સપાટ વિમાનના ક્ષેત્રફળની ગણતરીમાં ઇન્ટિગ્રલ્સના ઉપયોગના ઉદાહરણ પ્રશ્નો અને ચર્ચા
ગણિતના શિક્ષણમાં, પૂર્ણાંકોનો વારંવાર કેલ્ક્યુલસમાં સામનો કરવો પડે છે. પૂર્ણાંકોના સૌથી જાણીતા ઉપયોગોમાંનો એક વક્ર અથવા સમતલ હેઠળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી છે. આ લેખમાં કેટલીક ઉદાહરણ સમસ્યાઓની ચર્ચા કરવામાં આવશે અને સમતલના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે પૂર્ણાંકોના ઉપયોગની ચર્ચા કરવામાં આવશે.
સિદ્ધાંતનો પરિચય
ઉદાહરણ સમસ્યા તરફ આગળ વધતા પહેલા, ચાલો પૂર્ણાંકોનો ઉપયોગ કરીને વક્ર હેઠળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવાના મૂળભૂત ખ્યાલની સમીક્ષા કરીએ. જો આપણી પાસે એક ફંક્શન f(x) હોય જે અંતરાલ [a, b] પર સતત હોય, તો x = a થી x = b સુધીના વક્ર y = f(x) હેઠળનો વિસ્તાર છે:
\[ L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
ભૌમિતિક રીતે, આનો અર્થ એ છે કે આપણે x = a થી x = b સુધીના ખૂબ જ પાતળા લંબચોરસના ક્ષેત્રફળનો સારાંશ આપી રહ્યા છીએ.
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨
સોલ
અંતરાલ [1, 3] માં વક્ર y = x² હેઠળના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો.
ચર્ચા
વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે, આપણે અભિન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
\[ L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
આપણે \( x^2 \) નું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાથી શરૂઆત કરીએ છીએ. \( x^2 \) નું એન્ટિડેરિવેટિવ \( \frac{x^3}{3} \) છે. પછી પૂર્ણાંક બને છે:
\[ એલ = \ડાબે[ \ફ્રેક{x^3}{3} \જમણે]_{1}^{3} \]
યાદ રાખો કે આપણે ઇન્ટિગ્રલની મર્યાદાઓ પર એન્ટિડેરિવેટિવનું મૂલ્યાંકન કરવું પડશે:
\[ L = \ડાબે( \frac{3^3}{3} \જમણે) – \ડાબે( \frac{1^3}{3} \જમણે) \]
\[ L = \left( \frac{27}{3} \જમણે) – \left( \frac{1}{3} \જમણે) \]
\[ L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[ લ = \ફ્રેક{27}{3} – \ફ્રેક{1}{3} \]
\[ લ = \ફ્રેક{26}{3} \]
તો, x = 1 થી x = 3 સુધીના વક્ર y = x² હેઠળનો વિસ્તાર છે:
\[ \frac{26}{3} \, \ટેક્સ્ટ{ક્ષેત્ર એકમ} \]
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨
સોલ
વક્ર y = x³ અને રેખાઓ x = 1 અને x = 2 દ્વારા બંધાયેલ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરો.
ચર્ચા
વિસ્તારની ગણતરી કરવા માટે, આપણે અભિન્ન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
\[ L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
હંમેશની જેમ, આપણે \( x^3 \) નું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાથી શરૂઆત કરીએ છીએ. \( x^3 \) નું એન્ટિડેરિવેટિવ \( \frac{x^4}{4} \) છે. પૂર્ણાંક બને છે:
\[ એલ = \ડાબે[ \ફ્રેક{x^4}{4} \જમણે]_{1}^{2} \]
ઇન્ટિગ્રલની મર્યાદાઓનું મૂલ્યાંકન કરો:
\[ L = \ડાબે( \frac{2^4}{4} \જમણે) – \ડાબે( \frac{1^4}{4} \જમણે) \]
\[ L = \left( \frac{16}{4} \જમણે) – \left( \frac{1}{4} \જમણે) \]
\[ L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[ લ = \ફ્રેક{16}{4} – \ફ્રેક{1}{4} \]
\[ લ = \ફ્રેક{15}{4} \]
તો, x = 1 થી x = 2 સુધીના વક્ર y = x³ હેઠળનો વિસ્તાર છે:
\[ \frac{15}{4} \, \ટેક્સ્ટ{ક્ષેત્ર એકમ} \]
ઉદાહરણ પ્રશ્ન ૨
સોલ
x = 0 થી x = 1 ના અંતરાલમાં વક્ર y = x² + 1 અને y = 2x + 2 દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ નક્કી કરો.
ચર્ચા
સૌપ્રથમ, આપણે એકીકરણની મર્યાદા નક્કી કરવા માટે આંતરછેદ બિંદુઓ શોધવાની જરૂર છે. \( x^2 + 1 = 2x + 2 \) નો ઉકેલ:
\[ x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[ x^2 – 2x – 1 = 0 \]
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
જોકે, 0 અને 1 વચ્ચેની ઉપલી અને નીચલી મર્યાદા માટે, આપણે ચતુર્ભુજ ઉકેલનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર નથી, ફક્ત 0 થી 1 સુધીની સામાન્ય પૂર્ણાંક મર્યાદાનો ઉપયોગ કરવાની જરૂર છે. આગળ, આ મર્યાદાઓ અનુસાર ઉપલા y વળાંકના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો અને નીચેના y વળાંકને બાદ કરો:
\[ L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
કાર્ય સરળીકરણ:
\[ L = \int_{0}^{1} (2x + 2 – x^2 – 1) \, dx \]
\[ L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
આગળ, આપણે એન્ટિડેરિવેટિવ શોધીએ છીએ:
\( (-x^2) \) નું પ્રતિવ્યુત્પન્ન \( -\frac{x^3}{3} \) છે,
\( (2x) \) નું એન્ટિડેરિવેટિવ \( x^2 \) છે,
\( (1) \) નું એન્ટિડેરિવેટિવ \( x \) છે.
જેથી,
\[ L = \ડાબે. \ડાબે(-\frac{x^3}{3} + x^2 + x \જમણે) \જમણે|_0^1 \]
આગામી મૂલ્યાંકન:
\[ L = \ડાબે[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \જમણે] – \ડાબે[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \જમણે] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[ લ = -\ફ્રેક{1}{3} + 2 \]
\[ લ = \ફ્રેક{6}{3} – \ફ્રેક{1}{3} \]
\[ લ = \ફ્રેક{5}{3} \]
તેથી, અંતરાલ [0, 1] પર વક્ર y = x² + 1 અને y = 2x + 2 દ્વારા ઘેરાયેલ પ્રદેશનો વિસ્તાર છે:
\[ \frac{5}{3} \, \ટેક્સ્ટ{ક્ષેત્ર એકમ} \]
-
ઉપરોક્ત ઉદાહરણો પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વક્ર હેઠળ અથવા બે વક્ર વચ્ચેના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરવા માટે ઇન્ટિગ્રલ્સનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરી શકાય છે. ઇન્ટિગ્રલ્સ અને એન્ટિડેરિવેટિવ તકનીકોના મૂળભૂત ખ્યાલોની યોગ્ય સમજણ સાથે, આ ક્ષેત્રોની ગણતરી ખૂબ જ વ્યવસ્થિત અને કાર્યક્ષમ બને છે. આશા છે કે, આ લેખ વાસ્તવિક દુનિયામાં, ખાસ કરીને સમતલ સપાટીઓના ક્ષેત્રફળને માપવાના ક્ષેત્રમાં, ઇન્ટિગ્રલ્સના ઉપયોગ વિશેની આપણી સમજમાં વધારો કરશે.
