મુક્ત પતન ગતિ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

મુક્ત પતન ગતિ - સમસ્યાઓ અને ઉકેલો

૧. એક પથ્થર ૪૫ મીટરની ઊંચાઈથી મુક્તપણે પડે છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ૧૦ મિલીસેકન્ડ ^-૨ હોય , તો પથ્થર જમીન પર અથડાશે ત્યારે તેની ગતિ કેટલી હશે?

જાણીતા:

ઊંચાઈ (ક) = 45 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે: પથ્થર જમીન પર અથડાતા તેનો અંતિમ વેગ (v _t )

ઉકેલો:

મુક્ત પતન ગતિનું સમીકરણ :

v _t ² = 2 ઘ

પથ્થરનો અંતિમ વેગ:

v _t ² = 2 (10)(45) = 900

v _t = √900 = 30 મીટર/સેકન્ડ ²

2. કોઈ વસ્તુ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત રીતે પડે છે અને શરૂઆતના વેગ વગર પડે છે. તે વસ્તુ 2 સેકન્ડ પછી જમીન પર અથડાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 ms ^-2 છે . ઊંચાઈ નક્કી કરો.

જાણીતા:

સમય અંતરાલ (t) = 2 સેકન્ડ

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે: ઊંચાઈ (ક)

ઉકેલો:

મુક્ત પતન ગતિનું સમીકરણ:

h = ½ gt ²

Heંચાઈ:

h = ½ (10)(2) ² = (5)(4) = 20 મીટર

૩. જમીનથી ૨૦ મીટરની ઊંચાઈએથી ૨ કિલો વજનનો પદાર્થ મુક્ત રીતે પડે છે. હવામાં પદાર્થનો સમય અંતરાલ કેટલો છે? ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ ૧૦ મિલીસેકન્ડ ^{-૨ છે.}

જાણીતા:

ઊંચાઈ (ક) = 20 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

જોઈએ છે : સમય અંતરાલ (t)

ઉકેલો:

મુક્ત પતન ગતિનું સમીકરણ:

h = ½ gt ²

સમય અંતરાલ:

૨૦ = ½ (૧૦)(ટી ^૨ )

૨૦ = (૫)(ટી ^૨ )

૮૦/૫ = ટી ^૨

૧૬ = ટી ^૨

ટી = √4

t = 2 સેકન્ડ

4. બે પદાર્થો, પદાર્થ 1 અને પદાર્થ 2, એક જ સમયે h ₁ અને h ₂ ની ઊંચાઈથી મુક્ત પતન છે . જો h ₁ : h ₂ = 2: 1 હોય, તો પદાર્થ 1 થી પદાર્થ 2 ​​સુધીના સમય અંતરાલનો ગુણોત્તર કેટલો હશે?

જાણીતા:

_{પદાર્થ 1 ​​(h 1} ) ની ઊંચાઈ = 2

_{પદાર્થ 2 ​​(h 2} ) ની ઊંચાઈ = 1

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ = g

જોઈએ છે: ટી ₁ : ટી ₂

ઉકેલો:

ઑબ્જેક્ટ 1 :

h ₁ = 1/2 gt _​​1 ²

૧ = ૧/૨ = _૨ ^૨

(2)(2) = gt ₁ ²

૨ = gt _૨ ^૨

૨/ગ્રામ = ટી _૨ ^૨

ટી ₁ = √4/ગ્રામ

ઑબ્જેક્ટ 2 :

h ₂ = 1/2 gt _​​2 ²

૧ = ૧/૨ = _૨ ^૨

(2)(1) = gt ₂ ²

૨ = gt _૨ ^૨

૨/ગ્રામ = ટી _૨ ^૨

ટી ₂ = √2/ગ્રામ

સમય અંતરાલોનો ગુણોત્તર:

ટી _૧ : ટી _૨

√4/ગ્રામ : √2/ગ્રામ

(√4/ગ્રામ) ² : (√2/ગ્રામ) ²

૪/ગ્રામ : ૨/ગ્રામ

4: 2

2: 1

5. જમીનથી h ની ઊંચાઈએથી પડેલો પદાર્થ. જ્યારે પદાર્થ જમીન પર અથડાય છે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ 10 મીટર/સેકન્ડ છે. જમીનથી ½ કલાક ઉપર પહોંચવા માટે કેટલો સમય અંતરાલ છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 મીટર/સેકન્ડ છે ².

જાણીતા:

અંતિમ વેગ (v _t ) = 10 m/s

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

ઇચ્છિત: જમીનથી 1/2 કલાક ઉપર પહોંચવા માટેનો સમય અંતરાલ

ઉકેલો:

h ની ઊંચાઈ:

v _t ² = 2 ઘ

૧૦ ^૨ = ૨ (૧૦) ક

૯૦૦ = ૧૯.૬ કલાક

h = 100/20

h = 5 મીટર

૧/૨ કલાકની ઊંચાઈ = ૧/૨ (૫ મીટર) = ૨.૫ મીટર. જમીનથી ૨.૫ મીટર ઉપર પહોંચવા માટે જરૂરી સમય અંતરાલ:

h = 1/2 ગ્રામ ²

૦.૫ = ૧/૨ (૧૦) ટી ^૨

૦.૫ = ૫ ટી ^૨

ટી ² = 2.5 / 5 = 0.5 = (0.25)(2)

t = √(0.25)(2) = 0.5√2 = 1/2 √2 સેકન્ડ

6.

નારિયેળની મુક્ત પતન ગતિ ( આકૃતિ 1 ) અને વિદ્યાર્થી દ્વારા ઉચ્ચતમ બિંદુ t સુધી ઊભી રીતે ફેંકવામાં આવેલા બોલની ગતિ ( આકૃતિ e 2). બંને ગતિનો પ્રકાર નક્કી કરો.

ઉકેલો:

આકૃતિ 1 = મુક્ત પતન ગતિ = પ્રવેગ

આકૃતિ 2 = ઊભી ગતિ = મંદી

સાચો જવાબ એ છે.

7. એક પથ્થર ઇમારત પરથી મુક્તપણે પડે છે. પથ્થરને જમીન પર પહોંચવા માટે 3 સેકન્ડનો સમય અંતરાલ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ 10 મીટર/સેકન્ડ છે ^2. ઇમારતની ઊંચાઈ નક્કી કરો.

A. 15 મી.

બી. ૭૦ મી.

સી. 30 મી

ડી. ૫ મી.

જાણીતા:

સમય અંતરાલ (t) = 3 સેકન્ડ

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

જોઈતું: ઇમારતની ઊંચાઈ (h)

ઉકેલો:

જાણીતું: સમય અંતરાલ (t) અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g), ઇચ્છિત: ઊંચાઈ (h) તેથી મુક્ત પતન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરો: h = ½ gt ²

h = ½ (10)(3)

h = (5)(3)

h = 15 મીટર

સાચો જવાબ એ છે.

8. એક ફળ જમીનથી 12 મીટરની ઊંચાઈએ તેના ઝાડ પરથી મુક્તપણે પડે છે. જો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ g = 10 m/s ² હોય અને હવાના ઘર્ષણને અવગણવામાં આવે, તો 1 સેકન્ડ પછી જમીનથી ફળની ઊંચાઈ નક્કી કરો.

A. 7 મી.

બી. ૭૦ મી.

સી. 5 મી

ડી. ૫ મી.

જાણીતા:

ઝાડની ઊંચાઈ (h) = 12 મીટર

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 m/s ²

સમય અંતરાલ (t) = 1 સેકન્ડ

જોઈએ છે: જમીનથી ઉપર ફળની ઊંચાઈ

ઉકેલો:

૧ સેકન્ડ પછી, ફળ મુક્ત નીચે મુજબ નીચે મુજબ પડે છે:

h = ½ gt ² = ½ (10)(1) ² = (5)(1) = 5 મીટર

૧ સેકન્ડ પછી ફળની જમીનથી ઊંચાઈ :

૧૨ મીટર – ૫ મીટર = ૭ મીટર

સાચો જવાબ એ છે.

1. મુક્ત પતન ગતિ શું છે?

   જવાબ : મુક્ત પતન ગતિ એ ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ બળના પ્રભાવ હેઠળ પદાર્થની ગતિનો ઉલ્લેખ કરે છે, જેમાં અન્ય કોઈ બળ (જેમ કે હવા પ્રતિકાર) કાર્ય કરતું નથી.

2. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ કેવી રીતે થાય છે, જેને ઘણીવાર તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે $g$, મુક્તપણે પડતી વસ્તુને અસર કરે છે?

   જવાબ : પૃથ્વીની સપાટીની નજીક મુક્ત પતનમાં રહેલા બધા પદાર્થો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સતત પ્રવેગ અનુભવે છે, $g$ , જે લગભગ 9.81 m/s ² નીચે તરફ છે. આનો અર્થ એ થાય કે મુક્ત પતનના દરેક સેકન્ડ માટે પદાર્થનો વેગ આ રકમથી વધે છે.

3. જો હવાનો પ્રતિકાર નહિવત્ હોય, તો પદાર્થનું દળ તેના મુક્ત પતન પ્રવેગને કેવી રીતે પ્રભાવિત કરે છે?

   જવાબ : હવાના પ્રતિકારની ગેરહાજરીમાં, પદાર્થનું દળ તેના મુક્ત પતન પ્રવેગને પ્રભાવિત કરતું નથી. બધા પદાર્થો, તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વિના, ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન પ્રવેગ સાથે પડશે, $g$.

4. જો ગુરુત્વાકર્ષણ હજુ પણ આંતરરાષ્ટ્રીય અવકાશ મથક (ISS) માં હાજર હોય તો અવકાશયાત્રીઓ અંદર કેમ તરતા દેખાય છે?

   જવાબ : ISS ની અંદર અવકાશયાત્રીઓ તરતા દેખાય છે કારણ કે ત્યાં ગુરુત્વાકર્ષણ નથી, પરંતુ કારણ કે અવકાશયાત્રીઓ અને ISS બંને પૃથ્વીની આસપાસ સતત મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં છે. તેઓ મૂળભૂત રીતે ISS ની જેમ જ દરે પડી રહ્યા છે, જે વજનહીનતાની લાગણી પેદા કરે છે.

5. મુક્ત પતનના સંદર્ભમાં વજન અને દળ વચ્ચે શું તફાવત છે?

   જવાબ : દળ એ પદાર્થમાં રહેલા પદાર્થના જથ્થાનું માપ છે અને તેનું સ્થાન ગમે તે હોય, તે સ્થિર રહે છે. બીજી બાજુ, વજન એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પદાર્થ પર લાગતું બળ છે. તે ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રના આધારે બદલાય છે. મુક્ત પતન દરમિયાન, પદાર્થ વજનહીન લાગે છે કારણ કે તેના પર કોઈ સામાન્ય બળ કાર્ય કરતું નથી, પરંતુ તેનું દળ યથાવત રહે છે.

6. જો કોઈ વસ્તુ ઉપર ફેંકવામાં આવે, તો તેના ઉપર ચઢતા વેગનું શું થાય છે? અને જ્યારે તે પાછું નીચે પડવાનું શરૂ કરે છે ત્યારે શું થાય છે?

   જવાબ : જ્યારે કોઈ વસ્તુ ઉપર ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણના પ્રભાવ હેઠળ ધીમી પડે છે. તેનો વેગ ઘટે છે જ્યાં સુધી તે તેના ઉચ્ચતમ બિંદુએ શૂન્ય ન થઈ જાય. જેમ જેમ તે પાછું નીચે પડવાનું શરૂ કરે છે, તેમ તેમ તે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે વેગ મેળવે છે, અને નીચેની દિશામાં તેનો વેગ વધે છે.

7. મુક્ત પતનના સંદર્ભમાં ટર્મિનલ વેગ શું છે?

   જવાબ : અંતિમ વેગ એ પડતી વસ્તુ દ્વારા પ્રાપ્ત થતો સતત મહત્તમ વેગ છે જ્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે તરફ હવાના પ્રતિકાર બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે. આ બિંદુએ, પદાર્થ હવે વેગ આપતો નથી અને સતત ગતિએ પડતો રહે છે.

8. કોઈ વસ્તુ જે ઊંચાઈ પરથી પડે છે તે જમીન પર પહોંચવામાં લાગતા સમયને કેવી રીતે અસર કરે છે?

   જવાબ : કોઈ પણ વસ્તુને જમીન પર પહોંચતા લાગતો સમય તે જે ઊંચાઈ પરથી પડે છે તેના વર્ગમૂળના પ્રમાણસર હોય છે (ધારી લઈએ કે તેમાં હવાનો પ્રતિકાર નથી). મોટી ઊંચાઈથી ફેંકવામાં આવેલી વસ્તુને જમીન પર પહોંચવામાં ઓછી ઊંચાઈથી ફેંકવામાં આવેલી વસ્તુ કરતાં વધુ સમય લાગશે.

9. ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ મુક્તપણે આવતા પદાર્થની સ્થિતિજ ઊર્જાનું શું થાય છે?

   જવાબ : જેમ જેમ કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હેઠળ મુક્તપણે પડે છે, તેમ તેમ તેની સ્થિતિ ઊર્જા (જમીનની સાપેક્ષમાં) ઘટે છે. સ્થિતિ ઊર્જામાં આ ઘટાડો ગતિ ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે, જેના કારણે પદાર્થની ગતિ વધે છે.

10. જો બે અલગ અલગ આકારના પરંતુ સમાન દળના પદાર્થોને સમાન ઊંચાઈથી શૂન્યાવકાશમાં છોડવામાં આવે, તો કયું પદાર્થ પહેલા જમીન પર અથડાશે?

જવાબ : શૂન્યાવકાશમાં, જ્યાં હવાનો પ્રતિકાર ન હોય, ત્યાં બંને પદાર્થો એક જ સમયે જમીન પર અથડાશે. તેમનો આકાર કોઈ ફરક પાડશે નહીં કારણ કે ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ તેમના પર કાર્ય કરે છે, અને તેમના દળ સમાન હોય છે.