રેખીય મોમેન્ટમ ઇમ્પલ્સ અથડામણો

રેખીય મોમેન્ટમ ઇમ્પલ્સ અથડામણો

1. રેખીય ગતિ

૧.૧ રેખીય ગતિ વ્યાખ્યા

પદાર્થના રેખીય વેગને પદાર્થના દળને પદાર્થના વેગથી ગુણાકાર કરવાના પરિણામ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

પી = એમવી

જ્યાં:

p = વેગમાન, m = દળ (કિલોગ્રામ), v = વેગ (મી/સેકન્ડ)

રેખીય વેગ, અથવા ફક્ત વેગ, એક વેક્ટર જથ્થો છે કારણ કે તે વેક્ટર (વેગ) અને સ્કેલર (દળ) નો ગુણાકાર કરીને મેળવવામાં આવે છે. વેગમાન એક વેક્ટર જથ્થો હોવાથી, તેની દિશા અને તીવ્રતા હોય છે. વેગમાન દિશાને પદાર્થના વેગ અથવા ગતિ સાથે વહેંચે છે.

ગતિ એ દળ અને વેગના પ્રમાણસર છે કારણ કે દળ જેટલું વધારે હશે, તેટલો જ વેગ પણ વધારે હશે. તેવી જ રીતે, વેગ જેટલો વધારે હશે, તેટલો જ વેગ પણ વધારે હશે. ધારો કે બે કાર છે, કહો કે કાર A અને B. જો કાર Aનું દળ કાર B કરતા વધારે હોય અને બંને કાર સમાન વેગથી આગળ વધે, તો કાર A નો વેગ કાર B કરતા વધારે હશે. તેવી જ રીતે, જો કાર A અને B સમાન દળના હોય, પરંતુ કાર A કાર B કરતા વધુ ઝડપથી આગળ વધે, તો કાર A નો વેગ કાર B કરતા વધારે છે.

જો કોઈ પદાર્થ જેનું દળ છે તે ગતિ કરતો નથી અથવા સ્થિર હોય છે (તેનો વેગ શૂન્ય હોય છે), તો તે પદાર્થનો વેગ શૂન્ય હોય છે.

વેગમાનનો SI એકમ kg m/s છે, જેમાં દળનો એકમ અને વેગનો એકમ હોય છે.

૧.૨ ન્યૂટનનો બીજો નિયમ

પહેલાં, તમે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ શીખ્યા છો જે સમીકરણ ΣF = ma માં દર્શાવેલ છે અને તે પદાર્થના કુલ બળ અને દળ તેમજ પ્રવેગ વચ્ચેના સંબંધને સમજાવે છે. કુલ બળ એવી વસ્તુ પર કાર્ય કરે છે જેનો પદાર્થને દળ પ્રવેગ આપે છે. આ વખતે, તમને ન્યૂટનના બીજા નિયમના બીજા સ્વરૂપનો પરિચય કરાવવાનો છે, જે પદાર્થના કુલ બળ અને ગતિમાં ફેરફાર વચ્ચેના સંબંધને સમજાવે છે.

જો કોઈ પદાર્થ શરૂઆતમાં સ્થિર હોય તેના પર ચોખ્ખું બળ કાર્ય કરે છે, તો પદાર્થ ગતિ કરશે. ગતિ કરતા પહેલા, પદાર્થમાં કોઈ ગતિ હોતી નથી. ગતિ થયા પછી પદાર્થમાં ગતિ હોય છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, પદાર્થ પર કાર્ય કરતું ચોખ્ખું બળ આપેલ સમય અંતરાલ માટે પદાર્થના વેગમાં ફેરફારનું કારણ બને છે. પદાર્થના વેગમાં ફેરફારનો દર પદાર્થ પર કાર્ય કરતા ચોખ્ખા બળ જેટલો હોય છે.

ક્યાં:

ΣF = ચોખ્ખું બળ (ન્યુટન), Δt = સમય અંતરાલ (સેકન્ડ), Δp = m (v _t – v _o ) = વેગમાં ફેરફાર (kg m/s).

સમીકરણ ૧.૧ એ ન્યૂટનના બીજા નિયમનું બીજું સ્વરૂપ છે, જે પદાર્થનું દળ સ્થિર હોય અથવા બદલાય ત્યારે પદાર્થના વેગમાં ફેરફારના દર અને ચોખ્ખા બળ વચ્ચેના સંબંધને સમજાવે છે.

ક્યાં:

ΣF = ચોખ્ખું બળ (ન્યુટન), m = દળ (કિલો), a = પ્રવેગ (m/s ² )

સમીકરણ ૧.૨ એ ન્યૂટનના બીજા નિયમનું સમીકરણ છે જે અચળ દળ ધરાવતા પદાર્થના ચોખ્ખા બળ અને પ્રવેગ વચ્ચેના સંબંધને સમજાવે છે.

2. આવેગ

૨.૧ ઇમ્પલ્સ વ્યાખ્યા

આવેગને સમય અંતરાલ દ્વારા બળ અથવા ચોખ્ખા બળના ગુણાકારના પરિણામ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

ક્યાં:

I = આવેગ, ΣF = ચોખ્ખું બળ (ન્યુટન), Δt = સમય અંતરાલ (સેકન્ડ).

૨.૨ ઇમ્પલ્સ-વેગ પ્રમેય

ઇમ્પલ્સ-વેગ પ્રમેય સમીકરણ 1.1 માંથી સમીકરણ મેળવીને મેળવવામાં આવે છે.

ΣF Δt = Δp

I = Δp …………………….. સમીકરણ 1.3

સમીકરણ 1.3 દર્શાવે છે કે આઘાત એ વેગમાનમાં ફેરફાર સમાન છે.

હું = ΣF Δt

Δp = mv _t – mv _o = m (v _t – v _o )

ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૧:

૧ કિલો વજનવાળા બોલને ૨ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે આડી રીતે ફેંકવામાં આવે છે. પછી, બોલને શરૂઆતની દિશામાં જ ફટકારવામાં આવે છે. બોલને હિટરના સંપર્કમાં આવતા ૧ મિલીસેકન્ડ લાગે છે, અને હિટર છોડ્યા પછી બોલની ગતિ ૪ મીટર/સેકન્ડ છે. હિટર દ્વારા બોલ પર કેટલું બળ લગાવવામાં આવે છે?

જાણીતા:

દળ (m) = 1 kg, પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 2 m/s, સમય અંતરાલ (Δt) = 1 x 10 ^-3 સેકન્ડ, અંતિમ વેગ (v _t ) = 4 m/s

બોલની ગતિની દિશા બદલાતી નથી, તેથી શરૂઆતની ગતિ અને અંતિમ ગતિનું ચિહ્ન સમાન હોય છે.

ઇચ્છિત: બળ (F)

ઉકેલો:

ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૧:

૧ કિલો વજનવાળા દડાને ૧૦ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે જમણી બાજુ આડી રીતે ફેંકવામાં આવે છે. ફટકાર્યા પછી, દડો ૨૦ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે ડાબી બાજુ ખસે છે. દડા પર આવેગ કેવી રીતે કાર્ય કરી રહ્યો છે તે નક્કી કરો.

જાણીતા:

દળ (મી) = 1 કિલો

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 10 m/s,

અંતિમ વેગ (v _t ) = -20 m/s

બોલની ગતિની દિશાઓ (વેગની દિશાઓ) વિરુદ્ધ હોય છે, તેથી શરૂઆતની ગતિ અને અંતિમ ગતિમાં અલગ અલગ ચિહ્નો હોય છે.

જોઈએ છે: ઇમ્પલ્સ (I)

ઉકેલો:

I = m (v _t – v _o ) = 1 kg (-20 m/s – 10 m/s) = 1 kg (-30 m/s) = – 30 kg m/s

નકારાત્મક ચિહ્ન સૂચવે છે કે આવેગની દિશા બોલની અંતિમ ગતિની દિશા (ડાબી બાજુ) જેટલી જ છે.

ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૩

એક વિદ્યાર્થી 0.1 કિલો વજનનો વોલીબોલ મારે છે જે શરૂઆતમાં આરામ કરે છે. વિદ્યાર્થીનો હાથ 0.01 સેકન્ડ માટે વોલીબોલના સંપર્કમાં આવે છે. ફટકાર્યા પછી, વોલીબોલ 2 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે આગળ વધે છે.

(a) વિદ્યાર્થીના હાથ દ્વારા વોલીબોલ રમવા માટે કેટલું બળ લગાવવામાં આવે છે?

(b) ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ જણાવે છે કે જો વિદ્યાર્થી વોલીબોલ પર બળ લગાવે છે, તો વોલીબોલ પણ વિદ્યાર્થી પર બળ લગાવશે. વિદ્યાર્થીના હાથ પર વોલીબોલ દ્વારા લગાવવામાં આવતા બળનું કદ કેટલું છે?

(c) જો વિદ્યાર્થીનો હાથ 0.001 સેકન્ડ માટે વોલીબોલના સંપર્કમાં આવે, તો વોલીબોલ દ્વારા વિદ્યાર્થીના હાથ પર લગાવવામાં આવતા બળનું કદ કેટલું હશે?

જાણીતા:

દળ (મી) = 0.1 કિગ્રા,

સમય અંતરાલ 1 (Δt ₁ ) = 0.01 સે = 1 x 10 ^-2 સે

પ્રારંભિક વેગ (v _o ) = 0

અંતિમ વેગ (v _t ) = 2 m/s

સમય અંતરાલ 2 (Δt ₂ ) = 0.001 સે = 1 x 10 ^-3 સે

ઇચ્છિત: બળ (F)

ઉકેલો:

(a) વિદ્યાર્થીના હાથ દ્વારા વોલીબોલ પર 0.01 સેકન્ડના સંપર્ક સમય માટે લાગુ કરાયેલ બળ છે

(b) વોલીબોલ દ્વારા વિદ્યાર્થીના હાથ પર 0.01 સેકન્ડના સંપર્ક સમય માટે લગાવવામાં આવતો બળ

ન્યૂટનનો ત્રીજો નિયમ: F ક્રિયા = – F પ્રતિક્રિયા

વિદ્યાર્થીના હાથ પર બોલ દ્વારા લગાવવામાં આવતા બળનું કદ 200 N છે.

(c) 0.001 સેકન્ડના સંપર્ક સમય માટે બોલ દ્વારા વિદ્યાર્થીના હાથ પર લગાવવામાં આવતું બળ

પ્રાપ્ત પરિણામોના આધારે, એવું નિષ્કર્ષ પર આવી શકે છે કે જ્યારે સંપર્ક સમય ઓછો હોય છે ત્યારે વિદ્યાર્થીના હાથ પર બોલ દ્વારા લગાવવામાં આવતો બળ વધુ હોય છે. વધુ બળ વિદ્યાર્થીના હાથમાં વધુ દુખાવો કરે છે. જ્યારે તમે વોલીબોલ રમો છો ત્યારે તમે આ સાબિત કરી શકો છો. જ્યારે તમે વધુ મજબૂત વોલીબોલ મારશો ત્યારે તમને લાગતો સંપર્ક સમય નરમ બોલ મારવા કરતાં ઓછો હોય છે. સંપર્ક સમયનો તફાવત તમારા હાથને વધુ મજબૂત બોલ મારવા પર વધુ દુખાવો અનુભવે છે.

1. રેખીય ગતિ શું છે અને તે બળથી કેવી રીતે અલગ છે?
   • જવાબ: રેખીય ગતિ ($p$) પદાર્થનું તેના દળનું ઉત્પાદન છે ($m$) અને તેનો વેગ ($v$), એટલે કે, $p=mv$. જ્યારે બળ સમય સાથે પદાર્થના વેગમાં થતા ફેરફાર સાથે સંબંધિત છે, ત્યારે વેગમાન પોતે જ એક માપ છે કે પદાર્થ કેટલી ગતિ ધરાવે છે અને કઈ દિશામાં છે.
2. પદાર્થના વેગમાં ફેરફાર સાથે આવેગ કેવી રીતે સંબંધિત છે?
   • જવાબ: આઘાત એ પદાર્થ પર લાગુ પડતા સરેરાશ બળ અને તે લાગુ પડેલા સમયનો ગુણાકાર છે. તે પદાર્થના વેગમાં ફેરફાર સમાન છે. ગાણિતિક દ્રષ્ટિએ: Impulse=Δp=F_average​×Δt.
3. અથડામણમાં વેગમાનના સંરક્ષણનો અર્થ શું થાય છે?
   • જવાબ: વેગમાનનું સંરક્ષણ જણાવે છે કે અથડામણ પહેલાં બંધ સિસ્ટમનો કુલ વેગ અથડામણ પછીના કુલ વેગમાન જેટલો હોય છે, જો કોઈ બાહ્ય બળ સિસ્ટમ પર કાર્ય ન કરે તો.
4. સ્થિતિસ્થાપક અને બિનસ્થિતિસ્થાપક અથડામણ વચ્ચેનો તફાવત જણાવો.
   • જવાબ: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, વેગ અને ગતિ ઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે. પદાર્થો એકબીજાથી "ઉછળે છે". સ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાં, વેગનું સંરક્ષણ થાય છે પણ ગતિ ઊર્જાનું સંરક્ષણ થતું નથી. અથડામણ પછી પદાર્થો એકબીજા સાથે ચોંટી શકે છે અથવા વિકૃત થઈ શકે છે.
5. લાંબા સમય સુધી કાર્યરત નાના બળ માટે ટૂંકા સમય સુધી કાર્યરત મોટા બળ જેટલો જ વેગમાં ફેરફાર કેવી રીતે શક્ય છે?
   • જવાબ: કારણ કે આઘાત બળ અને સમયનું ઉત્પાદન છે, લાંબા ગાળા માટે કાર્ય કરતું એક નાનું બળ ટૂંકા ગાળા માટે કાર્ય કરતા મોટા બળ જેટલું જ આઘાત (અને આમ વેગમાં સમાન ફેરફાર) ઉત્પન્ન કરી શકે છે.
6. જો કોઈ કાર દિવાલ સાથે અથડાઈને અટકી જાય, તો શું ગતિ સાચવવામાં આવે છે?
   • જવાબ: ફક્ત કાર માટે, વેગમાનનું સંરક્ષણ થતું નથી કારણ કે તે અટકી જાય છે. જોકે, વ્યાપક પ્રણાલીમાં (પૃથ્વી અને દિવાલ સહિત), વેગમાનનું સંરક્ષણ થાય છે. કારને આપવામાં આવતો વેગ પૃથ્વી અને દિવાલની સમાન અને વિરુદ્ધ રીતે આપવામાં આવે છે, પરંતુ દળમાં વિશાળ તફાવતને કારણે, પૃથ્વીનો વેગમાં ફેરફાર અગોચર રીતે ઓછો છે.
7. કારમાં એરબેગ્સ અથડામણ દરમિયાન ઇજાઓ ઘટાડવામાં કેમ મદદ કરે છે?
   • જવાબ: એરબેગ્સ વ્યક્તિના વેગમાં ફેરફાર થવાનો સમય વધારે છે કારણ કે તે અટકી જાય છે, જેનાથી અથડામણ દરમિયાન સરેરાશ બળ ઘટે છે. બળમાં આ ઘટાડો ઇજાઓ ઘટાડવામાં મદદ કરે છે.
8. જો સમાન દળ ધરાવતા બે પદાર્થોનો વેગ સમાન તીવ્રતાનો વિરુદ્ધ હોય અને તેઓ સામસામે અથડાય, તો અથડામણ પછી તેમનો સંયુક્ત વેગ કેટલો હશે?
   • જવાબ: સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ અને કોઈ બાહ્ય બળ ન હોય તો, પદાર્થો સમાન ગતિએ પાછા ઉછળશે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં. જો અથડામણ સંપૂર્ણપણે અસ્થિતિસ્થાપક હશે, તો તેઓ એકબીજા સાથે ચોંટી જશે અને અટકી જશે કારણ કે તેમનો મોમેન્ટા એકબીજાને રદ કરશે.
9. શૂન્યાવકાશમાં (હવાના પ્રતિકાર વિના) હોવા છતાં, ઉછળતા દડા આખરે કેમ બંધ થઈ જાય છે?
   • જવાબ: જ્યારે શૂન્યાવકાશ હવાના પ્રતિકારને દૂર કરે છે, ત્યારે તે બોલને જમીન સાથે અસ્થિતિસ્થાપક અથડામણમાંથી પસાર થવાથી અટકાવતું નથી. દરેક વખતે જ્યારે બોલ ઉછળે છે, ત્યારે કેટલીક ગતિ ઊર્જા અન્ય સ્વરૂપોમાં રૂપાંતરિત થાય છે (જેમ કે ધ્વનિ અથવા વિકૃતિ ઊર્જા), જેના કારણે બોલ દરેક ક્રમિક ઉછાળા સાથે નીચે ઉછળે છે જ્યાં સુધી તે બંધ ન થાય.
10. ફરતી વસ્તુઓ જેવી સિસ્ટમોમાં વેગમાન કેવી રીતે "છુપાયેલું" હોઈ શકે?

• જવાબ: જ્યારે રેખીય ગતિ પદાર્થોની સીધી-રેખા ગતિ જાળવી રાખે છે, ત્યારે ફરતા પદાર્થોમાં કોણીય ગતિ હોય છે. કોઈ પદાર્થ શૂન્ય રેખીય ગતિ ધરાવી શકે છે પરંતુ જો તે ફરતો હોય તો તેમાં નોંધપાત્ર કોણીય ગતિ હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ટેબલ પર સ્થિર સ્પિનિંગ ટોપમાં કોઈ રેખીય ગતિ હોતી નથી પરંતુ તેના સ્પિનને કારણે કોણીય ગતિ ધરાવે છે.