બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત અને સમીકરણ

બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત અને સમીકરણ સામગ્રી

જ્યારે આપણે મોટરસાઇકલ ખૂબ ઝડપથી ચલાવીએ છીએ, ત્યારે આપણે પહેરેલા કપડાં પાછળનો ભાગ ફૂલી જાય છે. જો તમે હજુ સુધી મોટરસાઇકલ ચલાવી શકતા નથી, તો તમારા માતા-પિતા અથવા મિત્રો પર ધ્યાન આપો જે મોટરસાઇકલ ચલાવે છે. મોટરસાઇકલ ઝડપથી ચાલી રહી હોય ત્યારે તેમના કપડાંનો પાછળનો ભાગ સામાન્ય રીતે પાછળનો ભાગ ફૂલી જાય છે. ક્યારેક જ્યારે પવન જોરથી ફૂંકાય છે, ત્યારે ઘરનો દરવાજો જાતે જ બંધ થઈ શકે છે. ભલે પવન ઘરની બહાર ફૂંકાઈ રહ્યો હોય, જ્યારે દરવાજો ઘરની અંદર હોય.

આને બર્નૌલીના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને સમજાવી શકાય છે. ડેનિયલ બર્નૌલી (૧૭૦૦-૧૭૮૨) એ એક સિદ્ધાંત શોધ્યો જેનો ઉપયોગ ઉપરોક્ત કેટલીક બાબતોને સમજાવવા માટે થઈ શકે છે.

બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત

બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જ્યાં પ્રવાહી પ્રવાહનો વેગ વધારે હોય છે, ત્યાં પ્રવાહીનું દબાણ ઓછું હોય છે. તેનાથી વિપરીત, જો પ્રવાહી પ્રવાહનો વેગ ઓછો હોય છે, તો દબાણ વધારે બને છે. જ્યારે મોટરસાઇકલ ઝડપથી ચાલે છે, ત્યારે તમારા શરીરની આગળ અને બાજુમાં હવાનો વેગ વધારે હોય છે. આમ, હવાનું દબાણ ઓછું થાય છે. તમારા શરીરનો પાછળનો ભાગ તમારા શરીરના આગળના ભાગ દ્વારા અવરોધિત થાય છે, તેથી તમારા શરીરની પાછળનો હવાનો વેગ ઊંચો (તમારા શરીરની પાછળ) બદલાતો નથી. પરિણામે, તમારા શરીરની પાછળનો હવાનો દબાણ વધારે બને છે. કારણ કે હવાના દબાણમાં તફાવત હોય છે, જ્યાં તમારા શરીરની પાછળનો હવાનો દબાણ વધારે હોય છે, ત્યાં હવા તમારા શર્ટને પાછળ ધકેલે છે, જેનાથી એવું લાગે છે કે તે પાછળથી ફૂલી ગયું છે.

જે દરવાજો બહાર જોરથી પવન ફૂંકાય ત્યારે પોતાની મેળે બંધ થઈ જાય છે તેનું શું? બહારની હવા અંદરની હવા કરતાં વધુ ઝડપથી ફરે છે. પરિણામે, બહારનું હવાનું દબાણ અંદરના હવાના દબાણ કરતાં ઓછું હોય છે. આ દબાણના તફાવતને કારણે, જ્યાં અંદરનું હવાનું દબાણ વધારે હોય છે, ત્યાં દરવાજો બહારની તરફ ધકેલવામાં આવે છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, દરવાજો વધુ હવાના દબાણવાળા સ્થળેથી ઓછા હવાના દબાણવાળા સ્થળે ખસે છે.

બર્નૌલીનું સમીકરણ

પહેલાં, આપણે બર્નૌલીના સિદ્ધાંત વિશે શીખ્યા. બર્નૌલીએ આ સિદ્ધાંત માત્રાત્મક રીતે પણ વિકસાવ્યો હતો. બર્નૌલી સમીકરણ મેળવવા માટે, આપણે સ્થિર, લેમિનર પ્રવાહી પ્રવાહ, અસંકોચનક્ષમતા અને ઓછી સ્નિગ્ધતા ધારીએ છીએ, જેને અવગણી શકાય છે.

સાતત્ય સમીકરણની ચર્ચામાં, આપણે શીખ્યા કે પ્રવાહી પ્રવાહ દર પ્રવાહ નળીના ક્રોસ-સેક્શનલ ક્ષેત્રના આધારે પણ બદલાઈ શકે છે. ઉપર વર્ણવેલ બર્નૌલી સિદ્ધાંતના આધારે, પ્રવાહી પ્રવાહ દરના આધારે પ્રવાહી દબાણ પણ બદલાઈ શકે છે. પ્રવાહી દબાણ પ્રવાહીની ઊંચાઈના આધારે પણ બદલાઈ શકે છે. દબાણ, પ્રવાહ દર અને પ્રવાહ ઊંચાઈ વચ્ચેનો સંબંધ બર્નૌલી સમીકરણમાંથી મેળવી શકાય છે.

બર્નૌલી સમીકરણ ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કારણ કે તેનો ઉપયોગ વિમાન ઉડાન, જળવિદ્યુત મથકો, પાઇપિંગ સિસ્ટમ્સ વગેરેનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થઈ શકે છે. આપણે જે બર્નૌલી સમીકરણ મેળવીશું તેને સામાન્ય રીતે લાગુ પાડવા માટે, આપણે ધારીશું કે પ્રવાહી અસમાન ક્રોસ-સેક્શનલ ક્ષેત્રો અને વિવિધ ઊંચાઈઓ ધરાવતી ફ્લો ટ્યુબમાંથી વહે છે (નીચેની આકૃતિ જુઓ). બર્નૌલી સમીકરણ મેળવવા માટે, આપણે ફ્લો ટ્યુબ ક્ષેત્રમાં પ્રવાહી પર કાર્ય અને ઊર્જા પ્રમેય લાગુ કરીએ છીએ. આગળ, આપણે પ્રવાહીની માત્રા અને પ્રવાહીને ખસેડવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્યની ગણતરી કરીશું.

છબીમાં ફ્લો ટ્યુબમાં અપારદર્શક રંગ પ્રવાહી પ્રવાહ સૂચવે છે જ્યારે સફેદ રંગ પ્રવાહી ન હોવાનો સંકેત આપે છે.

ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા 1 (ડાબી બાજુ) માં રહેલો પ્રવાહી L ₁ ના અંતરે વહે છે અને ક્રોસ-સેક્શન 2 (જમણી બાજુ) માં રહેલ પ્રવાહીને L ₂ ના અંતરે જવા માટે દબાણ કરે છે . જમણી બાજુનો ક્રોસ-સેક્શનલ એરિયા 2 નાનો હોવાથી, ફ્લો ટ્યુબની જમણી બાજુનો પ્રવાહી પ્રવાહ દર વધારે છે (સાતત્ય સમીકરણ યાદ રાખો). આ ક્રોસ-સેક્શન 2 (ફ્લો ટ્યુબની જમણી બાજુ) અને ક્રોસ-સેક્શન 1 (ફ્લો ટ્યુબની ડાબી બાજુ) વચ્ચે દબાણ તફાવતનું કારણ બને છે - બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત યાદ રાખો. ક્રોસ-સેક્શન 1 ની ડાબી બાજુનો પ્રવાહી જમણી બાજુના પ્રવાહી પર P _{1 દબાણ લાવે છે અને નીચે મુજબ કાર્ય કરે છે:}

પછી સમીકરણ W ₁ ને આ રીતે લખી શકાય છે:

ડબલ્યુ ₁ = પી ₁ એ ₁ એલ ₁

ક્રોસ સેક્શન 2 (ફ્લો ટ્યુબની જમણી બાજુ) પર, પ્રવાહી પર કરવામાં આવેલ કાર્ય છે:

ડબલ્યુ ₂ = − પી ₂ એ ₂ એલ ₂

નકારાત્મક ચિહ્ન સૂચવે છે કે લાગુ બળ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ છે. તેથી પ્રવાહી ભાગ 2 ની જમણી બાજુએ કાર્ય કરે છે. વધુમાં, ગુરુત્વાકર્ષણ બળ પણ પ્રવાહી પર કાર્ય કરે છે. ઉપરોક્ત કિસ્સામાં, પ્રવાહીનો ચોક્કસ સમૂહ ભાગ 1 થી ભાગ ₂ થી ભાગ 2 સુધી L ₂ સુધી ખસેડવામાં આવે છે , જ્યાં ભાગ 1 (A ₁ L _{1 ) પર પ્રવાહીનું કદ = ભાગ 2 (A 2} L ₁ ) પર પ્રવાહીનું કદ . ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા કરવામાં આવતું કાર્ય છે:

ડબલ્યુ ₃ = − મિલિગ્રામ (h ₂ − h ₁ )

ડબલ્યુ ₃ = − એમજીએચ ₂ + એમજીએચ ₁ )

ડબલ્યુ ₃ = એમજીએચ ₁ − એમજીએચ ₂

ગુરુત્વાકર્ષણ દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રવાહી ઉપર તરફ વહેતું હોવાથી નકારાત્મક સંકેત મળે છે. આમ, ઉપરની આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, પ્રવાહી પર કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય નીચે મુજબ છે:

ડબલ્યુ = ડબલ્યુ ₁ + ડબલ્યુ ₂ + ડબલ્યુ ₃

ડબલ્યુ = પી _૧ એ _૧ એલ _૧ ‐ પી _૨ એ _૨ એલ _૨ + એમજીએચ _૧ ‐ એમજીએચ _૨

કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય જણાવે છે કે સિસ્ટમ પર કરવામાં આવેલ કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર જેટલું છે. આમ, આપણે કાર્ય (W) ને ગતિ ઊર્જામાં ફેરફાર (EK ₂ − EK ₁ ) સાથે બદલી શકીએ છીએ.

આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

ડબલ્યુ = પી _૧ એ _૧ એલ _૧ ‐ પી _૨ એ _૨ એલ _૨ + એમજીએચ _૧ ‐ એમજીએચ _૨

EK ₂ - EK ₁ = P ₁ A ₁ L ₁ - P ₂ A ₂ L ₂ + mgh ₁ - mgh ₂

૧/૨ મીટર વી _૨ ^૨ ‐ ૧/૨ મીટર વી _૧ ^૨ = પી _૧ એ _૧ લ _૧ ‐ પી _૨ એ _૨ લ _૨ + એમજીએચ _૧ ‐ એમજીએચ _૨

ક્રોસ સેક્શન A _{1 પર L 1} ના અંતરે વહેતા પ્રવાહીનું દળ = L ₂ ના અંતરે વહેતા પ્રવાહીનું દળ (વિભાગ A _{2 ). પ્રવાહીના દળ, કહો કે m, માં A 1} L ₁ અને A ₂ L ₂ નું કદ હોય છે જ્યાં A ₁ L ₁ = A ₂ L ₂ (L _{2 L 1} કરતા લાંબો છે ).

હવે આપણે ઉપરના સમીકરણમાં m ને m = ρ AL થી બદલીએ છીએ, અથવા બદલીએ છીએ:

આ બર્નૌલી સમીકરણ છે. આપણે કાર્ય-ઊર્જા સિદ્ધાંતના આધારે બર્નૌલી સમીકરણ મેળવ્યું છે, તેથી તે ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમનું એક સ્વરૂપ છે.

માહિતી:

પી = દબાણ

ρ = પ્રવાહીની ઘનતા

v = પ્રવાહી પ્રવાહ વેગ

g = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ

h = જમીનની સપાટીથી ફ્લો ટ્યુબ/પાઇપની ઊંચાઈ

ઉપરોક્ત બર્નૌલી સમીકરણની ડાબી અને જમણી બાજુઓ ફ્લો ટ્યુબ સાથેના કોઈપણ બે બિંદુઓનો સંદર્ભ આપી શકે છે, તેથી આપણે ઉપરોક્ત સમીકરણને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:

આ સમીકરણ જણાવે છે કે સમીકરણમાં રહેલા જથ્થાના કુલ સરવાળાનું મૂલ્ય સમગ્ર ફ્લો ટ્યુબમાં સમાન છે.

હવે ચાલો કેટલાક કિસ્સાઓમાં બર્નૌલીના સમીકરણની સમીક્ષા કરીએ.

આરામ સમયે પ્રવાહી માટે બર્નૌલીનું સમીકરણ

બર્નૌલીના સમીકરણનો એક ખાસ કિસ્સો સ્થિર પ્રવાહી (સ્થિર પ્રવાહી) માટે છે. જ્યારે પ્રવાહી સ્થિર હોય છે, ત્યારે તેનો કોઈ વેગ હોતો નથી. આમ, v ₁ = v ₂ = 0. સ્થિર પ્રવાહીના કિસ્સામાં, બર્નૌલીનું સમીકરણ આ રીતે ઘડી શકાય છે:

જો h ₂ − h ₁ = h હોય, તો આ સમીકરણ આ રીતે લખી શકાય છે:

p ₁ − p ₂ = ρ g (h ₂ − h ₁ )

પી ₁ − પી ₂ = ρ ઘ

સમાન ઊંચાઈના ફ્લો ટ્યુબ અથવા પાઈપો માટે બર્નૌલીનું સમીકરણ

જો ફ્લો ટ્યુબ અથવા પાઇપની ઊંચાઈ સમાન હોય, તો બર્નૌલી સમીકરણ આમાં બદલાય છે: