સાતત્ય સમીકરણ સામગ્રી
નળમાંથી પાણી નીકળતું જોવાની સાથે ધીમે ધીમે પાણીનો નળ ખોલવાનો પ્રયાસ કરો. એકવાર નળ ફરવાનું બંધ થઈ જાય, પછી તમારા હાથથી નળને આંશિક રીતે બંધ કરો. હવે સરખામણી કરો કે કયો પાણીનો પ્રવાહ વધારે છે. જ્યારે આંશિક રીતે બંધ હોય કે અનબ્લોક હોય? જો તમારી પાસે ફૂલોને પાણી આપવા માટે ઉપયોગમાં લેવાતી નળી હોય, તો તેમાંથી પાણી વહેવા દો. તમારા હાથ અથવા આંગળીથી નળીને આંશિક રીતે બંધ કરો. નળીનો જેટલો વધુ ભાગ અવરોધિત હશે, તેટલું ઝડપથી પાણી બહાર નીકળશે. તેનાથી વિપરીત, જો નળી અવરોધિત ન હોય, તો પાણી ઓછું ઝડપથી વહેશે. આવું શા માટે છે? આ સમજવા માટે, કૃપા કરીને સાતત્ય સમીકરણનો અભ્યાસ કરો.
સુવ્યવસ્થિતતા અને પ્રવાહ નળીઓ
સૌપ્રથમ, ચાલો સ્ટ્રીમલાઈન અને ફ્લો ટ્યુબના ખ્યાલોને સમજીએ. આ ખ્યાલ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તે તમને સાતત્ય સમીકરણ સમજવામાં મદદ કરશે.
સ્ટ્રીમ લાઇન
નીચેની છબી જુઓ, વાદળી રેખા સ્ટ્રીમલાઇન છે.
સ્થિર પ્રવાહમાં, બિંદુ A, કહો કે બિંદુ પર દરેક પ્રવાહી કણનો વેગ સ્થિર રહે છે. જેમ જેમ તે બિંદુ B પસાર કરે છે, તેમ તેમ પ્રવાહી કણોનો વેગ બદલાઈ શકે છે. જોકે, બિંદુ B પર પહોંચ્યા પછી, પાછળ આવતા પ્રવાહી કણો તેમની આગળના પ્રવાહી કણો જેટલા જ વેગથી વહેતા રહે છે. બિંદુ C પર પહોંચતી વખતે પણ આ જ વાત લાગુ પડે છે, અને તેથી આગળ. સુવ્યવસ્થિત બિંદુ A, B અને C ને જોડતો વળાંક છે.
ફ્લો ટ્યુબ
મૂળભૂત રીતે, આપણે પ્રવાહી પ્રવાહના દરેક બિંદુ દ્વારા દરેક પ્રવાહ દોરી શકીએ છીએ. જો આપણે સ્થિર પ્રવાહી પ્રવાહને ધ્યાનમાં લઈએ, તો કાલ્પનિક સપાટી ક્ષેત્ર (કાલ્પનિક સપાટી ક્ષેત્ર) પર ચોક્કસ ખૂણામાંથી પસાર થતી સંખ્યાબંધ પ્રવાહ નળી બનાવે છે. કોઈ પ્રવાહી કણો એકબીજાને છેદે નહીં પરંતુ હંમેશા સમાંતર હોય છે, અને પ્રવાહ નળી એક પાઇપ જેવી હશે જેનો આકાર હંમેશા સમાન હોય છે. નળીના એક છેડે પ્રવેશતું પ્રવાહી બીજા છેડે ટ્યુબમાંથી બહાર નીકળી જશે.
ડેબિટ
ડિસ્ચાર્જ ચોક્કસ સમયગાળામાં ચોક્કસ ક્રોસ-સેક્શનમાંથી વહેતા પ્રવાહીના જથ્થાને દર્શાવે છે. ગાણિતિક રીતે, તેને નીચે મુજબ વ્યક્ત કરી શકાય છે:
તમારી સમજણ વધારવા માટે, ચાલો એક ઉદાહરણનો ઉપયોગ કરીએ. ધારો કે એક પ્રવાહી પાઇપમાંથી વહે છે. પાઇપ સામાન્ય રીતે નળાકાર હોય છે અને તેનો ચોક્કસ ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર હોય છે. પાઇપની લંબાઈ પણ હોય છે.
જ્યારે પ્રવાહી પાઇપમાં L સુધી વહે છે, ત્યારે પાઇપમાં પ્રવાહીનું પ્રમાણ V = AL (V = પ્રવાહીનું પ્રમાણ, A = ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા અને L = પાઇપ લંબાઈ) હોય છે. કારણ કે પાઇપમાં L સાથે પ્રવાહ દરમિયાન પ્રવાહી ચોક્કસ સમય અંતરાલમાં મુસાફરી કરે છે, તો આપણે કહી શકીએ કે પ્રવાહીના વિસર્જનનું પ્રમાણ છે:
કારણ કે v = s/t = L/t —> L = vt, ઉપરોક્ત સમીકરણ આમાં બદલાય છે:
આમ, જ્યારે પ્રવાહી ચોક્કસ ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર અને લંબાઈ ધરાવતા પાઇપમાંથી ચોક્કસ સમય અંતરાલ માટે વહે છે, ત્યારે પ્રવાહી સ્રાવ (Q) નું મૂલ્ય પ્રવાહી પ્રવાહ વેગ (v) દ્વારા ગુણાકાર કરાયેલ ક્રોસ-સેક્શનલ સપાટી ક્ષેત્ર (A) જેટલું હોય છે.
સાતત્ય સમીકરણ
નીચેની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, વિવિધ વ્યાસવાળા પાઇપમાં પ્રવાહી પ્રવાહનો વિચાર કરો.
આ છબી ડાબેથી જમણે પ્રવાહી પ્રવાહ દર્શાવે છે (મોટા વ્યાસવાળા પાઇપથી નાના વ્યાસવાળા પાઇપમાં પ્રવાહી પ્રવાહ). ડોટેડ રેખાઓ સ્ટ્રીમલાઇન છે.
છબી કૅપ્શન: A 1 = મોટા વ્યાસના પાઇપ વિભાગનો ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર, A 2 = નાના વ્યાસના પાઇપ વિભાગનો ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર, v 1 = મોટા વ્યાસના પાઇપ વિભાગમાં પ્રવાહી પ્રવાહ વેગ, v 2 = નાના વ્યાસના પાઇપ વિભાગમાં પ્રવાહી પ્રવાહ વેગ, L = પ્રવાહી દ્વારા મુસાફરી કરેલ અંતર.
પ્રવાહી ગતિશીલતાના પરિચયમાં, એ સમજાવવામાં આવ્યું હતું કે પ્રવાહી ગતિશીલતામાં, આપણે એવા પ્રવાહીના પ્રવાહની ચર્ચા કરીએ છીએ જે સંકોચનશીલ, અદ્રશ્ય, અશાંત અને સ્થિર હોય છે. સ્થિર પ્રવાહમાં, એક બિંદુ પર પ્રવાહી કણોનો વેગ તે બિંદુમાંથી પસાર થતા અન્ય પ્રવાહી કણોના વેગ જેટલો જ હોય છે. પ્રવાહી પ્રવાહ પણ એકબીજાને છેદતા નથી (સ્ટ્રીમલાઇન્સ સમાંતર હોય છે). તેથી, પાઇપના એક છેડે પ્રવેશતા પ્રવાહીનો સમૂહ બીજા છેડેથી બહાર નીકળતા પ્રવાહીના સમૂહ જેટલો હોવો જોઈએ. જો ચોક્કસ દળ ધરાવતો પ્રવાહી મોટા વ્યાસવાળા પાઇપમાં પ્રવેશ કરે છે, તો પ્રવાહી નાના વ્યાસવાળા પાઇપમાંથી સતત દળ સાથે બહાર નીકળી જશે.
હવે, ઉપરના પાઇપનું ચિત્ર જુઓ. મોટા વ્યાસવાળા પાઇપના ભાગ અને નાના વ્યાસવાળા પાઇપના ભાગને જુઓ.
ચોક્કસ સમય અંતરાલ દરમિયાન, મોટા વ્યાસ (A) વાળા પાઇપના ભાગમાંથી ચોક્કસ માત્રામાં પ્રવાહી વહે છે.1) જ્યાં સુધી L1 (L1 = વી1 t) વહેતા પ્રવાહીનું કદ V છે1 = એ1 L1 = એ1 v1 t. તે જ સમય અંતરાલ દરમિયાન, નાના વ્યાસ (A) વાળા પાઇપના એક ભાગમાંથી પ્રવાહીનો બીજો જથ્થો વહે છે.2) જ્યાં સુધી L2 (L2 = વી2 t) વહેતા પ્રવાહીનું કદ V છે2 = એ2 L2 = એ2 v2 t.
અસંકુચિત પ્રવાહી માટે સાતત્ય સમીકરણ (સંકોચન ન કરી શકાય તેવું)
સૌ પ્રથમ, ચાલો એક અસંકુચિત પ્રવાહીના કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ. એક અસંકુચિત પ્રવાહીમાં, પ્રવાહીની ઘનતા અથવા દળ, તે પસાર થતા દરેક બિંદુએ હંમેશા સમાન હોય છે. ચોક્કસ સમય અંતરાલ દરમિયાન ક્રોસ-સેક્શનલ ક્ષેત્ર A1 ( પાઇપનો મોટો વ્યાસ) ધરાવતા પાઇપમાં વહેતા પ્રવાહીનું દળ છે:
તેવી જ રીતે, ચોક્કસ સમય અંતરાલ દરમિયાન A 2 (નાના પાઇપ વ્યાસ) ના ક્રોસ-સેક્શનલ ક્ષેત્રફળવાળા પાઇપમાં વહેતા પ્રવાહીનું દળ છે:
સ્થિર પ્રવાહમાં, પ્રવેશતા પ્રવાહીનું દળ બહાર નીકળતા પ્રવાહીના દળ જેટલું જ હોય છે તે ધ્યાનમાં લેતા, પછી:
મી ૧ = મી ૨
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (પ્રવાહી ઘનતા અને સમય અંતરાલ સમાન છે તેથી તે રદ થાય છે)
A 1 વિ 1 = A 2 વિ 2
તેથી, અસંકુચિત પ્રવાહીમાં, સાતત્ય સમીકરણ લાગુ પડે છે:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — સમીકરણ 1
માહિતી:
A 1 = ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા 1, A 2 = ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા 2, v 1 = ક્રોસ-સેક્શન 1 પર પ્રવાહી પ્રવાહ વેગ, v 2 = ક્રોસ-સેક્શન 2 પર પ્રવાહી પ્રવાહ વેગ, A v = વોલ્યુમ ફ્લો રેટ V/t ઉર્ફે ડિસ્ચાર્જ
સમીકરણ 1 દર્શાવે છે કે પાઇપ અથવા ફ્લો ટ્યુબ સાથેના દરેક બિંદુએ વોલ્યુમ ફ્લો રેટ, જેને ડિસ્ચાર્જ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે, તે હંમેશા સમાન હોય છે. જેમ જેમ પાઇપ ક્રોસ-સેક્શન ઘટે છે, પ્રવાહી ફ્લો રેટ વધે છે; તેનાથી વિપરીત, જેમ જેમ પાઇપ ક્રોસ-સેક્શન વધે છે, પ્રવાહી ફ્લો રેટ ઘટે છે.
જ્યારે આપણે નળને આંશિક રીતે પ્લગ કરીએ છીએ, ત્યારે પાણીનો પ્રવાહ નળ આંશિક રીતે બંધ હોય તેના કરતા ઝડપી બને છે. આનું કારણ એ છે કે નળ આંશિક રીતે બંધ હોય ત્યારે નળનો ક્રોસ-સેક્શનલ વિસ્તાર ઘટે છે, જેનાથી પાણીનો પ્રવાહ દર વધે છે (પ્રવાહી ઝડપથી વહે છે). નળીઓ માટે પણ આ જ વાત સાચી છે. જો કે, એ નોંધવું મહત્વપૂર્ણ છે કે નળ આંશિક રીતે બંધ હોય કે ન હોય, પાણીના પ્રવાહ સાથેના તમામ બિંદુઓ પર ડિસ્ચાર્જ અથવા વોલ્યુમેટ્રિક પ્રવાહ દર સમાન રહે છે. તેથી, પ્રવાહી પ્રવાહ દરમાં શું ફેરફાર થાય છે તે છે.
તો નદીમાં પાણીના પ્રવાહનું શું? નદીના ઊંડા ભાગોમાં છીછરા ભાગો કરતાં ક્રોસ-સેક્શન વધારે હોય છે, તેથી ઊંડા ભાગોમાં પાણીનો પ્રવાહ છીછરા ભાગો કરતાં ઓછો હોય છે. જો તમે ખૂબ જ શાંત નદીનો પ્રવાહ જુઓ છો, તો તેનો અર્થ એ કે નદી ઊંડી છે. પરંતુ જો નદી અચાનક ઝડપથી વહેતી થઈ જાય, તો તે ભાગ ચોક્કસપણે છીછરો છે. જોકે, પાણીના જથ્થાના પ્રવાહનો દર હંમેશા સમાન રહે છે, પછી ભલે તે નદીના ઊંડા હોય કે શાંત ભાગોમાં.
સંકોચનીય પ્રવાહી માટે સાતત્ય સમીકરણ (સંકોચનક્ષમ)
સંકોચનશીલ પ્રવાહીના કિસ્સામાં , પ્રવાહીની ઘનતા હંમેશા સમાન હોતી નથી. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, સંકોચન થાય ત્યારે પ્રવાહીની ઘનતા બદલાય છે. જ્યારે અસંકુચિત પ્રવાહીમાં , પ્રવાહીની ઘનતા સમીકરણમાંથી બાકાત રાખવામાં આવે છે, આ કિસ્સામાં, પ્રવાહીની ઘનતા હજુ પણ શામેલ છે. અગાઉ મેળવેલા સમીકરણનો ઉલ્લેખ કરીને, ચાલો સંકોચનશીલ પ્રવાહી માટે સમીકરણ મેળવીએ.
સ્થિર પ્રવાહમાં, પ્રવેશતા પ્રવાહીનું દળ બહાર નીકળતા પ્રવાહીના દળ જેટલું જ હોય છે તે ધ્યાનમાં લેતા, પછી:
મી ૧ = મી ૨
ρ એ 1 વિ 1 ટી = ρ એ 2 વિ 2 ટી
પ્રવાહી પ્રવાહનો સમય અંતરાલ સમાન છે જેથી તેને દૂર કરી શકાય. સમીકરણ આમાં બદલાય છે:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → સમીકરણ 2
આ સંકુચિત પ્રવાહી માટેનું સમીકરણ છે. તફાવત ફક્ત પ્રવાહીની ઘનતામાં રહેલો છે. જ્યારે પ્રવાહી સંકુચિત થાય છે, ત્યારે તેની ઘનતા બદલાય છે. તેનાથી વિપરીત, જ્યારે પ્રવાહી સંકુચિત ન થાય, ત્યારે તેની ઘનતા સ્થિર રહે છે અને તેને રદ કરી શકાય છે.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨:
૧૦ સે.મી. વ્યાસવાળા પાઇપમાંથી પાણી ૨ મીટર/સેકન્ડની ઝડપે વહે છે. પાણીનો નિકાલ કેટલો છે?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
પાઇપ વ્યાસ = 10 સેમી (આ પાઇપનો આંતરિક વ્યાસ છે)
પાઇપ (r) ની ત્રિજ્યા = 5 સેમી = 0,05 મીટર
v પાણી = 2 મીટર/સેકન્ડ
પૂછ્યું: ડેબિટ
જવાબ :
ક્યૂ = એ વિ
Q = ( π r 2 ) (2 મીટર/સેકન્ડ)
Q = (3,14)(0,05 મીટર) 2 (2 મીટર/સેકન્ડ)
Q = (3,14)(0,0025 મીટર 2 )(2 મીટર/સેકન્ડ)
ક્યૂ = 0,0157 મીટર 3 / સે
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨:
20 સેમી વ્યાસ ધરાવતી પાણીની પાઇપ 10 સેમી વ્યાસ ધરાવતી બીજી પાઇપ સાથે જોડાયેલ છે. જો 20 સેમી વ્યાસ ધરાવતી પાઇપમાં પાણીનો પ્રવાહ દર = 4 મીટર/સેકન્ડ હોય, તો 10 સેમી વ્યાસ ધરાવતી પાઇપમાં પાણીનો પ્રવાહ દર કેટલો હશે?
ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
વ્યાસ ૧ = ૨૦ સેમી (r ૧ = ૧૦ સેમી = ૦.૧ મીટર)
વિરુદ્ધ 1 = 4 મીટર/સેકન્ડ
વ્યાસ 2 = 10 સેમી (r 2 = 5 સેમી = 0,05 મીટર)
પૂછવામાં આવ્યું: v 1
જવાબ :
પ્રશ્ન ૧ = પ્રશ્ન ૨
A 1 વિ 1 = A 2 વિ 2
( π r 12 ) ( 4 m/s) = ( π r 22 ) ( v 2 )
(0,1 મીટર) 2 (4 મીટર/સેકન્ડ) = (0,05 મીટર) 2 (v 2 )
(0,01 મીટર 2 )(4 મીટર/સેકન્ડ) = (0,0025 મીટર 2 )(v 2 )
(0,04 મીટર 3 /સેકન્ડ) = (0,0025 મીટર 2 )(v 2 )
વિરુદ્ધ 2 = 16 મીટર/સેકન્ડ
