ચક્રાકાર ગતિ

આજે આપણું જીવન પૈડાવાળા વાહનો, જનરેટર, મિલિંગ મશીન, પંખા, લૉન મોવર, ફૂલ છંટકાવ વગેરે જેવા આધુનિક સાધનોના અસ્તિત્વથી સરળ અને આરામદાયક બન્યું છે. સાયકલ, મોટરસાયકલ, કાર અને વિમાન જેવા પૈડાવાળા વાહનો જો પૈડા ન હોય અથવા જો પૈડા ફરતા ન હોય તો તેઓ આગળ વધી શકતા નથી. હેલિકોપ્ટર અથવા વિમાન પણ ઉડી શકતા નથી જો તેમના પ્રોપેલર ફરતા ન હોય. જો તેમના જનરેટર અથવા પ્રોપેલર ફરતા ન હોય તો જહાજો હંકારી શકતા નથી. રાત્રે, ઘર કાળો થઈ જાય છે અને જો જનરેટર અથવા પાવર પ્લાન્ટ કામ ન કરે તો કોઈ મનોરંજન નથી. ઘણી વસ્તુઓ દરરોજ ગોળાકાર ગતિ કરે છે. તે જાણ્યા વિના પણ, આપણે જે પૃથ્વી પર રહીએ છીએ, રાત્રે આપણને પ્રકાશિત કરતો ચંદ્ર, ટેલિવિઝન, રેડિયો, મોબાઇલ ફોન અને ઇન્ટરનેટ પ્રસારણ માટે ઇલેક્ટ્રોમેગ્નેટિક તરંગો રિલે કરતા સંચાર ઉપગ્રહો જેવા કૃત્રિમ ઉપગ્રહો, હંમેશા ફરે છે, ઉર્ફે દરેક સમયે વર્તુળમાં ફરે છે.

જો કોઈ પદાર્થનો માર્ગ ગોળાકાર હોય તો તેને ગોળાકાર ગતિમાં હોવાનું કહેવાય છે . ગોળાકાર ગતિમાં ભૌતિક જથ્થામાં કોણીય જથ્થા (ગોળ ગતિ જથ્થા) અને રેખીય જથ્થા (રેક્ટીલીનિયર ગતિ જથ્થા) હોય છે. કોણીય જથ્થામાં કોણીય વિસ્થાપન, કોણીય વેગ અને કોણીય પ્રવેગનો સમાવેશ થાય છે. રેખીય જથ્થામાં સીધી ગતિ જેવી માત્રા હોય છે, જેમાં વિસ્થાપન (અંતર), વેગ (ગતિ) અને પ્રવેગનો સમાવેશ થાય છે. તેનાથી વિપરીત, ગોળાકાર ગતિ જથ્થાને સામાન્ય રીતે કોણીય જથ્થા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે . ગોળાકાર ગતિમાં, રેખીય જથ્થાઓ કોણીય જથ્થાઓ સાથે સંબંધિત હોય છે.

કોણ એકમો (ડિગ્રી, રેડિયન, ક્રાંતિ) કન્વર્ટ કરો

૧. ¼ વળાંક = ….. ^o (ડિગ્રી) ?
ચર્ચા
૧ પરિભ્રમણ = ૩૬૦^o
½ વળાંક = 180^o
¼ વળાંક = 90^o

2. ½ વળાંક = …….. રેડિયન ?
ચર્ચા
૧ ક્રાંતિ = ૨ પાઇ રેડિયન = ૨(૩.૧૪) રેડિયન = ૬.૨૮ રેડિયન
½ વળાંક = પાઇ રેડિયન = 3,14 રેડિયન

3. 180^o (૧૮૦ ડિગ્રી) = ….. પરિભ્રમણ અથવા ક્રાંતિ ?
ચર્ચા
360^o = ૧ રાઉન્ડ (૧ ક્રાંતિ)
180^o = ½ વળાંક (1/2 ક્રાંતિ)

4. 90^o = ….. રેડિયન ?
ચર્ચા
360^o = 2 પાઇ રેડિયન = 2(3,14) રેડિયન = 6,28 રેડિયન
180^o = પાઇ રેડિયન = 3,14 રેડિયન
90^o = ½ pi રેડિયન = ½ (3,14) = 1,57

૫. ૬૦ રેડિયન = ..... પરિભ્રમણ?
ચર્ચા
૬.૨૮ રેડિયન = ૧ પરિભ્રમણ
૬૦ રેડિયન/૬.૨૮ = ૯.૫૫ પરિભ્રમણ

૬. ૪૦ રેડિયન = ….. ^o (ડિગ્રી) ?
ચર્ચા
૧ રેડિયન = ૩૬૦^o
૪૦ રેડિયન/૬.૨૮ = (૬.૩૭)(૩૬૦)^o) = 2292,99^o

કોણીય વેગ

સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ.
૧. ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે, ૧૮૦ નો ખૂણો બનાવે છે^o ૨ સેકન્ડ અને ૯૦ માટે^o ૧ સેકન્ડ માટે. સરેરાશ કોણીય વેગનું મૂલ્ય અને દિશા નક્કી કરો!
ચર્ચા
મોટું = 9^o/સેકન્ડ = …. ક્રાંતિ/સેકન્ડ = ….. રેડિયન/સેકન્ડ ?
દિશા = ઘડિયાળની દિશામાં દિશા.

૧. ચક્ર ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે, ૧૮૦ નો ખૂણો બનાવે છે^o 4 સેકન્ડ માટે, પછી ચક્ર 180 ફરે છે^o ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં 2 સેકન્ડ માટે. કેટલા સરેરાશ કોણીય વેગ વ્હીલ?
ચર્ચા
મોટું = ૩^o/સેકન્ડ = …. ક્રાંતિ/સેકન્ડ = ….. રેડિયન/સેકન્ડ ?
દિશા = ઘડિયાળની દિશામાં દિશા.

તાત્કાલિક કોણીય વેગ
તાત્કાલિક કોણીય વેગનું મૂલ્ય = ખૂબ જ ટૂંકા સમય અંતરાલ દરમિયાન પ્રવાસ કરેલા કોણીય વેગનું મૂલ્ય.
સીધી ગતિ અથવા રેખીય ગતિમાં, ઊંચી ઝડપ કહી શકાય ઝડપ કરેના મોટું વિસ્થાપન મૂલ્યમાં સમાન અંતર જો તે ખૂબ નાનું હોય તો. ગોળાકાર ગતિમાં, મોટો કોણીય વેગ કહી શકાય કોણીય વેગ કરેના મોટું કોણીય વિસ્થાપન મૂલ્યમાં સમાન અંતર ખૂણો જો તે ખૂબ નાનું હોય.

સરેરાશ કોણીય પ્રવેગ
સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ.
૧. એક પવનચક્કી જે શરૂઆતમાં એક ક્ષણ માટે સ્થિર રહે છે અને પછી પવન ફૂંકાતા ફરે છે. ૨ સેકન્ડ પછી, કોણીય વેગ ૯૦° સુધી વધે છે.^o/s. કેટલું? સરેરાશ કોણીય પ્રવેગ પવનચક્કી ?
ચર્ચા
સરેરાશ, મોટો કોણીય વેગ પવનચક્કીઓમાં 45નો વધારો થયો^o/s દર 1 સેકન્ડે.

2. પ્રોપેલર શરૂઆતમાં 180 ના કોણીય વેગથી ફરે છે^o/s, 2 સેકન્ડ પછી તે ફરતું બંધ થઈ જાય છે. કેટલા સરેરાશ કોણીય મંદન પવનચક્કી ?
ચર્ચા
સરેરાશ, મોટો કોણીય વેગ પવનચક્કીઓમાં 90નો ઘટાડો થયો^o/s દર 1 સેકન્ડે.

તાત્કાલિક કોણીય પ્રવેગ
ત્વરિત કોણીય પ્રવેગને સામાન્ય રીતે કોણીય પ્રવેગ તરીકે સંક્ષિપ્ત કરવામાં આવે છે. ત્વરિત કોણીય પ્રવેગ એ ખૂબ જ ટૂંકા સમય અંતરાલમાં કોણીય વેગમાં ફેરફાર છે. ગાણિતિક રીતે:

ચક્રાકાર ગતિનો સમયગાળો અને આવર્તન
સમયગાળો કણને એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે જરૂરી સમય દર્શાવે છે, જ્યારે આવર્તન પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા દર્શાવે છે.
સમયગાળા અને આવર્તન વચ્ચેનો સંબંધ સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:
f = 1/T
સમયગાળાનો આંતરરાષ્ટ્રીય એકમ બીજો છે, આવર્તનનો આંતરરાષ્ટ્રીય સિસ્ટમ એકમ 1/સેકન્ડ અથવા હર્ટ્ઝ છે.

વેગ અને કોણીય વેગ
વર્તુળમાં ફરતા કણનો સ્પર્શક વેગ અને કોણીય વેગ અવધિ અને આવર્તનના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે.
ગોળાકાર ગતિ કરતા કણની ગતિનું મૂલ્ય સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે:
વર્તુળમાં ફરતા કણના કોણીય વેગનું મૂલ્ય સમીકરણ દ્વારા વ્યક્ત થાય છે:
માહિતી:

સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ

1. બે પૈડા A અને B, જેમના દાંત અનુક્રમે 20 અને 50 છે, તેમને એકબીજા સાથે જોડવામાં આવે છે જેથી દરેક ગિયર જોડી શકાય. જો ચક્ર A એક સેકન્ડમાં 50 વખત ફરે છે, તો ચક્ર B નો કોણીય વેગ... છે.

ચર્ચા

તે જાણીતું છે:

વ્હીલ A પર દાંતની સંખ્યા = 20

વ્હીલ B પર દાંતની સંખ્યા = 50

ચક્ર A ( ω _A ) નો કોણીય વેગ = 50 પરિભ્રમણ/સેકન્ડ

૧ પરિભ્રમણ = ૨π રેડિયન

(50)(2π રેડિયન)/સેકન્ડ = 100π રેડિયન/સેકન્ડ

પ્રશ્ન: ચક્ર B ( ω _B ) નો કોણીય વેગ

જવાબ:

ચક્ર A ની રેખીય ગતિ: v _A = r _A ω _A

ચક્ર B નો રેખીય વેગ: v _B = r _B ω _B

બે પૈડા એકબીજાના સંપર્કમાં છે તેથી તેમની રેખીય ગતિ સમાન છે.

v _A = v _B

r _A ω _A = r _B ω _B

(20)( 100π rad/s) = (50)(ω _B )

(2)(100π રેડિયન/સે) = (5)(ω _B )

(2)(20π રેડિયન/સે) = ω _B

ω _B = 40π રેડિયન/સેકન્ડ

૩. ૨૦૧૭ SMA/MA રાષ્ટ્રીય પરીક્ષાના પ્રશ્નો

નીચે આપેલ ચિત્ર જુઓ.

એક મોટરસાઇકલ રસ્તાના ખભા તરફ α (tan α = 2/5) ઝોકના ખૂણાવાળા વળાંક પર મુસાફરી કરી રહી છે . મોટરસાઇકલને લપસતા અટકાવવા માટે મહત્તમ ગતિ 20 ms ^-1 છે . વળાંકની ત્રિજ્યા કેટલી છે?

A. 50 મી.

બી. ૭૦ મી.

સી. 200 મી

ડી. ૫ મી.

પૂર્વ. ૩૦ મી.

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

મહત્તમ ગતિ (v) = 20 મીટર/સેકન્ડ

સ્પર્શક α = 2/5

સ્થિર ઘર્ષણ ગુણાંક (μ _s ) = સ્પર્શક α = 2/5

પ્રશ્ન: વળાંક (r) ની ત્રિજ્યા

જવાબ :

કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સૂત્ર:

માહિતી:

a _s = કેન્દ્રગામી પ્રવેગ, v = વેગ, r = વક્રતાની ત્રિજ્યા

કાર ફરતી વખતે તેના પર કાર્ય કરતું એકમાત્ર આડું બળ સ્થિર ઘર્ષણ છે. સ્થિર ઘર્ષણ માટેનું સૂત્ર છે:

માહિતી:

f _s = સ્થિર ઘર્ષણ બળ, μ _s = સ્થિર ઘર્ષણનો ગુણાંક, w = વજન, m = દળ, g = ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ

ન્યુટનના વર્તુળાકાર ગતિના બીજા નિયમનું સૂત્ર:

સાચો જવાબ B છે.

૩. ૨૦૧૭ SMA/MA રાષ્ટ્રીય પરીક્ષાના પ્રશ્નો

નીચે બતાવ્યા પ્રમાણે ચાર પૈડા જોડાયેલા છે!

ત્રિજ્યા R_A = 6 સેમી, R_B = 3 સેમી, R_C = 2 સેમી અને R_D = 5 સેમી અને ચક્ર A 3 ms ની રેખીય ગતિએ ફરે છે^-1, તો ચક્ર D નો કોણીય વેગ... છે.

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

R _A = 6 સેમી = 0,06 મીટર, R _B = 3 સેમી = 0,03 મીટર, R _C = 2 સેમી = 0,02 મીટર, R _D = 5 સેમી = 0,05 મીટર.

v _A = 3 ms ^-1

પ્રશ્ન: ચક્ર D ( ω _D ) નો કોણીય વેગ

જવાબ :

ચક્ર A નો કોણીય વેગ:

v _A = r _A ω _A

ω _A = v _A / r _A = 3 / 0,06 = 50 rad/s

ચક્ર A અને B સમાન કોણીય વેગથી ફરે છે.

ω _A = ω _B = 50 રેડિયન/સેકન્ડ

ચક્ર B નો કોણીય વેગ:

ω _B = 50 રેડિયન/સેકન્ડ

ચક્ર B નો રેખીય વેગ:

v _B = r _B ω _B

v _B = (0,03)(50 રેડિયન/સેકન્ડ)

v _B = 1,5 મીટર/સેકન્ડ

ચક્ર B અને ચક્ર C ની રેખીય ગતિ સમાન છે.

v _B = v _C = 1,5 મીટર/સેકન્ડ

ચક્ર C અને ચક્ર D ની રેખીય ગતિ સમાન છે.

v _C = v _D = 1,5 મીટર/સેકન્ડ

ચક્ર D નો કોણીય વેગ:

ω _D = v _D / r _D = 1,5 / 0,05 = 30 રેડિયન/સેકન્ડ