Projektylbeweging

Artikel oer de projektylbeweging en foarbyldproblemen mei oplossingen

Begjinsnelheid (v_o) en de komponint fan 'e begjinsnelheid (v_ox en v_oy)

In objekt waans parabolyske bewegingen altyd in begjinsnelheid hawwe. Omdat parabolyske beweging in kombinaasje is fan bewegingen yn 'e horizontale en fertikale rjochting, hat de begjinsnelheid ek horizontale en fertikale komponinten.

As it objekt parabolysk beweecht lykas yn figueren 1 en 3, dan wurde de begjinsnelheid yn 'e horizontale rjochting (v _ox ) en de begjinsnelheid yn 'e fertikale rjochting (v _oy ) berekkene mei de fergeliking:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

As it objekt parabolysk beweecht lykas figuer 2, dan is v _o = v _ox (v _oy = 0)

Snelheid (v_x en v_y) en Posysje (x en y)

De snelheid yn 'e horizontale en fertikale rjochtingen op in bepaald tiidsynterval wurdt berekkene mei de fergeliking:

v _x = v _ox = konstante ( unifoarme lineêre beweging )

v _y = v _oy + gt of v _y ² = v _oy ² + 2 gh (frije falbeweging)

De posysje fan objekten yn 'e horizontale (x) en fertikale (y) rjochtingen op in bepaald tiidsynterval wurdt berekkene mei de fergeliking:

x = v _ox t

y = v _oyt + 1⁄2 ^gt²

Resultaat fan snelheid (v) en posysje (h)

De resultearjende snelheid by in spesifisearre tiidsynterval wurdt berekkene mei de fergeliking:

De rjochting fan objekten op in bepaald tiidsynterval wurdt berekkene mei de fergeliking:

Notes:

1. De horizontale komponint fan parabolyske beweging wurdt beskôge as de unifoarme lineêre beweging, dus vox = vx is altyd konstant

2. De fertikale komponint fan parabolyske beweging wurdt sjoen as de frije falbeweging, dus as it objekt parabolysk beweecht, lykas yn figueren 1 en 3, is de fertikale komponint fan 'e snelheid fan it objekt op maksimale hichte nul (v _y = 0). As jo ​​in moarmer rjochtop omheech smite op in maksimale hichte, rêst it objekt in momint (v _y = 0) foardat it nei ûnderen draait. Dêrom is de snelheid fan it objekt dat de parabolyske beweging op maksimale hichte beweecht = v _x = v _ox

3. As it objekt parabolysk beweecht lykas te sjen is yn figuer 2, wurdt de fertikale komponint fan parabolyske beweging sjoen as de frije falbeweging. As it objekt parabolysk beweecht lykas yn figuer 1 en 3, dan wurdt de fertikale komponint fan parabolyske beweging sjoen as de opwaartse fertikale beweging.

Foarbyldproblemen:

1. In kûgel wurdt yn horizontale rjochting ôfsketten mei in begjinsnelheid fan 20 m/s. As it gewear 5 meter boppe de grûn is, bepaal dan:

(a) tiid yn 'e loft

(b) de maksimale hichte

(c) de horizontale ôfstân

(d) de snelheid fan 'e kûgel as er de grûn rekket

Oplossing:

Beweging yn 'e horizontale rjochting wurdt analysearre lykas de unifoarme lineêre beweging, wylst beweging yn 'e fertikale rjochting wurdt analysearre lykas de frije falbeweging.

Bekend:

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

a) Tiid yn 'e loft

De oplossing is as it bepalen fan it tiidsynterval (t) yn 'e frije falbeweging.

Bekend: v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/ ^s²

Socht: t

b) De maksimale hichte

Maksimale hichte = h = 5 meter.

c) Horizontale ôfstân (d)

De oplossing is lykas it bepalen fan 'e ôfstân op 'e unifoarme lineêre beweging

Bekend: v _ox = 20 m/s, t = 1 sekonde

Socht: d

d = vt

d = (20 m/s)(1 s) = 20 m

d) Snelheid as de kûgel de grûn rekket

v _tx = v _ox = 20 m/s

v _ty = ?

Earst berekkenje wy de einsnelheid yn fertikale rjochting (vty). De oplossing is as it bepalen fan de einsnelheid fan 'e frije falbeweging.

Bekend: v _oy = 0, g = 9.8 m/s² ^, t = 1 s

Socht: v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

vt = _gt

v _t = (9.8 m/s² ⁾ (1 s)

v _t = 9.8 m/s

De snelheid fan in kûgel as er de grûn rekket:

Rjochting fan kûgel:

Omdat v _tx yn 'e rjochting fan 'e positive x-as (nei rjochts) is en v _ty yn 'e rjochting fan 'e negative y-as (nei ûnderen),

de rjochting fan 'e kûgel as er de grûn rekket is -26.1 ^o ten opsichte fan 'e positive x-as (sjoch ôfbylding hjirûnder).

2. It kanon skeat in kûgel ôf ûnder in hoeke fan 30 ^graden mei de horizontaal mei in snelheid fan 60 m/s. Bepale:

(a) de maksimale hichte

(b) de snelheid fan 'e kûgel op maksimale hichte

(c) tiid yn 'e loft

(d) de horizontale ôfstân

(e) de snelheid fan 'e kûgel as er de grûn rekket. Stel dat de grûn flak is. 🙂

Oplossing:

Beweging yn 'e horizontale rjochting wurdt analysearre lykas de unifoarme lineêre beweging, beweging yn 'e fertikale rjochting wurdt analysearre lykas de opwaartse fertikale beweging.

Bekend: v _o = 60 m/s, theta = 30 ^o.

Op basis fan bekende gegevens berekkenje wy earst de fertikale (v _oy ) en horizontale (v _ox ) komponinten fan 'e begjinsnelheid (v _o ).

a) De maksimale hichte (h)

De oplossing is lykas it bepalen fan 'e maksimale hichte by de opwaartse fertikale beweging.

Bekend:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 m/s

a) Maksimale hichte (h)

De oplossing is lykas it bepalen fan 'e maksimale hichte op 'e fertikale opwaartse beweging.

Bekend:

v _oy = 30 m/s (dit is de begjinsnelheid fan 'e kûgel)

v _ty = 0 m/s (Op de maksimale hichte is de fertikale snelheid fan 'e kûgel = 0 m/s. Dit is de einsnelheid.)

g = – 9.8 m/ ^s²

Socht: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) oeren

0 = 900 – 19.6 oeren

900 = 19.6 oeren

h = 900/19.6

h = 45.9 meter

De maksimale hichte dy't de kûgel berikt hat = 45.9 meter.

b) De snelheid op 'e maksimale hichte

Op de maksimale hichte is de snelheid yn 'e fertikale rjochting = 0 m/s. Op de maksimale hichte is der allinnich snelheid yn 'e horizontale rjochting. De snelheid yn 'e horizontale rjochting op 'e maksimale hichte is gelyk oan de begjinsnelheid yn 'e horizontale rjochting, dy't 52.2 m/s is. De rjochting fan snelheid yn 'e horizontale rjochting is altyd konstant, dat is, yn 'e rjochting fan 'e positive x-as (as de beweging fan in objekt yn it boppesteande diagram beskreaun wurdt)

c) Tiid yn 'e loft

De oplossing is lykas it bepalen fan it tiidsynterval (t) yn 'e diskusje oer de fertikale opwaartse beweging.

Bekend:

v _oy = 30 m/s (dit is de begjinsnelheid fan 'e kûgel yn 'e fertikale rjochting)

g = – 9.8 m/ ^s²

h = 0 m (as de kûgel weromkomt op 'e grûn, is de ferpleatsing fan 'e kûgel yn 'e fertikale rjochting = 0 m)

Socht: t

h = v _o t + ½ ^gt²

^{0 = (} 30) t + ½ (-9.8 m/s² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 ^t²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 t

t = 30 / 4.9

t = 6.12 sekonden

Tiid yn loft = 6.12 sekonden

d) Horizontale ôfstân (d)

De oplossing is lykas it bepalen fan 'e ôfstân (d) op 'e unifoarme lineêre beweging.

Bekend:

v _ok = 52.2 m/s

t = 6.12 sekonden

Socht: d

d = vt = (52.2 m/s)(6.12 sekonden) = 319.5 m

e) Snelheid as de kûgel de grûn rekket

v _tx = v _ox = 52.2 m/s

v _ty = ?

Earst berekkenje wy de einsnelheid yn 'e fertikale rjochting (v _ty ). De oplossing is om de einsnelheid te bepalen op 'e fertikale opwaartse beweging.

Winske: v _oy = 30 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 6.12 sekonden

Socht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 m/s

In negatyf teken jout oan dat de rjochting fan 'e einsnelheid nei ûnderen is. Tink derom dat de begjinsnelheid yn 'e fertikale rjochting gelyk is oan de einsnelheid yn 'e fertikale rjochting.

De snelheid fan 'e kûgel as er de grûn rekket:

De rjochting fan 'e kûgel:

Omdat v _tx yn 'e rjochting fan 'e positive x-as (nei rjochts) is en vty yn 'e rjochting fan 'e negative y-as (nei ûnderen),

De rjochting fan 'e snelheid fan 'e kûgel as er de grûn rekket is -30 ^° om de positive x-as (sjoch ôfbylding hjirûnder).

3. In bal wurdt smiten fan 'e râne fan in 50 meter heech gebou mei in begjinsnelheid fan 10 m/s. As de bal ûnder in hoeke fan 30° om de horizontale line smiten wurdt, bepaal dan:

(a) it tiidsinterval dat de bal de grûn berikt

(b) de snelheid fan 'e bal as er de grûn rekket

(c) de horizontale ôfstân dy't de bal berikke kin wurdt mjitten fan 'e râne fan it gebou ôf

(d) de maksimale hichte dy't de bal berikt

Oplossing:

Earst berekkenje wy de fertikale komponint (v _oy ) en de horizontale komponint (v _ox ) fan 'e begjinsnelheid (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

a) Tiidsinterval dat de bal de grûn berikt

De oplossing is as it bepalen fan it tiidsynterval (t) yn in fertikale opwaartse beweging. De grutte fan 'e fektor waans rjochting nei boppen is, wurdt keazen as posityf, de grutte fan 'e fektor waans rjochting nei ûnderen is, wurdt keazen as negatyf. De posysje fan 'e bal dêr't er smiten wurdt, wurdt keazen as referinsjepunt. h is negatyf om't it grûnoerflak ûnder it referinsjepunt leit, g is negatyf om't de rjochting fan 'e fersnelling fan 'e swiertekrêft nei ûnderen is.

Bekend:

v _oy = 5 m/s, h = – 5 m, g = – 9.8 m/ ^s²

Socht: t

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 t – 4.9 ^t²

-4.9 t² ⁺ 5 t + 5 = 0

Brûk de kwadratyske formule:

Tiid yn 'e loft = tiidsynterval sûnt de bal smiten waard om de grûn te berikken = 1.64 sekonden.

b) Snelheid fan 'e bal as er it oerflak fan 'e grûn rekket

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 m/s

v _ty = ?

Earst berekkenje wy de einsnelheid yn 'e fertikale rjochting (v _ty ). De oplossing is as it bepalen fan 'e einsnelheid op 'e fertikale opwaartse beweging.

Bekend: v _oy = 5 m/s, g = -9.8 m/s² ^, t = 1.64 sekonden

Socht: v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 m/s

It negative teken jout oan dat de rjochting fan 'e einsnelheid nei ûnderen is.

De snelheid fan 'e kûgel as er de grûn rekket:

De rjochting fan 'e snelheid fan 'e kûgel = de rjochting fan 'e beweging fan 'e kûgel as er de grûn rekket:

De snelheid fan 'e kûgel as er de grûn rekket:

Omdat vtx yn 'e rjochting fan 'e positive x-as (nei rjochts) is en vty yn 'e rjochting fan 'e negative y-as (nei ûnderen),

de rjochting fan 'e kûgel as er de grûn rekket is -52o om de positive x-as (sjoch ôfbylding hjirûnder).

c) De horizontale ôfstân dy't de bal berikke kin wurdt mjitten fan 'e râne fan it gebou ôf

De oplossing is lykas it bepalen fan 'e ôfleine ôfstân (d) op 'e unifoarme lineêre beweging.

Bekend: t = 1.64 sekonden, v _x = 8.7 m/s

Socht: d

d = vt = (8.7 m/s)(1.64 s) = 14.3 m

d) De maksimale hichte dy't de bal berikt

Bekend: v _oy = 5 m/s, v _ty = 0 m/s ( fertikale komponint fan 'e snelheid op 'e maksimale hichte = 0 m/s), g = -9.8 m/ ^s².

Socht: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 m/s = (5 m/s) ^² + 2(-9.8 m/s² ⁾ (o)

0 m/s = 25 (m/s) ^² + (-19.6 m/s² ⁾ (oere)

25 (m/s) ^² = -19.6 m/s² (oere)

h = 25 (m/s) ^² : -19.6 m/s² ⁼ 1.3 meter

De maksimale hichte dy't de bal berikt = 1.3 meter boppe de boppekant fan it gebou = 1.3 m + 50 m = 51.3 meter boppe it oerflak fan 'e grûn.