Ceisteanna Samplacha ag Plé Ciorcail agus Tangents
Is ábhar tábhachtach iad ciorcail i ngeoiméadracht maitrís, áit a léirítear coincheapa doimhne faoi achar, uillinneacha agus cruthanna. Coincheap amháin a phléitear go minic sa topaic seo ná an líne tadhlaí le ciorcal. San alt seo, pléifimid roinnt fadhbanna samplacha a bhaineann le ciorcail agus tadhlaí.
Tuiscint Bhunúsach ar Chiorcail agus ar Thadhlaithe
Lingkaran
Is cruth geoiméadrach é ciorcal a fhoirmítear de shraith na bpointí uile i bplána atá achar socraithe ó phointe ar leith ar a dtugtar lár an chiorcail. Tugtar ga an chiorcail ar an achar socraithe seo.
Tangent
Is líne í tadhlaí le ciorcal a dhéanann teagmháil leis an gciorcal ag pointe amháin go díreach. Tugtar pointe an tadhlaí ar an bpointe seo. Tá roinnt airíonna tábhachtacha ag tadhlaí, ina measc:
– Bíonn an líne tadhlaí i gcónaí ingearach le ga an chiorcail ag an bpointe tadhlaí.
– Bíonn fad tadhlaí ó phointe lasmuigh den chiorcal go dtí an ciorcal mar a chéile má tharraingítear dhá thadhlaí ón bpointe sin.
Ceisteanna agus Plé Samplacha
Thíos cuirfimid roinnt ceisteanna samplacha i láthair a phléann coincheap na gciorcal agus na dtadhlaí go mion.
Ceist Shamplach 1: Fad na Líne Tadhlaí a Aimsiú
Ceist:
I gcás ciorcail le lárphointe _(O) agus ga _(r = 6 _, \text{cm}_). Ó phointe _(P) lasmuigh den chiorcal atá 10 cm ó lár an chiorcail, tarraingítear dhá thadhlaí _(PA_) agus _(PB_) chuig an gciorcal. Ríomh fad an thadhlaí _(PA_).
Plé:
Sa fhadhb seo, is féidir linn teoirim Phíotagaráis a úsáid. Tarraing triantán \(\triangle OAP\):
– \(OP = 10 \, \text{cm}\) (an fad ón bpointe seachtrach go lár an chiorcail)
– \(OA = 6 \, \text{cm}\) (ga an chiorcail)
– Is í \(PA\) an líne tadhlaí a chaithfear a fháil
\[
OP^2 = OA^2 + PA^2
\]
\[
10^2 = 6^2 + PA^2
\]
\[
100 = 36 + PA^2
\]
\[
PA^2 = 64
\]
\[
PA = 64 = 8, cm
\]
Mar sin, is é 8 cm fad na líne tadhlaí \(PA\).
Ceist Shamplach 2: Aimsiú an Phointe Tadhlaíoch
Ceist:
Má thugtar ciorcal leis an gcothromóid _((x – 3)^2 + (y – 4)^2 = 25_) agus líne _(y = 2x + 1_). Aimsigh an pointe tadhlaíoch idir an ciorcal agus an líne.
Plé:
Ar dtús, aithnímid lár agus ga an chiorcail:
– Lár \(O(3, 4)\)
– Ga r = 25 = 5
Chun an pointe tadhlaíoch a aimsiú, glacaimis leis gurb é \(T(x_1, y_1)\) an pointe tadhlaíoch atá suite ar an líne \(y = 2x + 1\) freisin. Ansin:
\[
y_1 = 2x_1 + 1
\]
Caithfidh \(T(x_1, y_1)\) cothromóid an chiorcail a shásamh freisin:
\[
(x_1 – 3)^2 + (y_1 – 4)^2 = 25
\]
Cuir \(y_1 = 2x_1 + 1\) isteach sa chothromóid chiorcail:
\[
(x_1 – 3)^2 + ((2x_1 + 1) – 4)^2 = 25
\]
\[
(x_1 – 3)^2 + (2x_1 – 3)^2 = 25
\]
Ní mór dúinn dhá chearnóg a ríomh.
\[
(x_1 – 3)^2 = x_1^2 – 6x_1 + 9
\]
\[
(2x_1 – 3)^2 = 4x_1^2 – 12x_1 + 9
\]
Comhcheangail an dá thoradh:
\[
x_1^2 – 6x_1 + 9 + 4x_1^2 – 12x_1 + 9 = 25
\]
\[
5x_1^2 – 18x_1 + 18 = 25
\]
Bain 25 ón dá thaobh:
\[
5x_1^2 – 18x_1 – 7 = 0
\]
Réitigh an chothromóid chearnach:
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 + 4 \times 5 \times 7}}{2 \times 5}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{324 + 140}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm \sqrt{464}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{116}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{4 \times 29}}{10}
\]
\[
x_1 = \frac{18 \pm²\sqrt{29}}{10}
\]
\[
x_1 = 1.8 µm ≈ 0.4 µm ≈ 29
\]
Ríomh luach \(y_1\):
A chomhlíonann y = 2x + 1:
– Más ionann \(x_1 = 1.8 + 0.4\sqrt{29}\), ansin \(y_1 = 2(1.8 + 0.4\sqrt{29}) + 1\)
– Más ionann x₁ = 1.8 – 0.4²₂), ansin is ionann y₁ = 2(1.8 – 0.4²₂) + 1
Meastóireacht:
Mar sin faighimid dhá phointe trasnaithe chothromóid an chiorcail leis an líne sin.
Ceist Shamplach 3: Cothromóid Líne Tadhlaí a Chinneadh
Ceist:
I gcás ciorcail leis an gcothromóid \((x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 20\). Faigh cothromóid na líne tadhlaí leis an gciorcal a théann tríd an bpointe \((6, 7)\).
Plé:
Is féidir an tadhlaí le ciorcal a bhfuil lárphointe aige (h, k) agus ga (r) ó phointe seachtrach aitheanta a fháil leis an gcothromóid seo a leanas:
Téann an líne tadhlaí tríd an bpointe seachtrach \((x_1, y_1)\):
\[
(x – 2)(x_1 – 2) + (y – 3)(y_1 – 3) = 20
\]
Cuir an pointe seachtrach \((6, 7)\) in ionad an phointe seachtrach:
\[
(x – 2)(6 – 2) + (y – 3)(7 – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2) + 4(y – 3) = 20
\]
\[
4(x – 2 + y – 3) = 20
\]
\[
4x + 2y -20 = 20
\]
\[
4x + 4y -20 = 20
\]
\[
x + y = 5
\]
Is é cothromóid na líne tadhlaí ná:
\[
x + y = 9
\]
Mar sin, tá an t-athrú ar chothromóid na líne trí phointe líne an chiorcail an-mhór agus féadann sé athrú ag brath ar an toradh nó ar an léiriú amhairc.
Conclúid
Clúdaíonn an plé ar chiorcail agus ar thadhlaithe roinnt gnéithe bunúsacha den mhatamaitic, ó fhoirmlí bunúsacha cosúil le teoirim Phíotagaráis a chur i bhfeidhm go cothromóidí cearnacha a réiteach. Trí na samplaí seo, is féidir linn tuiscint níos fearr a fhorbairt ar conas na coincheapa seo a chur i bhfeidhm i gcásanna casta. Tá súil agam gur chabhraigh an t-alt seo le pictiúr soiléir a thabhairt ar conas dul i ngleic le fadhbanna a bhaineann le ciorcail agus tadhlaithe agus iad a réiteach.
