પરિભ્રમણ ગતિશીલતા

પરિભ્રમણ ગતિશાસ્ત્ર એ મિકેનિક્સનો એક વિભાગ છે જે બળ, દળ અને પરિભ્રમણ ગતિને પ્રભાવિત કરતા અન્ય પરિબળોને સંડોવતા પરિભ્રમણ ગતિનો અભ્યાસ કરે છે. જો પદાર્થના બધા ભાગો પદાર્થના કોઈપણ ભાગ પર સ્થિત ધરી અથવા ધરીની આસપાસ ફરે છે તો તે પરિભ્રમણ કરે છે. આ વિષયમાં અભ્યાસ કરાયેલ પરિભ્રમણ ગતિ નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ ગતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ગરગડી, પંખાની ગતિ, સીડી/ડીવીડી રૂમમાં સીડી/ડીવીડીની ગતિ, દરવાજા અથવા બારીની ગતિ, એન્જિન સિલિન્ડરની ગતિ, હેલિકોપ્ટર અથવા વિમાન પ્રોપેલર અથવા જહાજના પ્રોપેલરની ગતિ એ નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ ગતિના કેટલાક ઉદાહરણો છે. શું તમે ક્યારેય સ્પિનિંગ ટોપ જોયું છે? સ્પિનિંગ ટોપની ધરીની સ્થિતિ હંમેશા બદલાતી રહે છે (ટોચનો ઝુકાવ બદલાતો રહે છે), તેથી સ્પિનિંગ ટોપ દ્વારા અનુભવાતી પરિભ્રમણ ગતિનો આ વિષયમાં અભ્યાસ કરવામાં આવતો નથી.

કણ ગતિશીલતામાં, ટ્રાન્સલેશનલ ગતિમાં રહેલા પદાર્થને કણ અથવા એક બિંદુ ગણવામાં આવે છે. પદાર્થ ગમે તેટલો મોટો હોય કે તેનો આકાર ગમે તેટલો જટિલ હોય, તેને એક બિંદુ ગણવામાં આવે છે. પરિભ્રમણ ગતિશીલતામાં, પદાર્થને એક બિંદુ ગણવામાં આવતો નથી પરંતુ તેને તે રીતે જોવામાં આવે છે, ધારી લેતા કે તેનો આકાર અને કદ યથાવત રહે છે. જો કણ તરીકે ગણવામાં આવતા પદાર્થમાં એક બિંદુ હોય, તો કઠોર શરીર તરીકે ગણવામાં આવતા પદાર્થમાં ઘણા કણો હોય છે, જ્યાં દરેક કણની સ્થિતિ સ્થિર રહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર સમાન રહે છે.

સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ

1. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, ઘન પદાર્થથી બનેલી એક ગરગડી, જેની બહારની બાજુ દોરડું વીંટાળેલું છે, તે બતાવવામાં આવી છે. ગરગડીના ઘર્ષણને અવગણવામાં આવ્યું છે. જો ગરગડી I = β ની જડતાની ક્ષણ હોય અને દોરડાને સતત બળ F થી ખેંચવામાં આવે, તો F નું મૂલ્ય... બરાબર થાય છે.

A. F = α . β . R
બી. એફ = α . β 2 . આર
સી. એફ = α . (β . આર)^-1
ડી. એફ = α . β . (આર)^-1
ઇ. એફ = આર. (α. β)^-1

ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ખેંચાણ બળ = F
પુલીના જડત્વનો ક્ષણ = β
ગરગડીનો કોણીય પ્રવેગ = α
પુલી ત્રિજ્યા = R
પ્રશ્ન: F નું મૂલ્ય…. ની સમકક્ષ છે.
જવાબ :

ન્યુટનનો પરિભ્રમણ ગતિનો બીજો નિયમ:
પુલી પર બળનો પરિણામી ક્ષણ:
સાચો જવાબ D છે.

2. 6 મીટર લાંબો અને નહિવત દળ ધરાવતો સળિયો આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે ત્રણ બળો દ્વારા કાર્ય કરે છે. જ્યારે સળિયો તેના દળના કેન્દ્રની આસપાસ O પર ફરે છે ત્યારે તેના બળના ક્ષણનું મૂલ્ય... છે.

એ. એફ

બી. 3એફ

સી. 4 એફ

ડી. 5એફ

ઇ. 6F

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પરિભ્રમણની ધરી બિંદુ O પર છે.

બળ ૧ (F _૧ ) = F

_{કાર્ય બિંદુ F 1} અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r _{1 )} વચ્ચેનું અંતર = 3 મીટર

બળ 2 (F ₂ ) = 2F

_{કાર્ય બિંદુ F 2} અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r _{2 )} વચ્ચેનું અંતર = 2 મીટર

બળ 3 (F ₃ ) = 2F

_{કાર્ય બિંદુ F 3} અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r _{3 )} વચ્ચેનું અંતર = 3 મીટર

પ્રશ્ન: સળિયા જ્યારે તેના દળના કેન્દ્રની આસપાસ O પર ફરે છે ત્યારે તેના બળના ક્ષણનું મૂલ્ય કેટલું હોય છે?

જવાબ :

બળનો ક્ષણ ૧:

τ ₁ = F ₁ r ₁ = (F)(3) = -3F

બળ 1 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી બળ 1 ની તે ક્ષણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ ₂ = F ₂ r ₂ = (2F)(2) = 4F

બળ 2 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે જેથી બળ 2 ની ક્ષણમાં ધન સંકેત હોય.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 30 ^o = (2F)(3)(0,5) = 3F

બળ 3 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે જેથી બળ 3 ની ક્ષણમાં ધન સંકેત હોય.

પરિણામી બળનો ક્ષણ:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

બળના ક્ષણનું મૂલ્ય 4F ન્યૂટન મીટર છે. બળના ક્ષણનો અર્થ એ છે કે સળિયો ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે.

સાચો જવાબ C છે.

૩. ચિત્ર જુઓ!

જો AC સળિયાના દળને અવગણવામાં આવે, α = 30 ^o , લંબાઈ AB = BC = 1 મીટર, તો બિંદુ A પર ધરી સાથે સિસ્ટમના બળનો ક્ષણ... છે.

એ. 10√3 Nm ઘડિયાળની દિશામાં

B. 10 √3 Nm ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં

C. 20 Nm ઘડિયાળની દિશામાં

D. 20 √3 Nm ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં

E. 20 √3 Nm ઘડિયાળની દિશામાં

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પરિભ્રમણની ધરી બિંદુ A પર છે.

બળ 1 (F ₁ ) = 10 N

_{કાર્ય બિંદુ F 1} અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r _{1 )} વચ્ચેનું અંતર = 1 મીટર

બળ 2 (F ₂ ) = 10 N

_{કાર્ય બિંદુ F 2} અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r _{2 )} વચ્ચેનું અંતર = 1 મીટર

બળ 3 (F ₃ ) = 20 N

_{કાર્ય બિંદુ F 3} અને પરિભ્રમણ અક્ષ (r _{3 )} વચ્ચેનું અંતર = 2 મીટર

પ્રશ્ન: બિંદુ A પર ધરી સાથે સિસ્ટમના બળનો ક્ષણ

જવાબ :

બળનો ક્ષણ ૧:

τ ₁ = F ₁ r ₁ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = 5 ન્યૂટન મીટર

બળ 1 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે જેથી બળ 1 ની ક્ષણમાં ધન સંકેત હોય.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ ₂ = F ₂ r ₂ sin 30 ^o = (10)(1)(0,5) = -5 ન્યૂટન મીટર

બળ 2 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી બળ 2 ની તે ક્ષણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ ₃ = F ₃ r ₃ sin 60 ^o = (20)(2)(0,5 √3 ) = -20 √3 ન્યૂટન મીટર

બળ 2 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી બળ 2 ની તે ક્ષણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

પરિણામી બળનો ક્ષણ:

Στ = τ ₁ + τ ₂ + τ ₃

Στ = ૫ – ૫ – ૨૦ √૩

Στ = – 20 √3 ન્યૂટન મીટર

બળના ક્ષણનું મૂલ્ય 20 √3 ન્યૂટન મીટર છે . બળના ઋણ ક્ષણનો અર્થ એ છે કે સળિયો ઘડિયાળની દિશામાં ફરે છે.

સાચો જવાબ E છે.

4. બાજુના ચિત્રને જુઓ!

^{ઘન પદાર્થ (I = 2/5 MR 2} ) થી બનેલી ગરગડીનું દળ 2 કિલો છે. જો ગરગડી પર બળનો ક્ષણ 4 Nm હોય, તો ગરગડીનો રેખીય પ્રવેગ .... (g = 10 ms ^-2 ) છે.

A. ૧.૦ મિલીસેકન્ડ ^-૨

B. 25 મિલીસેકન્ડ ^-2

C. 20 મિલીસેકન્ડ ^-2

D. 16 મિલીસેકન્ડ ^-2

પૂર્વ. ૧૨ મિલીસેકન્ડ ^-૧

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

ઘન પુલી (I) ની જડતાની ક્ષણ = 2/5 MR ²

પુલી દળ (M) = 2 કિલો

બળનો ક્ષણ ( τ) = 4 Nm

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

પુલી ત્રિજ્યા (R) = 20 સેમી = 0,2 મીટર

પ્રશ્ન: રેખીય પ્રવેગ (a)

જવાબ :

પુલી (I) ના જડતાના ક્ષણની ગણતરી કરો:

I = 2/5 MR ² = 2/5 (2)(0,2) ² = 2/5 (2)(0,04) = 2/5 (0,08) = 0,16/5 = 0,032 કિગ્રા m ²

કોણીય પ્રવેગ ( α) ની ગણતરી કરો :

τ = હું α

α = τ/I = 4/0,032 = 125 rad.s ^-2

રેખીય પ્રવેગક (a) ની ગણતરી કરો:

a = R α = (0,2)( 125) = 25 ms ^-2

પુલીની ધારનો રેખીય પ્રવેગ 25 ms ^-2 છે.

સાચો જવાબ B છે.

5. બાજુ પરનું ચિત્ર જુઓ! ઘન બોલની ગરગડી 2 ms ^-2 ના પ્રવેગ સાથે ફરે છે , જો g = 10 ms ^-2 હોય, તો ગરગડીનો જડતાનો ક્ષણ .... છે.

A. 1,0 કિગ્રા.મી.²

બી. ૦.૦૭૬ કિગ્રા.મી ^૨

સી. ૦.૧૨૪ કિગ્રા.મી ^૨

ડી. ૦.૧૭૦ કિગ્રા.મી ^૨

ઇ. ૦.૭૬૦ કિગ્રા.મી ^૨

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પુલી ધારનો રેખીય પ્રવેગ (a) = 2 ms ^-2

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

પુલી ત્રિજ્યા (R) = 10 સેમી = 0,1 મીટર

ભાર વજન (w) = mg = (4)(10) = 40 N

પ્રશ્ન: ગરગડીની જડતાની ક્ષણ

જવાબ :

બળના ક્ષણની ગણતરી કરો ( τ):

τ = FR = w R = (40)(0,1) = 4 Nm

ગરગડીના કોણીય પ્રવેગની ગણતરી કરો ( α ):

એ = આર α

α = a/R = 2/0,1 = 20 rad.s ^-2

પુલી (I) ના જડતાના ક્ષણની ગણતરી કરો:

τ = હું α

I = τ/ α = 4/20 = 0,2 kg m ²

સાચો જવાબ D છે.

૩. બાજુના ચિત્રને જુઓ!

ગરગડીને એવી રીતે ખેંચવામાં આવે છે કે ગરગડી 1 ms ^-2 ના પ્રવેગ સાથે ખસે છે . જો ગરગડીની ત્રિજ્યા 10 cm હોય, તો ગરગડીની જડતાનો ક્ષણ... છે.

A. 4,00 કિગ્રા.મી.²

બી. ૦.૦૭૬ કિગ્રા.મી ^૨

સી. ૦.૧૨૪ કિગ્રા.મી ^૨

ડી. ૦.૧૭૦ કિગ્રા.મી ^૨

ઇ. ૦.૭૬૦ કિગ્રા.મી ^૨

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પુલી ધારનો રેખીય પ્રવેગ (a) = 1 ms ^-2

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms ^-2

પુલી ત્રિજ્યા (R) = 10 સેમી = 0,1 મીટર

તાણ બળ (F) = 4 N

પ્રશ્ન: ગરગડીની જડતાની ક્ષણ

જવાબ :

બળના ક્ષણની ગણતરી કરો ( τ):

τ = FR = (4)(0,1) = 0,4 Nm

ગરગડીના કોણીય પ્રવેગની ગણતરી કરો ( α ):

એ = આર α

α = a/R = 1/0,1 = 10 rad.s ^-2

પુલી (I) ના જડતાના ક્ષણની ગણતરી કરો:

τ = હું α

I = τ/ α = 0,4/10 = 0,04 kg m ²

સાચો જવાબ C છે.

7. 1 કિલો વજન અને 10 સે.મી. ત્રિજ્યા ધરાવતી એક ઘન ડિસ્ક પુલીની ધાર પર દોરડું વીંટાળેલું હોય છે, અને દોરડાના એક છેડે 1 કિલો વજન લટકાવવામાં આવે છે. ધારો કે દોરડું દળહીન છે. ભારની નીચેની ગતિનો પ્રવેગ... (g = 10 m/s) છે.²)
A. ૧.૭૫ મી/સેકન્ડ²
B. ૧.૫૦ મી/સેકન્ડ²
સી. ૧.૦૦ મી/સે²
ડી. ૦.૮૮ મી/સે²
પૂર્વ. ૧૫ મી/સે²ચર્ચા:
તે જાણીતું છે કે:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s)²) = ૧૯.૬ ન્યૂટન
r = 0,1 મીટર
પૂછ્યું:
ભારની ગતિવિધિમાં વધારો
જવાબ :
હિતુંગ જડતાનો ક્ષણ અને શૈલીનો ક્ષણ પ્રથમ.

સાચો જવાબ D છે.

8. 2M દળ અને R ત્રિજ્યા ધરાવતી ઘન ડિસ્ક પુલી, દોરડા વડે ધારની આસપાસ વીંટાળવામાં આવે છે, અને m દળ ધરાવતો ભાર દોરડાના એક છેડે લટકાવવામાં આવે છે. જ્યારે ભાર છૂટો થાય છે, ત્યારે પુલી ના કોણીય પ્રવેગ સાથે ફરે છે. જો M દળ ધરાવતો પદાર્થ પુલી સાથે જોડાયેલ હોય, તો પુલી સમાન કોણીય પ્રવેગ સાથે ફરવા માટે, ભારનું દળ બનાવવું આવશ્યક છે... (I પુલી = ½ mr²).
A. ¾ મીટર કિલો
B. 3/2 મીટર કિગ્રા
C. 2 મીટર કિગ્રા
ડી. ૩ મીટર કિગ્રા
ઇ. 4 મીટર કિગ્રા

ચર્ચા:
તે જાણીતું છે કે:
ઘન ડિસ્ક પુલીનું દળ: 2M
ઘન ડિસ્ક પુલીનો ત્રિજ્યા : R
લોડ માસ: મીટર
પૂછ્યું :
ભારનું દળ?
જવાબ :

ઘન ડિસ્ક પુલી સાથે M દળ ધરાવતી વસ્તુ જોડાયેલ હોય તે પહેલાં અને પછી તેની જડતાની ક્ષણની ગણતરી કરો:
જડતા 1 ની ક્ષણ : I = ½ મિ.² = ½ (૩ મીટર)(ર)² = શ્રી²
જડતા 2 ની ક્ષણ : I = ½ મિ.² = ½ (2 મીટર + મીટર)(ર)² = ½ (૩ મીટર)(ર)² = ૧.૫ મિલી²

પ્રશ્ન સ્ત્રોત:

સિનિયર હાઇ સ્કૂલ/વોકેશનલ હાઇ સ્કૂલ માટે રાષ્ટ્રીય પરીક્ષા ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નો