. રેડિયન?

ઉકેલ:

1 ક્રાંતિ = 360 ^o = 2 π rad = 2(3.14) rad = 6.28 rad

૧/૨ ક્રાંતિ = ૧૮૦ ^ઓ = ૧/૨ (૬.૨૮ રેડિયન) = ૩.૧૪ રેડિયન

નમૂના સમસ્યા 2:

1 રેડ = …… ^ઓ ? 1 ^o = … rad ?

ઉકેલ:

૧૮૦ ^o = π રેડિયન = ૩.૧૪ રેડિયન

2. કોણીય ગતિ (ω)

a. સરેરાશ કોણીય ગતિ

નમૂના સમસ્યા ૧:

એક ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે, 2 સેકન્ડ માટે 180 ^{o ના ખૂણા પર અને 1 સેકન્ડ માટે 90 o} ના ખૂણા પર ફરે છે . સરેરાશ કોણીય વેગનું મૂલ્ય અને દિશા શું છે?

ઉકેલ:

સરેરાશ કોણીય વેગની દિશા = ઘડિયાળની દિશામાં દિશા.

9 ^o /s = … રેડિયન/s ?

નમૂના સમસ્યા ૧:

^{એક ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે, 4 સેકન્ડ માટે 360 o} ના ખૂણા પર ફરે છે . પછી ચક્ર ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે, 2 સેકન્ડ માટે 180 ^o ના ખૂણા પર ફરે છે . સરેરાશ કોણીય વેગ કેટલો છે?

ઉકેલ:

સરેરાશ કોણીય વેગની દિશા = ઘડિયાળની દિશામાં દિશા.

૩ ^ઓ / સે = … રેડિયન / સે?

b. ત્વરિત કોણીય ગતિ

તાત્કાલિક કોણીય વેગને ઘણીવાર કોણીય વેગ કહેવામાં આવે છે. જો ફક્ત કોણીય વેગનો ઉલ્લેખ કરવામાં આવે, તો તેનો અર્થ તાત્કાલિક કોણીય વેગ છે. તાત્કાલિક કોણીય વેગનું મૂલ્ય = ખૂબ જ ટૂંકા સમય અંતરાલ દરમિયાન કોણીય વેગનું મૂલ્ય. ગાણિતિક રીતે:

જો રેખીય ગતિમાં, આપણે વેગના મૂલ્યને ગતિથી બદલી શકીએ છીએ, જેથી ગોળાકાર ગતિમાં આપણે કોણીય વેગના મૂલ્યને કોણીય ગતિથી બદલી શકીએ.

3. કોણીય પ્રવેગ (α)

a. સરેરાશ કોણીય પ્રવેગ

નમૂના સમસ્યા 5:

એક પવનચક્કી શરૂઆતમાં સ્થિર હતી, પવનથી ફૂંકાતી હતી, તેથી તે ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવાઈ ગઈ. 2 સેકન્ડ પછી, કોણીય વેગ 90 ^o /s થાય છે. સરેરાશ કોણીય વેગ કેટલો છે?

ઉકેલ:

સરેરાશ, પવનચક્કીની કોણીય ગતિ દર 1 સેકન્ડે 45 o/સેકન્ડ બદલાય છે = … rad/s દર 1 સેકન્ડે?

b. તાત્કાલિક કોણીય પ્રવેગ

ત્વરિત કોણીય પ્રવેગને ઘણીવાર કોણીય પ્રવેગ તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ત્વરિત કોણીય પ્રવેગ એ ખૂબ જ ટૂંકા સમય અંતરાલ દરમિયાન કોણીય વેગમાં ફેરફાર છે. ગાણિતિક રીતે:

ગોળાકાર ગતિમાં રેખીય પરિમાણ

રેખીય જથ્થાઓ રેખીય ગતિમાં રહેલા જથ્થાઓ છે, જેમ કે વિસ્થાપન (અંતર), વેગ (ગતિ) અને પ્રવેગ. બીજી બાજુ, ગોળાકાર ગતિના જથ્થાઓને કોણીય જથ્થાઓ તરીકે ઓળખી શકાય છે.

1. વિસ્થાપન

ચક્ર, પંખો, પવનચક્કી કે ઘડિયાળ વગેરે જેવી ફરતી વસ્તુનું અવલોકન કરો. જ્યારે પંખો ફરે છે, ત્યારે પંખાના બધા ભાગો એકસાથે ફરે છે. જો પંખો એક પરિભ્રમણ (360 ^o ) લે છે, તો પંખાના બધા ભાગો, ધાર પર અને ધરીની નજીક સ્થિત, એક પરિભ્રમણ અથવા 360 ^o લે છે . એક પરિભ્રમણ અથવા 360 ^{o એ} પંખાના બધા ભાગો દ્વારા ધાર પર અને ધરીની નજીક કરવામાં આવતા કોણીય વિસ્થાપનનું મૂલ્ય છે.

જ્યારે પંખો એક પરિભ્રમણ કરે છે, ત્યારે ધાર પર રહેલો પંખો ભાગ અને પરિભ્રમણ ધરીની નજીકનો પંખો ભાગ એક વર્તુળ (2) જેટલું ખસે છે. જો પંખાની ત્રિજ્યા 20 સે.મી. હોય, તો પંખાની ધાર અને પરિભ્રમણ ધરી વચ્ચેનું અંતર 20 સે.મી. હોય છે. ઉદાહરણ તરીકે, ધરી અને ધરીની નજીક આવેલા પંખાના એક ભાગ વચ્ચેનું અંતર = 1 સે.મી. જ્યારે પંખો એક પરિભ્રમણ કરે છે, ત્યારે પંખાની ધાર ગોળાકાર રીતે ખસે છે (2)(3.14)(20 સે.મી.) = 125.6 સે.મી.,

જ્યારે ધરીની નજીક સ્થિત બિંદુ ગોળાકાર રીતે (2)(3.14)(1 સેમી) = 6.28 સેમી સુધી ખસે છે. 125.6 સેમી એ પંખાની ધાર દ્વારા કરવામાં આવેલા વિસ્થાપનનું મૂલ્ય છે,

જ્યારે 6.28 સેમી એ પરિભ્રમણ અક્ષની નજીક સ્થિત બિંદુ દ્વારા કરવામાં આવેલા વિસ્થાપનનું મૂલ્ય છે. r જેટલું નાનું હશે, તેટલું નાનું વિસ્થાપન. વિસ્થાપન (d) અને કોણીય વિસ્થાપન (θ) વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

θ = ડી / આર

ડી = આર θ

d = વિસ્થાપન (મીટર), r = પરિભ્રમણ ધરીથી ત્રિજ્યા અથવા અંતર (મીટર), θ = કોણીય વિસ્થાપન (રેડિયન)

નમૂના સમસ્યા ૧:

5 સેમી ત્રિજ્યાવાળી CD 90° ના ખૂણામાંથી ફરે છે. પરિભ્રમણ ધરીથી 2 સેમી દૂર બિંદુનું વિસ્થાપન કેટલું થાય છે?

ઉકેલ:

r = પરિભ્રમણ ધરીથી અંતર = 2 સેમી = 0.02 મીટર

θ = 90 ^o = 1.57 રેડિયન (રેડિયનમાં જણાવવું આવશ્યક છે)

d = (0.02 મીટર)(1.57 રેડિયન) = 0.03 મીટર.

કોણીય વિસ્થાપનમાં આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમ એકમ હોતું નથી અને તેનું કોઈ પરિમાણ હોતું નથી (તેનું પરિમાણ 1 છે), તેથી ઉપરની ગણતરીમાં, ગણતરીના પરિણામોમાંથી ફક્ત રેડિયન એકમને દૂર કરો.

2. વેગ

જ્યારે પંખો અથવા કોઈપણ ફરતી વસ્તુ ફેરવવામાં આવે છે, ત્યારે તેને ચોક્કસ સમય અંતરાલની જરૂર પડે છે. જો પંખો ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે અને 1 સેકન્ડ માટે એક પરિભ્રમણ (360 ^{o ) લે છે,}

તો પંખાના બધા ભાગોનો કોણીય વેગ 1 રેવ/સેકન્ડ = 360 ^o /સેકન્ડ = 6.28 રેડ/સેકન્ડ છે અને કોણીય વેગની દિશા કલાકની સોયની દિશા જેટલી જ છે.

જો પંખાની ત્રિજ્યા 20 સેમી હોય, તો પંખાની ધાર 2(3.14)(20 સેમી) / 1 સેકન્ડ = 125.6 સેમી/સેકન્ડ = 1.256 મીટર/સેકન્ડની ગતિથી ગોળાકાર ગતિ કરે છે. 2 (3.14) (1 સેમી)/1 સેકન્ડની ગતિ સાથે પરિભ્રમણ ધરીથી 1 સેમી (0.01 મીટર) દૂર જે બિંદુ છે તે = 6.28 સેમી/સેકન્ડ = 0.0628 મીટર/સેકન્ડ. r જેટલો નાનો હશે, તેટલી જ ઝડપ ઓછી હશે. ગોળાકાર ગતિમાં, ગતિને ઘણીવાર સ્પર્શક ગતિ કહેવામાં આવે છે.

વેગ (v) અને કોણીય વેગ (ω) વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

v = ગતિ (m/s), r = પરિભ્રમણ ધરીથી ત્રિજ્યા અથવા અંતર (m), ω = કોણીય વેગ (rad/s)

નમૂના સમસ્યા 7:

બીજી સોયની ગતિ 6.28 રેડ/મિનિટ = 6.28 રેડ/60 સેકન્ડ = 0.1 રેડ/સેકન્ડ છે. પરિભ્રમણ ધરીથી 2 સેમી (0.02 મીટર) દૂર આવેલા બિંદુની ગતિ કેટલી છે?

ઉકેલ:

ω = 0.1 રેડિયન/સે, r = 0.02 મીટર

v = r

ω = (0.02 m)(0.1 rad/s) = 0.002 m/s

ગણતરીના પરિણામોમાંથી રેડિયન દૂર કરો.

3. પ્રવેગક

જો વેગનું મૂલ્ય અને દિશા બદલાય તો ગોળાકાર ગતિ બિંદુ પ્રવેગ પામે છે. તેથી, ગોળાકાર ગતિમાં બે પ્રકારના પ્રવેગ હોય છે. પ્રથમ, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ (a _c ) અથવા જેને રેડિયલ પ્રવેગ (a _r ) પણ કહેવાય છે. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ વેગ દિશામાં ફેરફારને કારણે થાય છે. કેન્દ્રગામી પ્રવેગની દિશા હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ જાય છે.

કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય છે:

a _c = કેન્દ્રગામી પ્રવેગ (m/s ² ), r = પરિભ્રમણ ધરીથી ત્રિજ્યા અથવા અંતર (m), v = ગતિ (m/s), ω = કોણીય વેગ (rad/s)

બીજું, સ્પર્શક પ્રવેગ (a _t ). વેગના મૂલ્યમાં ફેરફારને કારણે સ્પર્શક પ્રવેગ થાય છે. ફરતા પંખાની ધાર પરના બિંદુની સમીક્ષા કરો. જો, શરૂઆતમાં, પંખો આરામ કરી રહ્યો હોય, તો પંખાની ધાર પરનો બિંદુ પણ આરામ કરી રહ્યો હોય છે (v = 0). જો એક સેકન્ડ પછી, પંખો 1 rev/s = 360 ^o /s = 6.28 rad/s ની કોણીય ગતિથી ફરે છે જેથી પંખાની ધાર પરનો બિંદુ 1.2 m/s ની ગતિથી ગોળાકાર રીતે ફરે.

પછી પંખાના પવનની ધાર પરનો બિંદુ 1.2 m/s પ્રતિ સેકન્ડ = 1.2 m/s ² ના સ્પર્શક પ્રવેગનો અનુભવ કરે છે.

_{સ્પર્શક પ્રવેગ (a t} ) અને કોણીય પ્રવેગ ( α ) વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

a _t = સ્પર્શક પ્રવેગ (m/s ² ), r = પરિભ્રમણ અક્ષથી ત્રિજ્યા અથવા અંતર (m), α = કોણીય પ્રવેગ (rad/s ² )

ગતિ અને કોણીય ગતિ સાથે સમયગાળો (T) અને આવર્તન (f) વચ્ચેનો સંબંધ

સમયગાળો એ પદાર્થ માટે એક પરિભ્રમણ કરવા માટેનો સમય અંતરાલ દર્શાવે છે, જ્યારે આવર્તન એક સેકન્ડ માટે પરિભ્રમણની સંખ્યા દર્શાવે છે. સમયગાળો અને આવર્તન વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે: f = 1/T

સમયગાળા માટે આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમ એકમ સેકન્ડ છે, આવર્તન માટે આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમ એકમ 1 / સેકન્ડ (= હર્ટ્ઝ) છે. ગોળાકાર ગતિશીલ કણોની ગતિ (v) અને કોણીય વેગ (ω) સમયગાળા અથવા આવર્તનમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.

ગોળાકાર ગતિશીલ કણનો વેગ (v) સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:

ગોળાકાર ગતિશીલ કણોના કોણીય વેગ (ω) ની તીવ્રતા સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે: