બર્નૌલીના સિદ્ધાંત અને સમીકરણનો ઉપયોગ

બર્નૌલીના સિદ્ધાંત અને સમીકરણનો ઉપયોગ

ટોરીસેલીનો પ્રમેય

બર્નૌલીના સમીકરણનો એક ઉપયોગ એ છે કે કન્ટેનરના તળિયેથી બહાર આવતા પ્રવાહીની ગતિની ગણતરી કરવી.

આપણે બર્નૌલીનું સમીકરણ બિંદુ 1 (પાત્રની સપાટી) અને બિંદુ 2 (છિદ્રની સપાટી) પર લાગુ કરીએ છીએ. કન્ટેનરના તળિયે છિદ્રનો વ્યાસ કન્ટેનરના વ્યાસ કરતા ઘણો નાનો હોવાથી, કન્ટેનરની સપાટી પર પ્રવાહીનો વેગ શૂન્ય (v ₁ = 0) માનવામાં આવે છે. કન્ટેનરની સપાટી અને છિદ્રની સપાટી ખુલ્લી હોય છે જેથી દબાણ વાતાવરણીય દબાણ (P ₁ = P ₂ ) જેટલું હોય છે. આમ, આ કિસ્સામાં બર્નૌલીનું સમીકરણ છે:

જો આપણે કન્ટેનરના તળિયે છિદ્રમાં પ્રવાહી પ્રવાહની ગતિની ગણતરી કરવા માંગીએ છીએ, તો આ સમીકરણ આમાં બદલાય છે:

આ સમીકરણ મુજબ, પાત્રની સપાટીથી h અંતરે છિદ્રમાંથી પાણીના પ્રવાહનો દર h અંતરે મુક્તપણે પડતા પાણીના પ્રવાહના દર જેટલો છે (મુક્ત પતન ગતિની સરખામણી કરો). આને ટોરીસેલીના પ્રમેય તરીકે ઓળખવામાં આવે છે . બર્નોલીએ તેનું સમીકરણ શોધ્યું તેના એક સદી પહેલા, ગેલેલીયોના વિદ્યાર્થી ટોરીસેલીએ આ પ્રમેય શોધ્યો હતો.

વેન્ચુરી અસર 

ટોરીસેલીના પ્રમેય ઉપરાંત, બર્નૌલીનું સમીકરણ અન્ય ખાસ કિસ્સાઓમાં પણ લાગુ કરી શકાય છે, એટલે કે જ્યારે પ્રવાહી લગભગ સમાન ઊંચાઈ (નાનો ઊંચાઈ તફાવત) પર હોય તેવા પાઇપ વિભાગોમાં વહે છે. સમજવા માટે... પેનjઆ કારણોસર, ચિત્રનું અવલોકન કરો. 

ઉપરની છબીમાં, એવું લાગે છે કે પાઇપની ઊંચાઈ, મોટા ક્રોસ-સેક્શનવાળા ભાગ અને નાના ક્રોસ-સેક્શનવાળા ભાગ બંને, લગભગ સમાન છે, તેથી તેમને સમાન ઊંચાઈ ગણવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે, બર્નૌલીનું સમીકરણ આમાં બદલાય છે:

જ્યારે પ્રવાહી પાઇપના નાના ક્રોસ-સેક્શન (A) વાળા ભાગમાંથી પસાર થાય છે₂), પછી પ્રવાહીનો વેગ વધે છે. બર્નૌલીના સિદ્ધાંત મુજબ, જો પ્રવાહીનો વેગ વધે છે, તો પ્રવાહીનું દબાણ ઘટે છે. પાઇપના સાંકડા ભાગમાં પ્રવાહીનું દબાણ ઓછું હોય છે પરંતુ પ્રવાહીનો પ્રવાહ દર વધારે હોય છે.

આને વેન્ચુરી અસર તરીકે ઓળખવામાં આવે છે અને માત્રાત્મક રીતે દર્શાવે છે કે જો પ્રવાહી પ્રવાહ દર ઊંચો હોય, તો પ્રવાહી દબાણ ઓછું હશે. તેનાથી વિપરીત, જો પ્રવાહી પ્રવાહ દર ઓછો હોય, તો પ્રવાહી દબાણ ઊંચું હશે.

વેન્ચુરી મીટર

વેન્ટુરી ઇફેક્ટનો એક રસપ્રદ ઉપયોગ વેન્ટુરી મીટર છે. આ સાધનનો ઉપયોગ પ્રવાહી પ્રવાહ દર માપવા માટે થાય છે, જેમ કે પાઇપ દ્વારા પાણી અથવા તેલના પ્રવાહ દરની ગણતરી કરવી. બે પ્રકારના વેન્ટુરી મીટર છે: મેનોમીટર વગરના અને જે બીજા પ્રવાહી, જેમ કે પારો, થી ભરેલા મેનોમીટરનો ઉપયોગ કરે છે. કાર્ય સિદ્ધાંત સમાન છે.

મેનોમીટર વિના વેન્ચુરી મીટર

નીચેની છબીમાં પાઇપમાં પ્રવાહીના પ્રવાહ દરને માપવા માટે વપરાતું વેન્ટુરી મીટર બતાવવામાં આવ્યું છે.

જ્યારે પ્રવાહી નાના ક્રોસ-સેક્શન (A _{2 ) વાળા પાઇપ સેક્શનમાંથી પસાર થાય છે, ત્યારે પ્રવાહી વેગ વધે છે. બર્નોલીના સિદ્ધાંત મુજબ, જો પ્રવાહી વેગ વધે છે, તો પ્રવાહીનું દબાણ ઓછું થાય છે. તેથી મોટા ક્રોસ-સેક્શન પર પ્રવાહીનું દબાણ નાના ક્રોસ-સેક્શન (P 1} > P ₂ ) પર પ્રવાહીના દબાણ કરતા વધારે હોય છે . તેનાથી વિપરીત, v ₂ > v ₁

_{જે જોઈએ છે તે મોટા ક્રોસ સેક્શન (v 1} ) પર પ્રવાહીનો પ્રવાહ દર છે . આપણે સમીકરણ 1 માં v _{2 ને સમીકરણ 2 માં v 2} થી બદલીએ છીએ.

ચોક્કસ ઊંડાઈ પર પ્રવાહી દબાણની ગણતરી કરવા માટે, સમીકરણનો ઉપયોગ કરો:

p = ρ gh → સમીકરણ a

જો પ્રવાહી ઘનતામાં તફાવત ખૂબ જ ઓછો હોય, તો આ સમીકરણનો ઉપયોગ વિવિધ ઊંચાઈએ દબાણ તફાવત નક્કી કરવા માટે કરો. આમ, સમીકરણ a ને આમાં બદલી શકાય છે:

Δ પી = ρ ગ્રામ Δક

ઉપરોક્ત કિસ્સામાં, આ સમીકરણને આમાં બદલી શકાય છે:

p ₁ − p ₂ = ρ gh → સમીકરણ b

હવે આપણે સમીકરણ 3 માં p ₁ - p ₂ ને, સમીકરણ b માં p ₁ - p ₂ થી બદલીએ છીએ :

પ્રવાહી સમાન હોવાથી, ઘનતા પણ સમાન હોવી જોઈએ. સમીકરણમાંથી ρ દૂર કરો.

પિટોટ ટ્યુબ

જો પ્રવાહીના પ્રવાહ દરને માપવા માટે વેન્ટુરી મીટરનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે, તો વાયુઓ અથવા હવાના પ્રવાહ દરને માપવા માટે પિટોટ ટ્યુબનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે. બિંદુ 1 પરનો છિદ્ર હવાના પ્રવાહને સમાંતર છે. આ બે છિદ્રોની સ્થિતિ હવાના પ્રવાહથી ઘણી દૂર બનાવવામાં આવી છે. પિટોટ ટ્યુબનો છેડો, જેથી છિદ્રની બહાર હવાની ગતિ અને દબાણ મુક્ત-વહેતી હવાની ગતિ અને દબાણ જેટલું જ હોય. આ કિસ્સામાં, v₁ = મુક્ત-વહેતો હવા પ્રવાહ દર (આ આપણે માપીશું) અને મેનોમીટર (ડાબી પાઇપ) ના ડાબા પગ પરનું દબાણ = મુક્ત-વહેતો હવા દબાણ (P)₁).

મેનોમીટરના જમણા પગ તરફ જતું છિદ્ર હવાના પ્રવાહને લંબરૂપ છે. તેથી, આ છિદ્ર (મધ્ય ભાગ)માંથી હવાનો પ્રવાહ દર ઘટે છે અને બિંદુ 2 પર પહોંચે ત્યારે હવા અટકી જાય છે. આ કિસ્સામાં, v _{2 = 0. મેનોમીટરના જમણા પગ પરનું દબાણ બિંદુ 2 (P 2} ) પરના હવાના દબાણ જેટલું છે . બિંદુ 1 અને 2 ની ઊંચાઈ લગભગ સમાન છે (તફાવત ખૂબ મોટી નથી) તેથી તેને અવગણી શકાય છે.

દબાણ તફાવત (P ₂ − P ₁ ) = મેનોમીટરમાં પ્રવાહીનું હાઇડ્રોસ્ટેટિક દબાણ (મેનોમીટરમાં કાળો રંગ પ્રવાહી, પારો છે). ગાણિતિક રીતે, તેને નીચે મુજબ લખી શકાય છે:

p ₂ − p ₁ = ρ ' gh → સમીકરણ 2

ρ' = મેનોમીટરમાં પ્રવાહીની ઘનતા

સમીકરણ 1 અને સમીકરણ 2 જુઓ. ડાબી બાજુ (P ₂ − P ₁ ) ની બરાબર છે. તેથી, સમીકરણ 1 અને 2 ને આના જેવો દેખાવા માટે બદલી શકાય છે:

પરફ્યુમ સ્પ્રેયર

આ એક સામાન્ય ઝાંખી છે, જોકે દરેક ફેક્ટરીની ડિઝાઇન અલગ હોય છે.

સામાન્ય રીતે, પરફ્યુમ સ્પ્રેયરના કાર્ય સિદ્ધાંતનું વર્ણન નીચે મુજબ કરી શકાય છે (ચિત્ર જોતી વખતે). જ્યારે રબર બોલને સ્ક્વિઝ કરવામાં આવે છે, ત્યારે રબર બોલની અંદરની હવા પાઇપ 1 દ્વારા બહાર નીકળે છે. તેથી, પાઇપ 1 માં હવાની ગતિ વધુ હોય છે. હવાની ગતિ વધારે હોવાથી, પાઇપ 1 માં હવાનું દબાણ ઓછું થાય છે. તેનાથી વિપરીત, પાઇપ 2 માં હવાની ગતિ ઓછી હોય છે. પાઇપ 2 માં હવાનું દબાણ વધારે હોય છે. પરિણામે, પરફ્યુમ પ્રવાહી ઉપર તરફ ધકેલવામાં આવે છે. જ્યારે પરફ્યુમ પ્રવાહી પાઇપ 1 સુધી પહોંચે છે, ત્યારે રબર બોલની અંદરથી બહાર નીકળતી હવા તેને બહાર ધકેલે છે... પરફ્યુમ પ્રવાહી આખરે છંટકાવ કરે છે, શરીરને ભીનું કરે છે...

સામાન્ય રીતે છિદ્રો નાના હોય છે, તેથી પરફ્યુમ ઝડપથી બહાર નીકળી જાય છે.

પીપેટ અથવા સાઇફન વડે પીવો

શું તમે ક્યારેય પીપેટનો ઉપયોગ કરીને આઈસ્ડ ટી કે સીરપ પીધી છે? જ્યારે આપણે પીપેટનો ઉપયોગ કરીને પાણી ચૂસીએ છીએ, ત્યારે આપણે ખરેખર પીપેટમાં હવાને ઝડપી ગતિએ ચલાવીએ છીએ. આ કિસ્સામાં, આપણા મોં સાથે જોડાયેલા પીપેટમાં હવાની ગતિ વધુ હોય છે. પરિણામે, પીપેટના ભાગમાં હવાનું દબાણ ઓછું થાય છે. પીણાની નજીકના પીપેટના ભાગમાં હવાની ગતિ ઓછી હોય છે. કારણ કે તેની ગતિ ઓછી હોય છે, દબાણ વધારે હોય છે. હવાના દબાણમાં આ તફાવત એ છે કે આપણે જે પાણી કે પીણું પીએ છીએ તે આપણા મોંમાં વહે છે. આ કિસ્સામાં, પ્રવાહી પીપેટના ઉચ્ચ હવાના દબાણવાળા ભાગથી ઓછા હવાના દબાણવાળા પીપેટના ભાગમાં જાય છે.

ચીમની

શું તમે ક્યારેય ચીમની જોઈ છે? જો તમે સુરાબાયા, સેમરંગ, જકાર્તા વગેરે શહેરમાં રહો છો, તો તમે કદાચ ફેક્ટરીની ચીમની જોઈ હશે. ચીમનીમાંથી ધુમાડો કેમ નીકળે છે? પ્રથમ, દહનમાંથી નીકળતો ધુમાડો ગરમ હોય છે. ઊંચા તાપમાનને કારણે, હવાની ઘનતા ઓછી હોય છે. ઓછી ઘનતાવાળી હવા સરળતાથી તરતી રહે છે, અથવા ઉપર જાય છે. આ એકમાત્ર કારણ નથી... બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત પણ સામેલ છે.

બીજું, બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત જણાવે છે કે જો હવાનો પ્રવાહ દર ઊંચો હોય, તો દબાણ ઓછું હોય છે, અને તેનાથી વિપરીત, જો હવાનો પ્રવાહ દર ઓછો હોય, તો દબાણ ઊંચું હોય છે. ચીમનીનો ઉપરનો ભાગ બહાર હોય છે. ચીમનીની ટોચ પર પવન ફૂંકાય છે, તેથી આસપાસનું હવાનું દબાણ ઓછું હોય છે. બંધ ઓરડાની અંદર, પવન ફૂંકાતો નથી, તેથી હવાનું દબાણ વધારે હોય છે. તેથી, ધુમાડો ચીમની દ્વારા બહાર કાઢવામાં આવે છે. હવા ઉચ્ચ હવાના દબાણવાળા વિસ્તારોમાંથી નીચા હવાના દબાણવાળા વિસ્તારોમાં જાય છે.

ઉંદરો પણ બર્નૌલીના સિદ્ધાંતને જાણે છે

નીચે આપેલ ચિત્ર જુઓ. તે જમીનમાં ઉંદરના કાણાનું ચિત્ર છે. ઉંદરો પણ બર્નૌલીના સિદ્ધાંતને સમજે છે.

i. ઉંદરો શ્વાસ રૂંધાવાથી મરવા માંગતા ન હતા, તેથી તેમણે અલગ અલગ ઊંચાઈએ બે ખાડા ખોદ્યા. જમીનના સ્તરમાં તફાવતને કારણે, હવા એકબીજા સામે દબાઈ ગઈ. તે મોટા ક્રોસ-સેક્શનવાળા પાઇપમાંથી નાના ક્રોસ-સેક્શનવાળા પાઇપમાં વહેતા પાણી જેવું જ છે. કચડી નાખવાને કારણે, હવાનો વેગ વધે છે અને હવાનું દબાણ ઘટે છે.

હવાના દબાણમાં તફાવતને કારણે, હવાને ઉંદરના છિદ્રમાંથી પસાર થવાની ફરજ પડે છે. હવા ઉચ્ચ હવાના દબાણવાળા વિસ્તારોમાંથી નીચા હવાના દબાણવાળા વિસ્તારોમાં વહે છે.

એરક્રાફ્ટ લિફ્ટ ફોર્સ

વિમાનોને ઉડવા માટે પરવાનગી આપતું એક પરિબળ પાંખોની હાજરી છે. વિમાનની પાંખો વક્ર હોય છે, જેનો આગળનો ભાગ પાછળ કરતા જાડો હોય છે. આ પાંખના આકારને એરોફોઇલ કહેવામાં આવે છે. આ વિચાર પક્ષીની પાંખો પરથી બનાવવામાં આવ્યો છે, જેનો આકાર પણ સમાન હોય છે (વક્ર અને જાડો આગળનો ભાગ). તફાવત એ છે કે પક્ષીની પાંખો ફફડાવી શકાય છે, જ્યારે વિમાનની પાંખો ફફડાવી શકાતી નથી. પક્ષીઓ ઉડી શકે છે કારણ કે તેઓ તેમની પાંખો ફફડાવે છે, જેનાથી પાંખોની બંને બાજુઓ પરથી હવા પસાર થાય છે. વિમાનની પાંખોની બંને બાજુઓ પર હવા વહેવા દેવા માટે, વિમાનને આગળ ખસેડવું આવશ્યક છે. માનવીઓ વિમાનને ખસેડવા માટે એન્જિનનો ઉપયોગ કરે છે.

પાંખનો આગળનો ભાગ ઉપર તરફ વળાંક લેવા માટે રચાયેલ છે. નીચેથી વહેતી હવા તેના ઉપરના ભાગ સાથે ધક્કો મારે છે, જેમ કે મોટા ક્રોસ-સેક્શનવાળા પાઇપમાંથી સાંકડા ક્રોસ-સેક્શનવાળા પાઇપમાં વહેતા પાણી. પરિણામે, પાંખની ઉપર હવાનો વેગ વધે છે. કારણ કે હવાનો વેગ વધે છે, હવાનું દબાણ ઘટે છે. તેનાથી વિપરીત, પાંખની નીચે હવાના પ્રવાહનો વેગ ઓછો હોય છે કારણ કે હવા ઓછી ભીડવાળી હોય છે (હવાનું દબાણ વધારે હોય છે). આ દબાણ તફાવતને કારણે વિમાનની પાંખો ઉપર તરફ ધકેલાઈ જાય છે.

બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત એ છે કે વિમાનને ઉંચુ કરવા માટેનું એક પરિબળ માત્ર એક છે. બીજું પરિબળ ગતિ છે. સામાન્ય રીતે, વિમાનની પાંખો થોડી ઉપર તરફ નમેલી હોય છે. પાંખની નીચેની બાજુએ અથડાતી હવા નીચે તરફ વળે છે. કારણ કે વિમાનમાં બે પાંખો હોય છે, એક ડાબી બાજુ અને એક જમણી બાજુ, વિચલિત હવા એકબીજા સાથે અથડાય છે. અથડાતા હવાના અણુઓના ગતિમાં ફેરફાર વધારાની લિફ્ટ ઉત્પન્ન કરે છે.

કારણ કે પાંખ નીચે તરફ પૂંછડી તરફ વળે છે, તેથી પાંખ હવાને નીચે તરફ વહેવા માટે દબાણ કરે છે. ન્યૂટનના ત્રીજા નિયમ મુજબ, દરેક ક્રિયા બળમાં પ્રતિક્રિયા બળ હોય છે. કારણ કે પાંખ હવાને નીચે તરફ દબાણ કરે છે, હવાએ પાંખને ઉપર તરફ દબાણ કરવું જોઈએ. આ કિસ્સામાં, હવા પાંખ પર લિફ્ટ લગાવે છે. તેથી, બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત એકમાત્ર પરિબળ નથી જે વિમાનને લિફ્ટ કરવાનું કારણ બને છે.

માછીમારો પણ બર્નૌલીના સિદ્ધાંતને જાણે છે

શું તમે ક્યારેય સઢવાળી હોડીમાં મુસાફરી કરી છે? માછીમારો પણ જાણે છે કે બર્નૌલીનો સિદ્ધાંત કેવી રીતે કાર્ય કરે છે 😉