પરિભ્રમણ ગતિશીલતા

પરિભ્રમણ ગતિશીલતા મિકેનિક્સનો એક વિભાગ છે જે બળ, દળ અને પરિભ્રમણ ગતિને પ્રભાવિત કરતા અન્ય પરિબળોનો સમાવેશ કરતી પરિભ્રમણ ગતિનો અભ્યાસ કરે છે. જો પદાર્થના બધા ભાગો પદાર્થના એક ભાગ પર સ્થિત ધરી અથવા ધરીની આસપાસ ફરે છે તો પદાર્થ પરિભ્રમણ કરે છે. આ વિષયમાં અભ્યાસ કરાયેલ પરિભ્રમણ ગતિ નિશ્ચિત ધરીની આસપાસ પરિભ્રમણ ગતિ પર ધ્યાન કેન્દ્રિત કરે છે. ગરગડી, પંખાની ગતિ, CD/DVD ની અંદર CD/DVD ની ગતિ. રૂમ, દરવાજા કે બારીઓની ગતિ, એન્જિન સિલિન્ડરોની ગતિ, હેલિકોપ્ટર કે વિમાનના પ્રોપેલર, જહાજના પ્રોપેલર, એ સ્થિર ધરી પર પરિભ્રમણ ગતિના કેટલાક ઉદાહરણો છે. શું તમે ક્યારેય સ્પિનિંગ ટોપ જોયું છે? સ્પિનિંગ ટોપની ધરીની સ્થિતિ હંમેશા બદલાતી રહે છે (ટોચનો ઝુકાવ બદલાતો રહે છે) તેથી સ્પિનિંગ ટોપ દ્વારા અનુભવાતી પરિભ્રમણ ગતિનો આ વિષયમાં અભ્યાસ કરવામાં આવ્યો નથી.

કણ ગતિશીલતામાં, ટ્રાન્સલેશનલ ગતિમાં રહેલા પદાર્થને કણ અથવા એક બિંદુ ગણવામાં આવે છે. પદાર્થ ગમે તેટલો મોટો હોય કે તેનો આકાર ગમે તેટલો જટિલ હોય, તેને એક બિંદુ ગણવામાં આવે છે. પરિભ્રમણ ગતિશીલતામાં, પદાર્થને એક બિંદુ ગણવામાં આવતો નથી પરંતુ તેને તે રીતે જોવામાં આવે છે, ધારી લેતા કે તેનો આકાર અને કદ યથાવત રહે છે. જો કણ તરીકે ગણવામાં આવતા પદાર્થમાં એક બિંદુ હોય, તો કઠોર શરીર તરીકે ગણવામાં આવતા પદાર્થમાં ઘણા કણો હોય છે, જ્યાં દરેક કણની સ્થિતિ સ્થિર રહે છે અને તેમની વચ્ચેનું અંતર સમાન રહે છે.

સમસ્યાઓનું ઉદાહરણ

1. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, ઘન પદાર્થથી બનેલી એક ગરગડી, જેની બહારની બાજુ દોરડું વીંટાળેલું છે, તે બતાવવામાં આવી છે. ગરગડીના ઘર્ષણને અવગણવામાં આવ્યું છે. જો ગરગડી I = β ની જડતાની ક્ષણ હોય અને દોરડાને સતત બળ F થી ખેંચવામાં આવે, તો F નું મૂલ્ય... બરાબર થાય છે.

A. F = α . β . R
બી. એફ = α . β 2 . આર
સી. એફ = α . (β . આર)^-1
ડી. એફ = α . β . (આર)^-1
ઇ. એફ = આર. (α. β)^-1

ચર્ચા
તે જાણીતું છે કે:
ખેંચાણ બળ = F
પુલીના જડત્વનો ક્ષણ = β
ગરગડીનો કોણીય પ્રવેગ = α
પુલી ત્રિજ્યા = R
પ્રશ્ન: F નું મૂલ્ય…. ની સમકક્ષ છે.
જવાબ :

ન્યુટનનો પરિભ્રમણ ગતિનો બીજો નિયમ:
પુલી પર બળનો પરિણામી ક્ષણ:
સાચો જવાબ D છે.

2. આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે, નગણ્ય દળ ધરાવતા 6-મીટર લાંબા સળિયા પર ત્રણ બળો લાગુ પડે છે. જ્યારે સળિયા તેના દળના કેન્દ્રની આસપાસ O પર ફરે છે ત્યારે તેના બળના ક્ષણનું મૂલ્ય... છે.

એ. એફ

બી. 3એફ

સી. 4 એફ

ડી. 5એફ

ઇ. 6F

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પરિભ્રમણની ધરી બિંદુ O પર છે.

શૈલી 1 (F₁) = એફ

કાર્યકારી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર F₁ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₁) = ૨.૫ મીટર

શૈલી 2 (F₂) = 2F

કાર્યકારી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર F₂ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₂) = ૨.૫ મીટર

શૈલી 3 (F₃) = 2F

કાર્યકારી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર F₃ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₃) = ૨.૫ મીટર

પૂછ્યું: જ્યારે સળિયા તેના દળના કેન્દ્રની આસપાસ O પર ફરે છે ત્યારે તેના બળના ક્ષણનું મૂલ્ય

જવાબ :

બળનો ક્ષણ ૧:

τ₁ = એફ₁ r₁ = (એફ)(3) = -3એફ

બળ 1 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી બળ 1 ની તે ક્ષણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ₂ = એફ₂ r₂ = (2F)(2) = 4F

બળ 2 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે જેથી બળ 2 ની ક્ષણમાં ધન સંકેત હોય.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ₃ = એફ₃ r₃ 30 વગર^o = (2F)(3)(0,5) = 3F

બળ 3 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે જેથી બળ 3 ની ક્ષણમાં ધન સંકેત હોય.

પરિણામી બળનો ક્ષણ:

Στ = τ₁ + τ₂ + τ₃

Στ = -3F + 4F + 3F

Στ = 4F

બળના ક્ષણનું મૂલ્ય 4F ન્યૂટન મીટર છે. બળના ક્ષણનો અર્થ એ છે કે સળિયો ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરે છે.

સાચો જવાબ C છે.

3. ચિત્ર જુઓ!

જો AC સળિયાના દળની અવગણના કરવામાં આવે, . = 30^o, લંબાઈ AB = BC = 1 મીટર, બિંદુ A પર ધરી સાથે સિસ્ટમના બળનો ક્ષણ છે...

એ. 10√3 Nm ઘડિયાળની દિશામાં

બી 10√3 Nm ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં

સી. 20 ઘડિયાળની દિશામાં Nm

ડી. 20√3 Nm ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં

ઇ. 20√3 Nm ઘડિયાળની દિશામાં

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પરિભ્રમણની ધરી બિંદુ A પર છે.

શૈલી 1 (F₁) = 10 નાઈટ્રોજન

કાર્યકારી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર F₁ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₁) = ૨.૫ મીટર

શૈલી 2 (F₂) = 10 નાઈટ્રોજન

કાર્યકારી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર F₂ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₂) = ૨.૫ મીટર

શૈલી 3 (F₃) = 20 નાઈટ્રોજન

કાર્યકારી બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર F₃ પરિભ્રમણની ધરી સાથે (r₃) = ૨.૫ મીટર

પૂછ્યું: Mબિંદુ A પર ધરી સાથે સિસ્ટમ શૈલી શુકન

જવાબ :

બળનો ક્ષણ ૧:

τ₁ = એફ₁ r₁ 30 વગર^o = (10)(1)(0,5) = 5 ન્યૂટન મીટર

બળ 1 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં ફેરવે છે જેથી બળ 1 ની ક્ષણમાં ધન સંકેત હોય.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ₂ = એફ₂ r₂ 30 વગર^o = (10)(1)(0,5) = -5 ન્યૂટન મીટર

બળ 2 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી બળ 2 ની તે ક્ષણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

બળનો ક્ષણ ૧:

τ₃ = એફ₃ r₃ 60 વગર^o = (20)(2)(0,5)√3) = -20√3 ન્યૂટન મીટર

બળ 2 ની ક્ષણ સળિયાને ઘડિયાળની દિશામાં ફેરવે છે તેથી બળ 2 ની તે ક્ષણ નકારાત્મક ચિહ્ન ધરાવે છે.

પરિણામી બળનો ક્ષણ:

Στ = τ₁ + τ₂ + τ₃

Στ = ૫ – ૫ – ૨૦√3

Στ = – 20√3 ન્યૂટન મીટર

બળના ક્ષણનું મૂલ્ય છે 20√3 ન્યૂટન મીટર. બળનો ક્ષણ નકારાત્મક અર્થ ધરાવે છે ઘડિયાળની દિશામાં સળિયાનું પરિભ્રમણ.

સાચો જવાબ E છે.

4. બાજુના ચિત્રને જુઓ!

એક ગરગડી ઘન સામગ્રીથી બનેલી હોય છે (I = 2/5 MR²) નું દળ 2 કિલો છે. જો ગરગડી પર બળનો ક્ષણ 4 Nm હોય, તો ગરગડીનો રેખીય પ્રવેગ .... (g = 10 ms) છે.^-2)

A. ૧૨ મિલીસેકન્ડ^-2

બી. ૧૦ મિલીસેકન્ડ^-2

સી. ૫ મિલીસેકન્ડ^-2

ડી. ૪ મિલીસેકન્ડ^-2

પૂર્વ. 8 મિલીસેકન્ડ^-2

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

ઘન પુલી (I) ની જડતાની ક્ષણ = 2/5 MR²

પુલી દળ (M) = 2 કિલો

બળનો ક્ષણ (τ) = 4 એનએમ

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms^-2

પુલી ત્રિજ્યા (R) = 20 સેમી = 0,2 મીટર

પૂછ્યું: રેખીય પ્રવેગ (a)

જવાબ :

પુલી (I) ના જડતાના ક્ષણની ગણતરી કરો:

હું = 2/5 મિલી² = ૧/૫ (૪)(૦.૦૫)² = 2/5 (2)(0,04) = 2/5 (0,08) = 0,16/5 = 0,032 કિગ્રા મીટર²

પ્રવેગકની ગણતરી કરો ખૂણો (α) :

τ = હું α

α = τ/I = 4/0,032 = 125 રેડિયન.સે^-2

રેખીય પ્રવેગક (a) ની ગણતરી કરો:

a = R α = (0,2)(૩) = ૩ કુ.^-2

રેખીય પ્રવેગ પુલી ધાર અદાલાહ 25 કુ.^-2.

સાચો જવાબ B છે.

5. બાજુના ચિત્રને જુઓ! ઘન બોલની ગરગડી 2 મીટર/સેકન્ડના પ્રવેગ સાથે ફરે છે.^-2, જો g = 10 ms^-2, તો ગરગડીનો જડતાનો ક્ષણ … છે.

A. 1,0 કિગ્રા.મી.²

બી. ૦.૦૭૬ કિગ્રા.મી.²

સી. 0,6 કિગ્રા.મી²

ડી. ૦.૧૭૦ કિગ્રા.મી.²

ઇ. ૦.૭૬૦ કિગ્રા.મી.²

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પુલીની ધારનો રેખીય પ્રવેગ (a) = 2 મિ.એસ.^-2

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms^-2

પુલી ત્રિજ્યા (R) = 10 સેમી = 0,1 મીટર

ભાર વજન (w) = mg = (4)(10) = 40 N

પૂછ્યું: Mપુલી જડતા શુકન

જવાબ :

બળના ક્ષણની ગણતરી કરો (τ) :

τ = FR = w R = (40)(0,1) = 4 Nm

ગરગડીના કોણીય પ્રવેગની ગણતરી કરો (α):

a = R α

α = a/R = 2/0,1 = 20 રેડિયન્સ^-2

પુલી (I) ના જડતાના ક્ષણની ગણતરી કરો:

τ = હું α

હું = τ/α = ૪/૨૦ = ૦.૨ કિલોગ્રામ મી²

સાચો જવાબ D છે.

6. બાજુના ચિત્રને જુઓ!

ગરગડીને એવી રીતે ખેંચવામાં આવે છે કે ગરગડી 1 ms ના પ્રવેગ સાથે ખસે છે^-2. જો ગરગડીની ત્રિજ્યા 10 સેમી હોય તો ગરગડીનો જડત્વનો ક્ષણ … છે.

A. 4,00 કિગ્રા.મી.²

બી. ૦.૦૭૬ કિગ્રા.મી.²

સી. 0,04 કિગ્રા.મી²

ડી. ૦.૧૭૦ કિગ્રા.મી.²

ઇ. ૦.૭૬૦ કિગ્રા.મી.²

ચર્ચા

તે જાણીતું છે કે:

પુલી ધારનો રેખીય પ્રવેગ (a) = 1 ms^-2

ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ (g) = 10 ms^-2

પુલી ત્રિજ્યા (R) = 10 સેમી = 0,1 મીટર

તાણ બળ (F) = 4 N

પૂછ્યું: Mપુલી જડતા શુકન

જવાબ :

બળના ક્ષણની ગણતરી કરો (τ) :

τ = FR = (4)(0,1) = 0,4 Nm

ગરગડીના કોણીય પ્રવેગની ગણતરી કરો (α):

a = R α

α = a/R = 1/0,1 = 10 રેડિયન્સ^-2

પુલી (I) ના જડતાના ક્ષણની ગણતરી કરો:

τ = હું α

હું = τ/α = ૪/૨૦ = ૦.૨ કિલોગ્રામ મી²

સાચો જવાબ C છે.

7. 1 કિલો વજન અને 10 સે.મી. ત્રિજ્યા ધરાવતી એક ઘન ડિસ્ક પુલીની ધાર પર દોરડું વીંટાળેલું હોય છે, અને દોરડાના એક છેડે 1 કિલો વજન લટકાવવામાં આવે છે. ધારો કે દોરડું દળહીન છે. ભારની નીચેની ગતિનો પ્રવેગ... (g = 10 m/s) છે.²)
A. ૧.૭૫ મી/સેકન્ડ²
B. ૧.૫૦ મી/સેકન્ડ²
સી. ૧.૦૦ મી/સે²
ડી. ૦.૮૮ મી/સે²
પૂર્વ. ૧૫ મી/સે²ચર્ચા:
તે જાણીતું છે કે:
F = w = mg = (1 kg)(10 m/s)²) = ૧૯.૬ ન્યૂટન
r = 0,1 મીટર
પૂછ્યું:
ભારની ગતિવિધિમાં વધારો
જવાબ :
હિતુંગ જડતાનો ક્ષણ અને શૈલીનો ક્ષણ પ્રથમ.

સાચો જવાબ D છે.

8. 2M દળ અને R ત્રિજ્યા ધરાવતી ઘન ડિસ્ક પુલી, દોરડા વડે ધારની આસપાસ વીંટાળવામાં આવે છે, અને m દળ ધરાવતો ભાર દોરડાના એક છેડે લટકાવવામાં આવે છે. જ્યારે ભાર છૂટો થાય છે, ત્યારે પુલી ના કોણીય પ્રવેગ સાથે ફરે છે. જો M દળ ધરાવતો પદાર્થ પુલી સાથે જોડાયેલ હોય, તો પુલી સમાન કોણીય પ્રવેગ સાથે ફરવા માટે, ભારનું દળ બનાવવું આવશ્યક છે... (I પુલી = ½ mr²).
A. ¾ મીટર કિલો
B. 3/2 મીટર કિગ્રા
C. 2 મીટર કિગ્રા
ડી. ૩ મીટર કિગ્રા
ઇ. 4 મીટર કિગ્રા

ચર્ચા:
તે જાણીતું છે કે:
ઘન ડિસ્ક પુલીનું દળ: 2M
ઘન ડિસ્ક પુલીનો ત્રિજ્યા : R
લોડ માસ: મીટર
પૂછ્યું :
ભારનું દળ?
જવાબ :

ઘન ડિસ્ક પુલી સાથે M દળ ધરાવતી વસ્તુ જોડાયેલ હોય તે પહેલાં અને પછી તેની જડતાની ક્ષણની ગણતરી કરો:
જડતા 1 ની ક્ષણ : I = ½ મિ.² = ½ (૩ મીટર)(ર)² = શ્રી²
જડતા 2 ની ક્ષણ : I = ½ મિ.² = ½ (2 મીટર + મીટર)(ર)² = ½ (૩ મીટર)(ર)² = ૧.૫ મિલી²

પ્રશ્ન સ્ત્રોત:

સિનિયર હાઇ સ્કૂલ/વોકેશનલ હાઇ સ્કૂલ માટે રાષ્ટ્રીય પરીક્ષા ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નો