Ceisteanna Samplacha agus Plé ar Iolrú Scálach le Veicteoirí
Pendahuuan
Sa mhatamaitic agus sa fhisic, is oibríocht bhunúsach agus a úsáidtear go minic í scálar a iolrú faoi veicteoir. Tá an t-iolrú seo riachtanach chun coincheapa níos casta a fhorbairt i ngeoiméadracht, i meicnic, agus in anailís veicteoirí. Tá sé mar aidhm ag an alt seo coincheap scálar a iolrú faoi veicteoir a mhíniú agus cuireann sé samplaí agus plé ar fáil chun tuiscint a shoiléiriú.
Tuiscint ar Iolrú Scálach le Veicteoirí
Is éard is iolrú scaláir faoi veicteoir ann ná oibríocht ina ndéantar scaláir (uimhir aonair) a iolrú faoi gach comhpháirt de veicteoir. Is é toradh na hoibríochta seo veicteoir nua leis an treo céanna leis an veicteoir bunaidh ach le méid atá athraithe ag an scaláir. Go ginearálta, má tá veicteoir \(\mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3)\) agus scaláir \(k\) againn, ansin is é a dtáirge \(k \mathbf{v}\) ná:
\[
k \mathbf{v} = (k v_1, k v_2, k v_3)
\]
Ceisteanna Samplacha agus Plé
Ceist 1
Abair go bhfuil veicteoir \(\mathbf{v} = (3, -4, 5)\) agus scálar \(k = 2\) ann. Ríomh toradh an scálair agus an veicteoir.
Plé 1
Ag baint úsáide as sainmhíniú iolrú scálach le veicteoir:
\[
k \mathbf{v} = 2 \cdot (3, -4, 5)
\]
Seo a leanas na céimeanna ríofa:
\[
k \mathbf{v} = (2 \cdot 3, 2 \cdot -4, 2 \cdot 5)
\]
\[
k \mathbf{v} = (6, -8, 10)
\]
Mar sin, is é toradh an scaláir _(2) faoin veicteoir _(3, -4, 5)_) ná _(6, -8, 10)_).
Ceist 2
Má tá veicteoir \(\mathbf{w} = (-1, 0, 7)\) agus scálar \(k = -3\) ann, faigh an táirge scálar.
Plé 2
Ag baint úsáide as an bhfoirmle chéanna agus a bhí roimhe:
\[
k w = -3 (-1, 0, 7)
\]
Seo a leanas na céimeanna ríofa:
\[
k w = (-3 -1, -3 0, -3 7)
\]
\[
k w = (3, 0, -21)
\]
Is é (3, 0, -21) toradh an scaláir ≈-3 faoin veicteoir ≈-1, 0, 7).
Ceist 3
Tá veicteoir ann \(\mathbf{u} = (2, -1, 4)\). Má dhéantar an veicteoir a iolrú faoin scalar \(\frac{1}{2}\), faigh toradh an iolraithe.
Plé 3
Ag baint úsáide as an bhfoirmle chéanna:
\[
k \mathbf{u} = \frac{1}{2} \cdot (2, -1, 4)
\]
Seo a leanas na céimeanna ríofa:
\[
k \mathbf{u} = \left(\frac{1}{2} ≤ 2, \frac{1}{2} ≤ -1, \frac{1}{2} ≤ 4\right)
\]
\[
k \mathbf{u} = (1, -0.5, 2)
\]
Mar sin, is é toradh an scaláir \(\frac{1}{2}\) faoin veicteoir \((2, -1, 4)\) ná \((1, -0.5, 2)\).
Ceist 4
Agus veicteoir \(\mathbf{a} = (6, 8, -3)\) agus scalár \(k = 0\) tugtha, faigh a dtáirge.
Plé 4
Trí úsáid a bhaint as an bhfoirmle iolraithe scaláir le veicteoir:
\[
k \mathbf{a} = 0 \cdot (6, 8, -3)
\]
Seo a leanas na céimeanna ríofa:
\[
k ∫a = (0 −6, 0 −8, 0 −3)
\]
\[
k ∫a = (0, 0, 0)
\]
Is é toradh an scálaí _(0) faoin veicteoir _(6, 8, -3)_) _((0, 0, 0)_). Léiríonn sé seo go dtáirgfear an veicteoir nialasach má iolraítear veicteoir faoin scálaí _(0_).
Ceist 5
Abair go bhfuil dhá veicteoir ann, b = (7, -2, 3) agus c = (-5, 4, 6). Faigh amach toradh scálach 4 le suim an dá veicteoir.
Plé 5
Is é an chéad chéim ná an dá veicteoir a chur le chéile:
\[
b + c = (7, -2, 3) + (-5, 4, 6)
\]
Déantar suimiú veicteoir trí na comhpháirteanna comhfhreagracha a chur leis:
\[
b + c = (7 + (-5), -2 + 4, 3 + 6)
\]
\[
b + c = (2, 2, 9)
\]
An chéad chéim eile, iolraigh an toradh faoin scalar \(4\):
\[
4 (b + c) = 4 ⋅ (2, 2, 9)
\]
Is iad na céimeanna ríofa:
\[
4 (\mathbf{b} + \mathbf{c}) = (4 \cdot 2, 4 \cdot 2, 4 \cdot 9)
\]
\[
4 (b + c) = (8, 8, 36)
\]
Mar sin, is é an táirge scálach de \(4\) agus suim an dá veicteoir ná \((8, 8, 36)\).
Conclúid
Is oibríocht shimplí ach bhunúsach í scálar a iolrú faoi veicteoir i go leor réimsí eolaíochta. Trí scálar a iolrú faoi gach comhpháirt de veicteoir, is féidir linn méid an veicteora a athrú go héasca gan a threo a athrú. Tá an coincheap mínithe san alt seo agus tá samplaí agus réitigh curtha ar fáil ann chun soiléiriú a dhéanamh ar an gcaoi a n-oibríonn an oibríocht seo. Is féidir le tuiscint a fháil ar an oibríocht bhunúsach seo a bheith níos éasca coincheapa níos forbartha a mháistir sa mhatamaitic agus sa fhisic.
Táthar ag súil, tríd an alt seo agus na ceisteanna samplacha, go mbeidh tuiscint níos fearr ag léitheoirí ar iolrú scálach le veicteoirí, agus go mbeidh siad in ann é a chur i bhfeidhm i gcásanna agus i bhfadhbanna fíor.
