proxectil-movemento

Artigo sobre o movemento do proxectil e problemas de exemplo con solucións

Velocidade inicial (v_o) e a compoñente da velocidade inicial (v_ox e v_oy)

Un obxecto cuxos movementos parabólicos sempre teñen unha velocidade inicial. Dado que o movemento parabólico é unha combinación de movementos nas direccións horizontal e vertical, a velocidade inicial tamén ten compoñentes horizontal e vertical.

Se o obxecto se move parabolicamente como nas figuras 1 e 3, entón a velocidade inicial na dirección horizontal (v _ox ) e a velocidade inicial na dirección vertical (v _oy ) calcúlanse usando a ecuación:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sen θ

Se o obxecto se move en parabólica como na figura 2, entón v _o = v _ox (v _oy = 0)

Velocidade (v_x e v_y) e Posición (x e y)

A velocidade nas direccións horizontal e vertical nun determinado intervalo de tempo calcúlase mediante a ecuación:

v _x = v _ox = constante ( movemento lineal uniforme )

v _y = v _oy + gt ou v _y ² = v _oy ² + 2 gh (movemento en caída libre)

A posición dos obxectos nas direccións horizontal (x) e vertical (y) nun determinado intervalo de tempo calcúlase mediante a ecuación:

x = v _ox t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Resultante da velocidade (v) e da posición (h)

A velocidade resultante nun intervalo de tempo especificado calcúlase mediante a ecuación:

A dirección dos obxectos nun determinado intervalo de tempo calcúlase mediante a ecuación:

Notas:

1. A compoñente horizontal do movemento parabólico considérase como o movemento lineal uniforme, polo que vox = vx é sempre constante

2. A compoñente vertical do movemento parabólico considérase o movemento de caída libre, polo que se o obxecto se move de forma parabólica, como nas figuras 1 e 3, a compoñente vertical da velocidade do obxecto á altura máxima é cero (v _y = 0). Se lanzas unha bóla en posición vertical cara arriba a unha altura máxima, o obxecto repousa un momento (v _y = 0) antes de xirar cara abaixo. Polo tanto, a velocidade do obxecto que move a parabólica á altura máxima = v _x = v _ox

3. Se o obxecto se move de forma parabólica como se mostra na Figura 2, o compoñente vertical do movemento parabólico considérase o movemento de caída libre. Se o obxecto se move de forma parabólica como nas Figuras 1 e 3, entón o compoñente vertical do movemento parabólico considérase o movemento vertical ascendente.

Problemas de mostra:

1. Dispárase unha bala en dirección horizontal cunha velocidade inicial de 20 m/s. Se a arma está a 5 metros do chan, determina:

(a) tempo no aire

(b) a altura máxima

(c) a distancia horizontal

(d) a velocidade da bala cando toca o chan

Solución:

O movemento en dirección horizontal analízase como o movemento lineal uniforme, mentres que o movemento en dirección vertical analízase como o movemento de caída libre.

Coñecido:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tempo no aire

A solución é determinar o intervalo de tempo (t) no movemento de caída libre.

Coñecido: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Buscase: t

b) A altura máxima

Altura máxima = h = 5 metros.

c) Distancia horizontal (d)

A solución é como determinar a distancia no movemento lineal uniforme

Coñecido: v _ox = 20 m/s, t = 1 segundo

Buscase: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Velocidade cando a bala toca o chan

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Primeiro, calculamos a velocidade final na dirección vertical (vty). A solución é como determinar a velocidade final do movemento en caída libre.

Coñecido: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Buscase: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

vt ₌ 9.8 m/s

A velocidade dunha bala ao tocar o chan:

Dirección da bala:

Dado que v _tx está na dirección do eixe x positivo (cara á dereita) e v _ty está na dirección do eixe y negativo (cara abaixo),

A dirección da bala cando toca o chan é de -26.1 ^° respecto ao eixe x positivo (véxase a figura seguinte).

2. O canón disparou unha bala a 30 ^° da horizontal cunha velocidade de 60 m/s. Determina:

(a) a altura máxima

(b) a velocidade da bala á altura máxima

(c) tempo no aire

(d) a distancia horizontal

(e) a velocidade da bala cando toca o chan. Supoñamos que o chan é plano. 🙂

Solución:

O movemento en dirección horizontal analízase como o movemento lineal uniforme, e o movemento en dirección vertical analízase como o movemento vertical ascendente.

Coñecido: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Baseándonos nos datos coñecidos, primeiro calculamos as compoñentes vertical (v _oy ) e horizontal (v _ox ) da velocidade inicial (v _o ).

a) A altura máxima (h)

A solución é como determinar a altura máxima no movemento vertical ascendente.

Coñecido:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sen θ = (60)(sen 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Altura máxima (h)

A solución é como determinar a altura máxima no movemento vertical ascendente.

Coñecido:

v _oy = 30 m/s (esta é a velocidade inicial da bala)

v _ty = 0 m/s (Á altura máxima, a velocidade vertical da bala = 0 m/s. Esta é a velocidade final.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Buscase: h

v _t² = v ^o² ₊ ² gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) h

0 = 900 – 19.6 h

900 = 19.6 horas

h = 900 / 19.6

h = 45.9 metros

A altura máxima alcanzada pola bala = 45.9 metros.

b) A velocidade á altura máxima

Na altura máxima, a velocidade na dirección vertical = 0 m/s. Na altitude máxima, só existe velocidade na dirección horizontal. A velocidade na dirección horizontal na altura máxima é igual á velocidade inicial na dirección horizontal, que é de 52.2 m/s. A dirección da velocidade na dirección horizontal é sempre constante, é dicir, na dirección do eixe x positivo (se o movemento dun obxecto se describe no diagrama anterior).

c) Tempo no aire

A solución é como determinar o intervalo de tempo (t) na discusión do movemento vertical ascendente.

Coñecido:

v _oy = 30 m/s (esta é a velocidade inicial da bala na dirección vertical)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (cando a bala volve ao chan, o desprazamento da bala na dirección vertical = 0 m)

Buscase: t

h = v _o t + ½ ^gt²

0 = (30) t + ½ (-9.8 m/ ^s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 segundos

Tempo no aire = 6.12 segundos

d) Distancia horizontal (d)

A solución é como determinar a distancia (d) no movemento lineal uniforme.

Coñecido:

v _ox = 52.2 m/s

t = 6.12 segundos

Buscase: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 segundos) = 319.5 m

e) Velocidade cando a bala toca o chan

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Primeiro, calculamos a velocidade final na dirección vertical (v _ty ). A solución é determinar a velocidade final no movemento vertical ascendente.

Buscado: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 segundos

Buscase: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

Un signo negativo indica que a dirección da velocidade final é cara abaixo. Ten en conta que a velocidade inicial na dirección vertical é igual á velocidade final na dirección vertical.

A velocidade da bala ao tocar o chan:

A dirección da bala:

Dado que v _tx está na dirección do eixe x positivo (cara á dereita) e vty está na dirección do eixe y negativo (cara abaixo),

A dirección da velocidade da bala cando toca o chan é de -30 ^° arredor do eixe x positivo (véxase a figura a continuación).

3. Lánzase unha pelota dende o bordo dun edificio de 50 metros de altura cunha velocidade inicial de 10 m/s. Se a pelota se lanza a 30° arredor da horizontal, determina:

(a) o intervalo de tempo en que a pelota chega ao chan

(b) a velocidade da pelota cando toca o chan

(c) a distancia horizontal que pode alcanzar a pelota mídese desde o bordo do edificio

(d) a altura máxima alcanzada pola bóla

Solución:

Primeiro, calculamos a compoñente vertical (v _oy ) e a compoñente horizontal (v _ox ) da velocidade inicial (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sen 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Intervalo de tempo no que a pelota chega ao chan

A solución é como determinar o intervalo de tempo (t) nun movemento vertical ascendente. A magnitude do vector cuxa dirección é cara arriba escóllese como positiva, a magnitude do vector cuxa dirección é cara abaixo escóllese como negativa. A posición da bóla onde se lanza selecciónase como punto de referencia. h é negativo porque a superficie do chan está debaixo do punto de referencia, g é negativo porque a dirección da aceleración da gravidade é cara abaixo.

Coñecido:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Buscase: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Usa a fórmula cuadrática:

Tempo no aire = intervalo de tempo desde que a pelota foi lanzada ata chegar ao chan = 1.64 segundos.

b) Velocidade da pelota cando golpea a superficie do chan

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Primeiro, calculamos a velocidade final na dirección vertical (v _ty ). A solución é como determinar a velocidade final no movemento vertical ascendente.

Coñecido: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 segundos

Buscase: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

O signo negativo indica que a dirección da velocidade final é descendente.

A velocidade da bala ao tocar o chan:

A dirección da velocidade da bala = a dirección do movemento da bala cando toca o chan:

A velocidade da bala ao tocar o chan:

Dado que vtx está na dirección do eixe x positivo (cara á dereita) e vty está na dirección do eixe y negativo (cara abaixo),

A dirección da bala cando toca o chan é de -52o arredor do eixe x positivo (véxase a figura seguinte).

c) A distancia horizontal que pode alcanzar a pelota mídese desde o bordo do edificio

A solución é como determinar a distancia percorrida (d) no movemento lineal uniforme.

Coñecido: t = 1.64 segundos, v _x = 8.7 m/s

Buscase: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) A altura máxima alcanzada pola pelota

Coñecido: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( compoñente vertical da velocidade á altura máxima = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Buscase: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (h)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (h)

25 (m/s²) ⁼ -19.6 m/s² (h)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 metros

A altura máxima alcanzada pola pelota = 1.3 metros sobre a parte superior do edificio = 1.3 m + 50 m = 51.3 metros sobre a superficie do chan.