Ceisteanna agus Plé Samplacha Triantánachta
Is brainse den mhatamaitic í an triantánacht a dhéanann staidéar ar an ngaol idir uillinneacha agus faid taobhanna i dtriantáin. Tá sé ríthábhachtach tuiscint a fháil ar bhunchoincheapa na triantánachta i réimse feidhmeanna, ó fhisic agus innealtóireacht go réalteolaíocht agus tíreolaíocht. San alt seo, míneoimid roinnt fadhbanna samplacha agus míneoimid go hiomlán chun cabhrú le tuiscint.
Ceist Shamplach 1: Taobhanna Triantáin a Ríomh ag Úsáid an Mhodha Sínis
Ceist:
I gcás triantán ABC, le huillinn A = 30°, uillinn B = 45°, agus taobh b = 10 cm, ríomh fad taobh a.
Plé:
Úsáid dlí na sines:
[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]
Cuir isteach luachanna aitheanta:
[ \frac{a}{\sin 30°} = \frac{10}{\sin 45°} \]
Tá a fhios againn go:
[sin 30° = \frac{1}{2} \]
[ \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Anois, cuir na luachanna seo isteach sa chothromóid:
[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \]
Simpligh an chothromóid:
[2a = \frac{10 \cdot 2}{\sqrt{2}} \]
[2a = \frac{20}{\sqrt{2}} \]
Réasúnaigh an t-ainmneoir:
[2a = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{2} \]
\[2a = 10\sqrt{2} \]
[a = 5\sqrt{2}]
Mar sin, is é fad taobh a 5 cm.
Ceist Shamplach 2: Uillinneacha a Ríomh ag Úsáid an Mhodha Cósín
Ceist:
Tá taobhanna triantáin a = 7 cm, b = 10 cm, agus c = 5 cm. Faigh amach méid uillinn C.
Plé:
Úsáid dlí na gcosíní:
[c² = a² + b² – 2ab \cos C]
Cuir isteach luachanna aitheanta:
[5^2 = 7^2 + 10^2 – 2 ⋅ 7 ⋅ 10 ⋅ cos C]
Simpligh an chothromóid:
\[ 25 = 49 + 100 – 140 \ cos C \]
[25 = 149 – 140 \cos C]
Bog 149 go dtí an taobh clé:
\[ 25 - 149 = -140 \ cos C \]
[-124 = -140 \cos C]
[cos C = \frac{124}{140} \]
[cos C = \frac{62}{70} \]
[cos C = \frac{31}{35} \]
Úsáid áireamhán chun \( \cos^{-1} \) (cosíneas inbhéartach) a fháil:
[C thart ar \cos^{-1}\left(\frac{31}{35}\right) \]
[C \thart ar 25.84° \]
Mar sin, is é méid uillinn C ná thart ar 25.84°.
Ceist Shamplach 3: Airde agus Achar Triantáin a Ríomh
Ceist:
Tá dhá thaobh ag triantán a = 6 cm ar fhad agus b = 8 cm ar fhad agus uillinn eatarthu, θ = 60°. Ríomh airde agus achar an triantáin.
Plé:
1. Achar Triantáin a Ríomh:
Úsáid an fhoirmle le haghaidh achar triantáin:
\[ \text{Achar} = \frac{1}{2} ab \sin \theta \]
Cuir isteach na luachanna aitheanta:
[Achar = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \cdot \sin 60°]
Tá a fhios againn go:
[ \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Mar sin:
[Achar = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2}]
[Achar = \frac{1}{2} 6 \cdot 8 \frac{\sqrt{3}}{2}]
\[ \text{Achar} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]
\[ \text{Achar} = 12\sqrt{3} \]
Mar sin, is é achar an triantáin 12 cm².
2. Airde Triantáin a Ríomh ón mBonn a:
Chun airde triantáin a ríomh, cuir h in iúl don airde agus bain úsáid as an bhfoirmle achair:
\[ \text{Achar} = \frac{1}{2} \times a \times h \]
[12\sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times h \]
\[ 12 \sqrt{3} = 3h \]
[h = \frac{12\sqrt{3}}{3} \]
\[h = 4\sqrt{3} \]
Mar sin, is é 4 cm airde an triantáin.
Ceist Shamplach 4: Taobhanna Triantáin Dhronuilleogaigh a Chinneadh
Ceist:
I dtriantán ceart, le huillinn √ = 30° agus taobh comhthreomhar uillinn √ 5 cm, faigh fad an hipotenúis.
Plé:
Úsáid na cóimheasa trigonaiméadracha le haghaidh uillinn 30° i dtriantán dronuilleogach:
[ \sin \theta = \frac{\text{tosaigh}}{\text{hipitéineas}} \]
\[ \sin 30° = \frac{obverse}{hipotenuse} = \frac{5}{\text{hipotenuse}} \]
Tá a fhios againn go:
[sin 30° = \frac{1}{2} \]
Mar sin:
\[ \frac{1}{2} = \frac{5}{\text{hipitéinise}} \]
\[ \text{hipitéinise} = 10 \]
Mar sin, is é 10 cm fad an hipotenuse.
Ceist Shamplach 5: Uillinneacha a Ríomh le Feidhmeanna Triantánacha
Ceist:
Más ionann \(tan \theta agus \frac{3}{4} \), ríomh méid na huillinne \(\theta\).
Plé:
Ag baint úsáide as an bhfoirmle tadhlaí inbhéartach:
[ héta = tan^{-1} clé(frac{3}{4})]
Le cabhair ó áireamhán:
[ θέρικος \thart ar 36.87° \]
Mar sin, tá méid na huillinne ∫(heta) thart ar 36.87°.
Conclúid
Is coincheap matamaiticiúil leathan í an triantánacht a bhfuil feidhm leathan aici i réimsí éagsúla. Trí thuiscint a fháil ar conas dlíthe na sines, na cosines, agus feidhmeanna bunúsacha eile a úsáid, is féidir linn réimse fadhbanna a bhaineann le triantáin agus uillinneacha a réiteach. Trí na samplaí thuas, tá súil againn go bhfaighidh léitheoirí tuiscint níos doimhne agus go mbeidh siad in ann í a chur i bhfeidhm i gcásanna éagsúla a éilíonn tuiscint ar an triantánacht.
