સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણો
બે પદાર્થોની અથડામણને સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ કહેવામાં આવે છે જો અથડામણ પહેલા દરેક પદાર્થનો વેગ અથવા ગતિ ઊર્જા અથડામણ પછી દરેક પદાર્થના વેગ અને ગતિ ઊર્જા સમાન હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં ગતિના સંરક્ષણનો નિયમ અને ગતિ ઊર્જાના સંરક્ષણનો નિયમ લાગુ પડે છે. સ્થિતિસ્થાપક શબ્દનો ઉપયોગ સૂચવે છે કે અથડામણ પછી, બે પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી જતા નથી અથવા એકબીજા સાથે જોડાયેલા નથી પરંતુ ઉછળે છે. દરેક પદાર્થનો વેગ સંરક્ષણ પામે છે.
દરેક પદાર્થનો વેગમાન સચવાય છે.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' …………………….. સમીકરણ 1.5
દરેક પદાર્થની ગતિ ઊર્જા સચવાય છે.
૧/૨ mv ૧ ૨ + ૧/૨ mv ૨ ૨ = ૧/૨ mv ૧ ' ૨ + ૧/૨ mv ૨ ' ૨ ……………………….. સમીકરણ ૧.૬
[આઈઆરપી]
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ શાંત હોવી જોઈએ અને બે અથડાતા પદાર્થો વચ્ચેના ઘર્ષણને કારણે ગરમી ઉત્પન્ન થતી નથી. જો બે પદાર્થોની અથડામણ અવાજ અને ગરમી ઉત્પન્ન કરે છે, તો પદાર્થોની ગતિ ઊર્જા સાચવવામાં આવતી નથી. કેટલીક ગતિ ઊર્જા ધ્વનિ ઊર્જા અને ગરમી ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, અને કેટલીક આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે. સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણનું ઉદાહરણ અણુ અને ઉપ-પરમાણુ કણોનું અથડામણ છે.
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણની સમસ્યામાં, જો શરૂઆતની ગતિ જાણીતી હોય અને અંતિમ ગતિ અજાણી હોય, તો ફક્ત સમીકરણો 1.5 અને 1.6 નો ઉપયોગ કરીને સમસ્યાનું નિરાકરણ લાવી શકાતું નથી. આ કારણોસર, બંને સમીકરણોનો ઉપયોગ અન્ય સમીકરણો મેળવવા માટે કરવામાં આવે છે, જેનો ઉપયોગ અંતિમ ગતિ નક્કી કરવા માટે થઈ શકે છે.
અવયવ ૧/૨ દૂર કરો અને પછી ૧.૬ ને નિયંત્રિત કરો.
m 1 v 1 2 + m 2 v 2 2 = m 1 v 1 ' 2 + m 2 v 2 ' 2
m 1 v 1 2 – m 1 v 1 ' 2 = m 2 v 2 ' 2 – m 2 v 2 2
m 1 (v 1 2 – v 1 ' 2 ) = m 2 (v 2 ' 2 – v 2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
m 1 (v 1 + v 1 ') (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' + v 2 ) (v 2 ' – v 2 ) ………………….. સમીકરણ 1.7
[આઈઆરપી]
સમીકરણ 1.5 માં ફેરફાર કરો
m 1 v 1 – m 1 v 1 ' = m 2 v 2 ' - m 2 v 2
m 1 (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' – v 2 ) ……………………….. સમીકરણ 1.8
અંતિમ પરિણામ મેળવવા માટે સમીકરણ 1.7 ને સમીકરણ 1.8 વડે ભાગાકાર કરો.
(v 1 + v 1 ') = (v 2 ' + v 2 )
વિરુદ્ધ ૧ – વિરુદ્ધ ૨ = વિરુદ્ધ ૨ ' – વિરુદ્ધ ૧ '
v 1 – v 2 = – (v 1 ' – v 2 ') …………….. સમીકરણ 1.9
સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણની સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે સમીકરણો 1.5 અને 1.9 નો ઉપયોગ કરી શકાય છે. જો બે પદાર્થોના દળ અને પ્રારંભિક વેગ અજાણ હોય તો તેમના અંતિમ વેગ નક્કી કરવા માટે બે સમીકરણો મેળવવા માટે સમીકરણો 1.5 અને 1.9 ને જોડો.
ઉપરોક્ત સમીકરણોનો ઉપયોગ કરીને પ્રશ્નો ઉકેલતી વખતે, v 1 અને v 2 માટે યોગ્ય ચિહ્નનો ઉપયોગ કરો . જો ઑબ્જેક્ટ 1 જમણી તરફ ખસે છે, તો v 1 ધન છે, અને તેનાથી વિપરીત, જો બે ઑબ્જેક્ટ ડાબી તરફ ખસે છે, તો v 2 ઋણ છે. જો બંને ઑબ્જેક્ટ અલગ અલગ દિશામાં ખસે છે, પરંતુ ગતિ દિશાઓ વિશે કોઈ માહિતી નથી, તો v 1 અને v 2 અલગ અલગ રીતે સહી કરવા જોઈએ, ઉદાહરણ તરીકે, v 1 ધન છે, અને v 2 ઋણ છે.
૪.૧.૧ સમાન દળના બે પદાર્થો
જો m 1 = m 2 , v 1 ' = v 2 અને v 2 ' = v 1.
જો બે વસ્તુઓ અલગ અલગ દિશામાં ખસે તો શું?
ઉદાહરણ તરીકે, જો અથડામણ પહેલાં ઑબ્જેક્ટ 1 જમણી તરફ ખસે છે અને ઑબ્જેક્ટ 2 ડાબી તરફ ખસે છે, તો ઑબ્જેક્ટ 1 ડાબી તરફ ખસે છે (v 1 ' = – v 2 ) અને ઑબ્જેક્ટ 2 જમણી તરફ ખસે છે (v 2 ' = v 1 ).
જો બંનેમાંથી કોઈ એક પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય તો શું?
ઉદાહરણ તરીકે, જો અથડામણ પહેલાં પદાર્થ 2 સ્થિર સ્થિતિમાં હોય (v 2 = 0), તો પદાર્થ 1 સ્થિર સ્થિતિમાં હશે (v 1 ' = 0) અને પદાર્થ 2 અથડામણ પછી પદાર્થ 1 ના પ્રારંભિક વેગ (v 2 ' = v 1 ) જેટલા જ વેગથી ગતિ કરશે. જો અથડામણ પહેલાં પદાર્થ 1 જમણી તરફ ખસે છે, તો પદાર્થ 2 અથડામણ પછી જમણી તરફ ખસે છે. તેથી, બે પદાર્થો વેગનું વિનિમય કરે છે.
[આઈઆરપી]
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩
પદાર્થો A (2 kg) અને B (2 kg) અનુક્રમે 4 m/s અને 2 m/s ની ઝડપે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. જો પદાર્થો A અને B સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અથડાય છે, તો પદાર્થો A અને B ની અંતિમ ગતિ કેટલી હશે?
જાણીતા:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 4 m/s, v B = – 2 m/s
જોઈએ છે: v A ' અને v B '
ઉકેલો:
v A ' = – 2 મીટર/સેકન્ડ અને v B ' = 4 મીટર/સેકન્ડ
અથડામણ પછી, પદાર્થ A 2 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે અને પદાર્થ B 4 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. જો અથડામણ પહેલાં પદાર્થ A જમણી તરફ ખસે અને પદાર્થ B ડાબી તરફ ખસે, તો અથડામણ પછી પદાર્થ A ડાબી તરફ ખસે અને પદાર્થ B જમણી તરફ ખસે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩
પદાર્થ A (2 kg) 2 m/s ની ઝડપે જમણી તરફ ખસે છે અને પદાર્થ B (2 kg) સાથે અથડાય છે જે સ્થિર છે. જો બે પદાર્થો સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં અથડાય છે, તો પદાર્થ A અને B ની અંતિમ ગતિ કેટલી હશે?
જાણીતા:
m A = 2 kg, m B = 2 kg, v A = 2 m/s, v B = 0 m/s
જોઈએ છે: v A ' અને v B '
ઉકેલો:
v A ' = 0 અને v B ' = 2 મીટર/સેકન્ડ
અથડામણ પછી, પદાર્થ A સ્થિર સ્થિતિમાં હોય છે, અને પદાર્થ B 2 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે જમણી તરફ ખસે છે.
[આઈઆરપી]
૪.૧.૨ અલગ અલગ દળના બે પદાર્થો
જો બે પદાર્થોના પ્રારંભિક વેગ અને દળ (નાના તફાવત) અલગ હોય, તો અંતિમ વેગ સમીકરણો 1.10 અને 1.11 નો ઉપયોગ કરીને જાણી શકાય છે.
જો શરૂઆતમાં પદાર્થ 2 સ્થિર હોય (v 2 = 0), તો સમીકરણ 1.10 સમીકરણ 1.12 બને છે અને સમીકરણ 1.11 સમીકરણ 1.13 બને છે.
જો v 2 = 0, m 1 ખૂબ મોટું છે, અને m 2 ખૂબ નાનું છે, તો સમીકરણો 1.12 અને 1.13 v 1 ' = v 1 અને v 2 ' = 2v 1 ઉકેલીને મળે છે. જો v 2 = 0, m 1 ખૂબ નાનું છે, અને m 2 ખૂબ મોટું છે, તો સમીકરણો 1.12 અને 1.13 v 1 ' = -v 1 અને v 2 ' = 0 ઉકેલીને મળે છે. ધન અને ઋણ ગુણ વિરુદ્ધ ગતિ દિશાઓ દર્શાવે છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩
૧ કિલો વજન ધરાવતો પદાર્થ ૨૦ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે ગતિ કરે છે અને સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં દિવાલ સાથે અથડાય છે. પદાર્થ અને દિવાલની અંતિમ ગતિ કેટલી છે?
જાણીતા:
m A = 1 kg, v A = 20 m/s, m B = ખૂબ જ સારું, v B = 0
જોઈએ છે : v A ' અને v B '
ઉકેલો:
v A ' = -20 મીટર/સેકન્ડ અને v B ' = 0
અથડામણ પછી, પદાર્થ A 20 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે ઉછળે છે અને પદાર્થ B સ્થિર રહે છે. જો અથડામણ પહેલા પદાર્થ A જમણી તરફ ખસે છે, તો તે અથડામણ પછી ડાબી તરફ ખસે છે.
